第二十五章《锐角的三角比》单元测试卷--九年级数学上册 沪教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二十五章《锐角的三角比》单元测试卷--九年级数学上册 沪教版（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-25 21:15:39 | ||
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文档简介
第二十五章《锐角的三角比》单元测试卷
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．计算的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）
A． B． C． D．
4．如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）
B． C．2 D．
5．光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（ ）
A． B． C． D．
6．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．计算： ．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ．
9．用计算器求锐角x（精确到1″）：
（1）sinx=0. 1523，x≈ ；（2）cosx=0.3712，x≈ ；
（3）tanx=1.7320，x≈ ．
10．在中，若，，则是 三角形.
11．已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ．
12．如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积是 ．
13．观察下列等式
①sin30°=cos60°=
②sin45°=cos=45°=
③sin60°=cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．
14．如图，在中，，斜边上的高交于D，若，，则 ．
15．如图，在 ABC中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s．
16．构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ．
17．如图，，，点为上一点，且．过点作交于点，交延长线于点，的值为 ．
18．如图，太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词，它是由太阳能电池组件、部分LED灯具、控制箱和灯杆几部分构成．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端点E离地面的高度．如图2，已知测角仪的高度为1.2米（即AB=1.2米），在测量点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2.2米的测量点D处安置等高的测角仪（即米），测得点E的仰角为（点B，D，F在一条直线上），求电池板顶端离地面的高度 米．（结果精确到0.1米，参考数据： ）
三、解答题（7小题，共64分）
19．计算：
(1)． (2)．
20．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．
21．如图，是 ABC的高，若，，．
(1)求边的长；
(2)求的值．
22．小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，）
23．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”）
(2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ．
24．阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：
，，则________；①
，，则________；②
，，则________；③
……
观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想．
（2）已知为锐角，且，求的值．
25．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图1是滑雪运动员在跳台上完成动作的示意图，赛道的剖面的一部分可抽象为线段，，滑雪运动员从点出发，从起跳点起跳，到点落地．某比赛场地的实测参数如下：（如图2）
①跳台竖直高度；
②斜坡长度为，坡角为（与水平面夹角）；
③斜坡的坡角为．
根据以上条件，计算斜坡的长度．（结果精确到）
（参考数据：，，）
参考答案
一、选择题
1．
【详解】解：
=
=-1-1
=-2
故选：：B
2．
【详解】解：根据勾股定理可得：AB＝，
∴sinB＝．
故选B．
3．
【详解】解：，，，所对的边分别为a、b、c，
，故A成立，不符合题意；
，故B不成立，符合题意；
，故C成立，不符合题意；
，故D成立，不符合题意；
故选B．
4．
【详解】解：如图所示，连接，
根据题意可知，
∴，
∴.
在中，.
故选：D.
5．
【详解】解：∵
∴，，
∵
∴
故选：D．
6．
【详解】解：过点E作于点I，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵长为米，米，，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
故选：A．
二、填空题
7．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．60°
【详解】解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
9． 8°45′37″ 68°12′37″ 59°59′57″
【详解】按功能转换键shift，
（1）x=arcsin（0.1523）≈8.760238≈8°45′37″；
（2）x=arccos（0.3712）≈68.21036≈68°12′37″；
（3）x=arctan（1.7320）≈59.99927≈59°59′57″.
10．等腰直角
【详解】解：∵，，
∴∠A=∠B=45°.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°.
故是等腰直角三角形.
11．
【详解】解：过作轴，交轴于点，则，
∵，
∴，
在中，，
直线与轴夹角的正弦值，
故答案为：．
12．
【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴sin∠ABE=，
∴AB==BC，
∴重叠部分的面积=BC×AE=，
故答案为：．
13．1.
【详解】由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1.
故答案为1.
14．
15．或或
【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论：
①当时，如图，过作，交延长线于点，
，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得（舍去）或，
∴
此时；
②当时，且在线段上，如图，过作于点，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∴，
∴，
此时；
③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得（舍去）或，
即此时与重合，
∴，
∴，
此时；
综上，的值为或或；
故答案为：或或．
16．
【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
在中，，
设，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
在中，，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，，
，
在中，，
在中，，
又，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．10.1
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
延长交于点，根据题意可得：米,米，然后设米, 则米，从而分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点,
由题意得：米,米,
设米, 则米,
在中,
米,
在 中,
∴(米),
，
解得：
(米)
∴电池板离地面的高度的长约为米，
故答案为：．
三、解答题
19．解：（1）原式．
（2）原式．
20．如图1所示：tan∠AOB==1，
如图2所示：tan∠AOB==2，
如图3所示：tan∠AOB==3，
故tan∠AOB的值分别为1、2、3．
．
21．（1）解：在中，
∵，，
∴
（2）∵，，
∴；
在中，
，
∴．
22．解:延长交的延长线于,则，
由题意得，米，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答:教学楼的高度约为米.
