2025-2026学年九年级数学上册期中知识点复习题（24-25章）--沪教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年九年级数学上册期中知识点复习题（24-25章）--沪教版（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-25 21:14:02 | ||
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文档简介
2025-2026学年九年级数学上册期中知识点复习题（24-25章）
题型一、相似图形
1．下面各组图形中，不是相似形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．请将下图中的相似图形的序号写出来：
3．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．
题型二、求两个位似图形的相似比
4．如图， ABC与位似，其位似中心为点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， AOB与是位似图形，且，则 AOB与的相似比为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，将 ABC进行位似变换得到△．
(1)△与的相似比是________；
(2)画出关于y轴对称的；
(3)设为 ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在内的对应点的坐标是________．
题型三、比例线段
7．已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则 ．
9．已知线段，，满足，且．
(1)求，，的值；
(2)若线段是线段，的比例中项，求．
题型四、黄金分割
10．如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为 ．
12．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
题型五、由平行判断成比例的线段
13．如图是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，，则的长为 ．
15．已知：如图，在 ABC的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)是否平行？若能，此时与有什么关系？
题型六、利用相似三角形的性质求解
16．若两个相似三角形的面积比是，则它们对应高之比为（ ）
A． B．3 C． D．
17．如图，在中，E在上，交于F，若，则 ．
18．如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长．
题型七、选择或补充条件使两个三角形相似
19．如图，在 ABC中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，在 ABC中，点在上（不与点，重合），连接．只需添加一个条件即可证明与 ABC相似，这个条件可以是 (写出一个即可) ．
21．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且．
(1)求证：
(2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________．
题型八、平面向量的线性运算
22.已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）．
24．如图：在 ABC中，点D、E分别是、的中点，设，．
(1)用向量、分别表示下列向量：______，______；
(2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果）
题型九、正弦、余弦、正切的概念辨析
25．如图，在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
26．比较大小：
（1） ；（2） ．
27．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？
题型十、求角的正弦、余弦、正切值
28．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，在中，于，如果，那么的值是 ．
30．先完成填空，再按要求解答问题．
(1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边．
请补充下列求及的过程：
在中，
，
．
【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______．
(2)已知，则_______．
题型十一、特殊三角形的三角函数
31．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
32．在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与α变化规律，根据这个规律判断：若，则α的取值范围是 ．
33．先化简：，再求当时此代数式的值．
题型十二、特殊角三角函数值的混合运算
34．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
35．计算： ．
36．（1）计算：．
（2）已知是锐角，且，求的值．
题型十三、已知角度比较三角函数值的大小
37．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡
D．陡缓程度与的三角函数值无关
38．如图，将 ABC绕点B顺时针旋转得到．请比较大小： ．
39．已知：如图，，、是上的两点，．
（1）求证：；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．
题型十四、利用同角三角函数关系求值
40．在 ABC中，，∠A、∠B，∠C的对边分别为a，b，c下列各式不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
41．如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则 ．
42．如图，在 ABC中，，，，分别是，，的对边．
(1)求的值；
(2)（填空）当为锐角时，____________；
(3)利用上述规律，求式子的值．
题型十五、互余两角三角函数的关系
43．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．已知是锐角，且，则 ．
45．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
如图2：
如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：，且，求．
题型十六、解直角三角形的相关计算
46．在锐角 ABC中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
47．已知是斜边的中线，若，则 ．
48．如图， ABC中，，垂足是，若，，，求的值．
题型十七、相似三角形的性质与判定
49．如图，D是 ABC的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
50．如图， ABC中，，，的面积是，那么的面积是 ．
51．如图，在中，，是斜边上的高．
(1)求证：；
(2)若，求 ABC的面积．
参考答案
题型一、相似图形
1．
【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；
B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；
C、两个五角星相似，故不符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选：B．
2．①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩
【详解】由相似形的定义可知，①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩是相似图形.
故答案为①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩.
