2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（24-25章）--沪教版（含解析）

2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（24-25章）
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面不是相似图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　）
A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定
4．一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图， ABC和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则 ABC和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
6．老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．的长，的度数
B．的长，的度数
C．的长，的度数
D．的长，的度数
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为 ．
8．已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ．
9．已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ．
10．在中，，，，则的度数为 ．
11．计算： ．
12．点在线段上，若，那么的值为 ．
13．（1）若，则 ．
（2）若（x，y，z均不为0），则 ．
14．如图，在 ABC中，，，，则 ．
15．如图， ABC和是以点O为位似中心的位似图形，若，则 ABC与的面积比是 ．
16．如图，已知梯形，，对角线，相交于点O，与的面积之比为，若，则的长是 ．
17．如图，设 ABC为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是 ．
18．如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m．
三、解答题（7小题，共64分）
19．化简：
（1）； （2）．
20．计算：
21．已知∶如图，若，求．
22．如图， ABC中，，D为上一点，，在上找一点E，得到 ADE，若图中两个三角形相似，求的长
23．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，）
(1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示）
(2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度．
24．阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：
，，则________；①
，，则________；②
，，则________；③
……
观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想．
（2）已知为锐角，且，求的值．
25．综合与实践
[探究课题]三角形重心性质的探究．
[课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．
[提出问题]探究图1中，的值是多少？
吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．
[解决问题]
（1）若的面积为m，求 OB的面积；
（2）在（1）的条件下，求的值；
[拓展应用]
（3）如图2，在 ABC中，点O是 ABC的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积．
（4）已知的中线，中线，则 ABC面积的最大值为 ．
参考答案
一、选择题
1．C．
2．
【详解】解：A、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状相同，符合相似形的定义，故不符合题意；
故选A．
3．
【详解】解：∵，
∴，
∵ ABC的三边都放大2倍，
∴的邻边与斜边的比不变，
∴的值不变，
故选：C．
4．
【详解】解：在中，，米，．
米
即卡车在竖直方向上升的高度为米，
故选： ．
5．
【详解】解：∵，
，
∵ ABC和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
故选：D．
6．
【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米，
因此，要求只需先求．
设，．
在中，，
则．
在中，，
则．
所以．
又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同，
所以，
若已知的长，设，则，代入可解得，
进而求得，最终得到．
综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到．
选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解：
选项缺少，无法联立方程组：
选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到；
选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到．
故选：D
二、填空题
7．
【详解】解：两个相似多边形的周长之比为，
它们的相似比为，
则它们的面积之比为，
故答案为：．
8．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴；
故答案为：
9．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【详解】原式．
12．
【详解】解：如下图所示，
设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：或不符合题意，舍去，
，
，
故答案为：
13． 3
【详解】解：（1），
设，
所以
．
故答案为：；
（2）设k，
则，
所以
．
故答案为：3．
14．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由题意可得，，再结合相似三角形的性质可得答案．
【详解】解： ABC和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，，
，
，
ABC与的面积比是．
故答案为：．
16．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3．
17．
【详解】解：如图，
过点作于点，
∴，，
∴
在中，
为正三角形，边长为，
，，，
，
，，
，其相似比为，
，
，
∴，
故答案为：．
18． 30 20
【详解】解：如图：延长交于点H，
由题意得，，，，
∴，
在中，，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴楼房的高为，楼房的高为，
故答案为：30；20．
三、解答题
19．解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=
=.
20．解：原式
．
21．解：，
，即，
．
22．解：∵，，
∴，
∵，
∴当时，，
∵，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴
综上：的长为或．
23．（1）解：根据题意可得米，，米，米，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴小亮与塔底中心的距离约为米；
（2）解：∵米，
∴（米），
∴，
解得：，
∴（米），
∴（米），
∴文昌阁的高度约为米．
24．解：，，
；①
，，
；②
，，
．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④
（1）如图，过点作于，则．
，，
，
，
，
．
（2），，为锐角，
．
25．解：（1）∵点O是 ABC的重心，
∴点D，E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）根据题意得：，
∴，
∴，
∵ AOB与同高，
∴；
（3）由（1）（2）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）如图，设交于点O，过点B作于点F，
由（2）得：，，
∵中线，中线，
∴，，，
∴当最大时，最大，
∵，
∴最大时，最大，此时最大，
当点O与点F重合时，最大，此时，
∴的最大值为．
故答案为：12