23．（1）解：，
又∵，
∴，
即有，
故答案为：，；
（2）解：在中，，，，
∴，
延长至，使得，连接，如图所示，
∴，，
∴，，
∴．
24．解：，，
；①
，，
；②
，，
．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④
（1）如图，过点作于，则．
，，
，
，
，
．
（2），，为锐角，
．
25．解：如图，过点分别作于点，于点，
则四边形是矩形，
∴，．
在中，，即．
．
∵CD=105m，
．
．
在中，，即．
．
答：斜坡的长度约为．
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．计算的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）
A． B． C． D．
4．如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）
B． C．2 D．
5．光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（ ）
A． B． C． D．
6．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．计算： ．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ．
9．用计算器求锐角x（精确到1″）：
（1）sinx=0. 1523，x≈ ；（2）cosx=0.3712，x≈ ；
（3）tanx=1.7320，x≈ ．
10．在中，若，，则是 三角形.
11．已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ．
12．如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积是 ．
13．观察下列等式
①sin30°=cos60°=
②sin45°=cos=45°=
③sin60°=cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．
14．如图，在中，，斜边上的高交于D，若，，则 ．
15．如图，在 ABC中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s．
16．构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ．
17．如图，，，点为上一点，且．过点作交于点，交延长线于点，的值为 ．
18．如图，太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词，它是由太阳能电池组件、部分LED灯具、控制箱和灯杆几部分构成．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端点E离地面的高度．如图2，已知测角仪的高度为1.2米（即AB=1.2米），在测量点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2.2米的测量点D处安置等高的测角仪（即米），测得点E的仰角为（点B，D，F在一条直线上），求电池板顶端离地面的高度 米．（结果精确到0.1米，参考数据： ）
三、解答题（7小题，共64分）
19．计算：
(1)． (2)．
20．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．
21．如图，是 ABC的高，若，，．
(1)求边的长；
(2)求的值．
22．小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，）
23．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”）
(2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ．
24．阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：
，，则________；①
，，则________；②
，，则________；③
……
观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想．
（2）已知为锐角，且，求的值．
25．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图1是滑雪运动员在跳台上完成动作的示意图，赛道的剖面的一部分可抽象为线段，，滑雪运动员从点出发，从起跳点起跳，到点落地．某比赛场地的实测参数如下：（如图2）
①跳台竖直高度；
②斜坡长度为，坡角为（与水平面夹角）；
③斜坡的坡角为．
根据以上条件，计算斜坡的长度．（结果精确到）
（参考数据：，，）
参考答案
一、选择题
1．
【详解】解：
=
=-1-1
=-2
故选：：B
2．
【详解】解：根据勾股定理可得：AB＝，
∴sinB＝．
故选B．
3．
【详解】解：，，，所对的边分别为a、b、c，
，故A成立，不符合题意；
，故B不成立，符合题意；
，故C成立，不符合题意；
，故D成立，不符合题意；
故选B．
4．
【详解】解：如图所示，连接，
根据题意可知，
∴，
∴.
在中，.
故选：D.
5．
【详解】解：∵
∴，，
∵
∴
故选：D．
6．
【详解】解：过点E作于点I，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵长为米，米，，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
故选：A．
二、填空题
7．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．60°
【详解】解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
9． 8°45′37″ 68°12′37″ 59°59′57″
【详解】按功能转换键shift，
（1）x=arcsin（0.1523）≈8.760238≈8°45′37″；
（2）x=arccos（0.3712）≈68.21036≈68°12′37″；
（3）x=arctan（1.7320）≈59.99927≈59°59′57″.
10．等腰直角
【详解】解：∵，，
∴∠A=∠B=45°.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°.
故是等腰直角三角形.
11．
【详解】解：过作轴，交轴于点，则，
∵，
∴，
在中，，
直线与轴夹角的正弦值，
故答案为：．
12．
【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴sin∠ABE=，
∴AB==BC，
∴重叠部分的面积=BC×AE=，
故答案为：．
13．1.
【详解】由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1.
故答案为1.
14．
15．或或
【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论：
①当时，如图，过作，交延长线于点，
，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得（舍去）或，
∴
此时；
②当时，且在线段上，如图，过作于点，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∴，
∴，
此时；
③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得（舍去）或，
即此时与重合，
∴，
∴，
此时；
综上，的值为或或；
故答案为：或或．
16．
【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
在中，，
设，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
在中，，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，，
，
在中，，
在中，，
又，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．10.1
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
延长交于点，根据题意可得：米,米，然后设米, 则米，从而分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点,
由题意得：米,米,
设米, 则米,
在中,
米,
在 中,
∴(米),
，
解得：
(米)
∴电池板离地面的高度的长约为米，
故答案为：．
三、解答题
19．解：（1）原式．
（2）原式．
20．如图1所示：tan∠AOB==1，
如图2所示：tan∠AOB==2，
如图3所示：tan∠AOB==3，
故tan∠AOB的值分别为1、2、3．
．
21．（1）解：在中，
∵，，
∴
（2）∵，，
∴；
在中，
，
∴．
22．解:延长交的延长线于,则，
由题意得，米，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答:教学楼的高度约为米.
23．（1）解：，
又∵，
∴，
即有，
故答案为：，；
（2）解：在中，，，，
∴，
延长至，使得，连接，如图所示，
∴，，
∴，，
∴．
24．解：，，
；①
，，
；②
，，
．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④
（1）如图，过点作于，则．
，，
，
，
，
．
（2），，为锐角，
．
25．解：如图，过点分别作于点，于点，
则四边形是矩形，
∴，．
在中，，即．
．
∵CD=105m，
．
．
在中，，即．
．
答：斜坡的长度约为．