3．设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
即宽度为0米的小路不存在，
∴做不到．
题型二、求两个位似图形的相似比
4．
【详解】解：∵，与位似，其位似中心为点，
∴，
故选：A．
5．
【详解】解：∵，
∴，
∵ AOB与是位似图形，
∴，
∴ AOB与的相似比为．
故答案为：．
6．（1）解：与 ABC的相似比是： ，
故答案为：3；
（2）解：如图所示，分别找出 各顶点关于y轴对称的对称点，即可得 ；
（3）解：点为 ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为，
故答案为∶ ．
题型三、比例线段
7．
【详解】解：∵，
∴，，
∴四个选项中，只有C选项中的式子正确，
故选：C．
8．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
9．（1）解：设，则，，
∵，
所以，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段x是线段、b的比例中项，
∴，
∴（负值舍去）．
题型四、黄金分割
10．
【详解】解：根据题意得．
故选：B．
11．
【详解】解：：b：＝3：2：4，
令，，，
∵a+2b+c=33，
∴3k+2×2k+4k=33，
解得：，
，
将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度=．
故答案为：．
12．
【详解】解：设线段，的长为，则，
即，整理得，
解得，（不合题意舍去），
∴黄金分割数为：．
题型五、由平行判断成比例的线段
13．
【详解】解：∵，
∴,
∴括号内应填，
故选：B．
14．
【详解】
即
解得
故答案为：4.5．
15．（1）证明：，
．
，
．
；
（2）解：能平行．
若，则．
，
．
，
．
，即，
所以．
题型六、利用相似三角形的性质求解
16．
【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为，
∴相似比为，
∴对应高之比为．
故选：C．
17．
【详解】解：，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
18．解：∵，分别是它们对应的高线，
∴，
∵，，
∴，
解得．
题型七、选择或补充条件使两个三角形相似
19．
【详解】解：A． ，，，故A选项正确，不符合题意；
B． ∵∠ADE=∠C，，，故B选项正确，不符合题意；
C． ，，又，，故C选项正确，不符合题意；
D． ，而与不一定相等，不能使 ADE和 ABC相似，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
20．（答案不唯一）
【详解】解：添加的条件为：，
理由如下：，，
，
故答案为：．
21．（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，即，
当时，
；
或当时，
；
或当时，
∴，
故答案为：或或
题型八、平面向量的线性运算
22．
【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
23．
【分析】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则．
首先得出，然后根据三角形法则求解即可．
【详解】∵正六边形中，
∴，
∴
∵
∴．
故答案为：．
24．（1）解：∵点D、E分别是、的中点，设，．
∴，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作交于，
∵点D、E分别是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴向量，是向量分别在、方向上的分向量；
题型九、正弦、余弦、正切的概念辨析
25．
【详解】解：，，
故选A．
26．
【详解】解：（1）如图所示，在 ABC中，设，
∴，
当减小时，的值减小，而此时的度数在增大，
∴可知越大，的值越小，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，在 ABC中，设，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
故答案为：．
27．解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定，
理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的；
在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定，
理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的．
在中，．当确定时，它的正切值是随之确定，
理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的．
题型十、求角的正弦、余弦、正切值
28．
【详解】解：∵在中，
∴，
故选：B．
29．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
设，，
∴，
∴，
故答案为：．
30．（1）解：在中，
，
．
【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1．
故答案为：
（2）解：已知，则_______．
互余的两个锐角的正切值的乘积为1，
故答案为：
题型十一、特殊三角形的三角函数
31．
【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于，
等腰直角三角形一个锐角的余弦值．
故选：A．
32．
【详解】．
在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，
已知，也就是，
所以的取值范围是．
33．解：
，
当时，
原式．
题型十二、特殊角三角函数值的混合运算
34．
【详解】解：
，
故选：B．
35．
【详解】解：
，
故答案为：．
36．解：（1）原式
（2）且是锐角，
，
．
题型十三、已知角度比较三角函数值的大小
37．
【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A不符合题意；
B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
C、的值越大，梯子越陡，故C符合题意；
D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．
故选：C．
38．＜
【详解】解：由旋转可得：＜
如图，构建直角三角形 且
由三角函数定义可得：
＜
＜
＜
故答案为：＜．
39．解：（1）∵，
∴ 和均为直角三角形，
∴ ，，
∴ ；
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
题型十四、利用同角三角函数关系求值
40．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则，∴，故A错误；
，∴，故B正确；
，∴，故C正确；
，∴，故D正确，
故答案为：A
41．
【详解】解：如图，过点作于，令、交于点，
由图①为边长为4的正方形七巧板可知,
，， 为等腰直角三角形，
，，
设，则，，
，
，
，
．
故答案为：．
42．（1）解：在中，，，；
所以：；
（2）解：当为锐角时，，
故答案为 1；
（3）解：
=
=（44个1相加）
=．
题型十五、互余两角三角函数的关系
43．
【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义：
A、tan A=，tan B=，只有当a=b时，tan A=tan B，所以不一定成立；
B、tan A=，cot B=，只有当a=b时，，所以不一定成立；
C、sin A==cos B，故正确；
D、cos A=，cos B=，只有当a=b时， ，所以不一定成立；
故选：C．
44．
【详解】解：根据三角函数关系可得
又∵
∴
故答案为
45．由图可知：
故答案为：1，1，1．
①观察上述等式，可猜想：
故答案为：1．
②在中，
∵，
∴
∵
∴
∴
③∵，
∴
题型十六、解直角三角形的相关计算
46．
【详解】解：如图，
在中，，；
在中，，；
∴，，
∴；
故选项A，C，D正确；
无法得到；故选项B错误；
故选B．
47．
【详解】解：∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
48．解∵，
在中，，
，
，
．
题型十七、相似三角形的性质与判定
49．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
50．12
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵ ADE的面积是2，
∵．
∴．
故答案为：12．
51．（1）证明：∵是斜边上的高，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ABC的面积为．
题型一、相似图形
1．下面各组图形中，不是相似形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．请将下图中的相似图形的序号写出来：
3．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．
题型二、求两个位似图形的相似比
4．如图， ABC与位似，其位似中心为点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， AOB与是位似图形，且，则 AOB与的相似比为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，将 ABC进行位似变换得到△．
(1)△与的相似比是________；
(2)画出关于y轴对称的；
(3)设为 ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在内的对应点的坐标是________．
题型三、比例线段
7．已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则 ．
9．已知线段，，满足，且．
(1)求，，的值；
(2)若线段是线段，的比例中项，求．
题型四、黄金分割
10．如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为 ．
12．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
题型五、由平行判断成比例的线段
13．如图是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，，则的长为 ．
15．已知：如图，在 ABC的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)是否平行？若能，此时与有什么关系？
题型六、利用相似三角形的性质求解
16．若两个相似三角形的面积比是，则它们对应高之比为（ ）
A． B．3 C． D．
17．如图，在中，E在上，交于F，若，则 ．
18．如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长．
题型七、选择或补充条件使两个三角形相似
19．如图，在 ABC中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，在 ABC中，点在上（不与点，重合），连接．只需添加一个条件即可证明与 ABC相似，这个条件可以是 (写出一个即可) ．
21．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且．
(1)求证：
(2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________．
题型八、平面向量的线性运算
22.已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）．
24．如图：在 ABC中，点D、E分别是、的中点，设，．
(1)用向量、分别表示下列向量：______，______；
(2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果）
题型九、正弦、余弦、正切的概念辨析
25．如图，在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
26．比较大小：
（1） ；（2） ．
27．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？
题型十、求角的正弦、余弦、正切值
28．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，在中，于，如果，那么的值是 ．
30．先完成填空，再按要求解答问题．
(1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边．
请补充下列求及的过程：
在中，
，
．
【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______．
(2)已知，则_______．
题型十一、特殊三角形的三角函数
31．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
32．在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与α变化规律，根据这个规律判断：若，则α的取值范围是 ．
33．先化简：，再求当时此代数式的值．
题型十二、特殊角三角函数值的混合运算
34．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
35．计算： ．
36．（1）计算：．
（2）已知是锐角，且，求的值．
题型十三、已知角度比较三角函数值的大小
37．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡
D．陡缓程度与的三角函数值无关
38．如图，将 ABC绕点B顺时针旋转得到．请比较大小： ．
39．已知：如图，，、是上的两点，．
（1）求证：；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．
题型十四、利用同角三角函数关系求值
40．在 ABC中，，∠A、∠B，∠C的对边分别为a，b，c下列各式不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
41．如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则 ．
42．如图，在 ABC中，，，，分别是，，的对边．
(1)求的值；
(2)（填空）当为锐角时，____________；
(3)利用上述规律，求式子的值．
题型十五、互余两角三角函数的关系
43．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．已知是锐角，且，则 ．
45．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
如图2：
如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：，且，求．
题型十六、解直角三角形的相关计算
46．在锐角 ABC中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
47．已知是斜边的中线，若，则 ．
48．如图， ABC中，，垂足是，若，，，求的值．
题型十七、相似三角形的性质与判定
49．如图，D是 ABC的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
50．如图， ABC中，，，的面积是，那么的面积是 ．
51．如图，在中，，是斜边上的高．
(1)求证：；
(2)若，求 ABC的面积．
参考答案
题型一、相似图形
1．
【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；
B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；
C、两个五角星相似，故不符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选：B．
2．①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩
【详解】由相似形的定义可知，①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩是相似图形.
故答案为①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩.
3．设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
即宽度为0米的小路不存在，
∴做不到．
题型二、求两个位似图形的相似比
4．
【详解】解：∵，与位似，其位似中心为点，
∴，
故选：A．
5．
【详解】解：∵，
∴，
∵ AOB与是位似图形，
∴，
∴ AOB与的相似比为．
故答案为：．
6．（1）解：与 ABC的相似比是： ，
故答案为：3；
（2）解：如图所示，分别找出 各顶点关于y轴对称的对称点，即可得 ；
（3）解：点为 ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为，
故答案为∶ ．
题型三、比例线段
7．
【详解】解：∵，
∴，，
∴四个选项中，只有C选项中的式子正确，
故选：C．
8．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
9．（1）解：设，则，，
∵，
所以，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段x是线段、b的比例中项，
∴，
∴（负值舍去）．
题型四、黄金分割
10．
【详解】解：根据题意得．
故选：B．
11．
【详解】解：：b：＝3：2：4，
令，，，
∵a+2b+c=33，
∴3k+2×2k+4k=33，
解得：，
，
将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度=．
故答案为：．
12．
【详解】解：设线段，的长为，则，
即，整理得，
解得，（不合题意舍去），
∴黄金分割数为：．
题型五、由平行判断成比例的线段
13．
【详解】解：∵，
∴,
∴括号内应填，
故选：B．
14．
【详解】
即
解得
故答案为：4.5．
15．（1）证明：，
．
，
．
；
（2）解：能平行．
若，则．
，
．
，
．
，即，
所以．
题型六、利用相似三角形的性质求解
16．
【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为，
∴相似比为，
∴对应高之比为．
故选：C．
17．
【详解】解：，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
18．解：∵，分别是它们对应的高线，
∴，
∵，，
∴，
解得．
题型七、选择或补充条件使两个三角形相似
19．
【详解】解：A． ，，，故A选项正确，不符合题意；
B． ∵∠ADE=∠C，，，故B选项正确，不符合题意；
C． ，，又，，故C选项正确，不符合题意；
D． ，而与不一定相等，不能使 ADE和 ABC相似，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
20．（答案不唯一）
【详解】解：添加的条件为：，
理由如下：，，
，
故答案为：．
21．（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，即，
当时，
；
或当时，
；
或当时，
∴，
故答案为：或或
题型八、平面向量的线性运算
22．
【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
23．
【分析】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则．
首先得出，然后根据三角形法则求解即可．
【详解】∵正六边形中，
∴，
∴
∵
∴．
故答案为：．
24．（1）解：∵点D、E分别是、的中点，设，．
∴，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作交于，
∵点D、E分别是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴向量，是向量分别在、方向上的分向量；
题型九、正弦、余弦、正切的概念辨析
25．
【详解】解：，，
故选A．
26．
【详解】解：（1）如图所示，在 ABC中，设，
∴，
当减小时，的值减小，而此时的度数在增大，
∴可知越大，的值越小，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，在 ABC中，设，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
故答案为：．
27．解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定，
理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的；
在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定，
理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的．
在中，．当确定时，它的正切值是随之确定，
理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的．
题型十、求角的正弦、余弦、正切值
28．
【详解】解：∵在中，
∴，
故选：B．
29．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
设，，
∴，
∴，
故答案为：．
30．（1）解：在中，
，
．
【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1．
故答案为：
（2）解：已知，则_______．
互余的两个锐角的正切值的乘积为1，
故答案为：
题型十一、特殊三角形的三角函数
31．
【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于，
等腰直角三角形一个锐角的余弦值．
故选：A．
32．
【详解】．
在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，
已知，也就是，
所以的取值范围是．
33．解：
，
当时，
原式．
题型十二、特殊角三角函数值的混合运算
34．
【详解】解：
，
故选：B．
35．
【详解】解：
，
故答案为：．
36．解：（1）原式
（2）且是锐角，
，
．
题型十三、已知角度比较三角函数值的大小
37．
【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A不符合题意；
B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
C、的值越大，梯子越陡，故C符合题意；
D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．
故选：C．
38．＜
【详解】解：由旋转可得：＜
如图，构建直角三角形 且
由三角函数定义可得：
＜
＜
＜
故答案为：＜．
39．解：（1）∵，
∴ 和均为直角三角形，
∴ ，，
∴ ；
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
题型十四、利用同角三角函数关系求值
40．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则，∴，故A错误；
，∴，故B正确；
，∴，故C正确；
，∴，故D正确，
故答案为：A
41．
【详解】解：如图，过点作于，令、交于点，
由图①为边长为4的正方形七巧板可知,
，， 为等腰直角三角形，
，，
设，则，，
，
，
，
．
故答案为：．
42．（1）解：在中，，，；
所以：；
（2）解：当为锐角时，，
故答案为 1；
（3）解：
=
=（44个1相加）
=．
题型十五、互余两角三角函数的关系
43．
【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义：
A、tan A=，tan B=，只有当a=b时，tan A=tan B，所以不一定成立；
B、tan A=，cot B=，只有当a=b时，，所以不一定成立；
C、sin A==cos B，故正确；
D、cos A=，cos B=，只有当a=b时， ，所以不一定成立；
故选：C．
44．
【详解】解：根据三角函数关系可得
又∵
∴
故答案为
45．由图可知：
故答案为：1，1，1．
①观察上述等式，可猜想：
故答案为：1．
②在中，
∵，
∴
∵
∴
∴
③∵，
∴
题型十六、解直角三角形的相关计算
46．
【详解】解：如图，
在中，，；
在中，，；
∴，，
∴；
故选项A，C，D正确；
无法得到；故选项B错误；
故选B．
47．
【详解】解：∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
48．解∵，
在中，，
，
，
．
题型十七、相似三角形的性质与判定
49．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
50．12
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵ ADE的面积是2，
∵．
∴．
故答案为：12．
51．（1）证明：∵是斜边上的高，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ABC的面积为．
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