江苏省淮安市2025年中考数学试题
1．（2025·淮安）－3的相反数是（ ）
A．－3 B． C．－ D．3
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
【解答】-（-3)=3，
故-3的相反数是3．
故答案为：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（2025·淮安）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故答案为： C.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案.
3．（2025·淮安）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时， n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·淮安）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 故A选项正确；
故B选项错误；
无法化简，故C选项错误；
故D选项错误；
故答案为： A.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方和合并同类项法则进行判断即可.
5．（2025·淮安）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，
故答案为： A.
【分析】将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，由此判断即可.
6．（2025·淮安）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，金价y钱.
∵每人出钱400， 会多出3400钱，
∵每人出钱300， 会多出100钱，
联立两方程组成方程组得
故答案为： B.
【分析】设合伙人数为x人，金价y钱，根据“每人出钱400， 会多出3400钱； 每人出钱300， 会多出100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
7．（2025·淮安）如图，直线，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）．
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：延长FA与直线b交于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
，
若 则 的度数是
故答案为： B.
【分析】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到 然后根据三角形内角和定理求解即可.
8．（2025·淮安）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；求特殊角的三角函数值；反比例函数的一点一垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作. 轴，垂足为C，过点B作 轴，垂足为D，
由条件可知
轴，
∵直角三角板AOB中
又
∴点A坐标为
∵点A在反比例函数 的图象上，
故选： C.
【分析】过点A作轴，垂足为C，过点B作 轴，垂足为D，证明 根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解.
9．（2025·淮安）若分式有意义，则a的取值范围是 ．
【答案】a≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得： 0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解.
10．（2025·淮安）计算： ．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的策划给你发法则解答即可.
11．（2025·淮安）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数是 °．
【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形底角相等，
∴顶角为
故答案为：
【分析】利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小.
12．（2025·淮安）点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 ．
【答案】(-1，5)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是(-1，1+4)，即(-1，5)，
故答案为：(-1，5).
【分析】根据点的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
13．（2025·淮安）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若，则 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵点E为BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵点F为CD的中点，
故答案为：4.
【分析】根据斜边上的中线，得到BC=2AE=8，根据平行四边形的性质，推出OF是 的中位线，进而得到 即可得出结果.
14．（2025·淮安）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【答案】6(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，
所以点A的坐标为(1，5).
因为
则取
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线 的解析式为y=x+b，
将点A(1，5)代入y=x+b得，
b=4，
所以此时直线 的解析式为y=x+4.
因为点B(m，n)在直线 上，且m>1，
不妨取m=2，
则n=2+4=6，
所以n的值可以是6.
故答案为：6(答案不唯一).
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为 据此得出旋转后的直线 的解析式，再结合m>1写出符合要求的n的值即可.
15．（2025·淮安）若，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由条件可得
∴当 时，2x+y有最大值为
故答案为：
【分析】根据 得到 -1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可.
16．（2025·淮安）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为90°，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形ABC的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为30°，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为 ．
【答案】24π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，所有符合条件的观察点组成的图形如图所示：
这个图形的周长：
故答案为： 24π.
【分析】 根据几何中张角的定义及圆周角定理，张角为30°时，观察点应位于以三角形各边为弦、对应圆心角为60°的两个圆弧上。需确定这些圆弧的位置及长度之和 .
17．（2025·淮安）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解： ：
（2）解：
由①， 得：
由②， 得：x>-7；
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集.
18．（2025·淮安）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
把 代入，得：原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，然后利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值.
19．（2025·淮安）已知：如图，在和中，点D在BC上，，，．求证：≌．
【答案】证明：
，即
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据 得到 E， 利用AAS即可得证.
20．（2025·淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，
∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可.
21．（2025·淮安）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图
数据分析：
平均数 中位数 众数
A型号 a 14 12
B型号 12 b c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
【答案】（1）14；13；14
（2）解：建议多进A型号扫地机器人.
理由：A型号扫地机器人销量的平均数、中位数均比B型号大.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)解：A型号平均数： (7+17+12+16+19+18+12+11)=14；
将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11，12， 14， 14， 15， 17，
∵第4位和第5位的平均数为：
∴B型号中位数b=13；
∵B型销量中14出现了2次，出现的次数最多，
∴B型号众数c=14；
故答案为： 14， 13， 14；
【分析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解；
(2)比较平均数、中位数，进而做出决策.
22．（2025·淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，．
（1）求证：BC是的切线；
（2）连接OD，若，，求扇形OBD的面积．
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB =90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°，
∵OB是⊙O的半径， 且BC⊥OB，
∴ BC是⊙O的切线.
（2）解：连接OD，
∵∠CAB=30°， AB=4，
∴∠DOB=2∠CAB=60°， OD=OB
∴扇形OBD的面积为
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)根据AB是⊙O的直径， 即可得到以∠ADB=90°，而∠CBD=∠CAB， 则∠ABC =∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°， 即可证明BC是⊙O的切线.
(2)连接OD， 由∠CAB=30°， AB=4， 得∠ =2，由扇形的面积公式解答即可
23．（2025·淮安）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(25，15)， (28，12)代入y=kx+b得：
解得：
∴y与x之间的函数表达式y=-x+40；
（2）解：根据题意得：xy=300，
即x(-x+40)=300，
整理得：
解得：
答：每件玩具的售价为10元或30元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
(2)利用日销售额=每件的售价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.
24．（2025·淮安）已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：设(CE=x.
∵四边形ABCD是矩形，
∵将 沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
D-CE=3-x.
在 中，由勾股定理得：
在 中，由勾股定理得：
即
解得
故CE的长为
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；矩形翻折模型
【解析】【分析】(1)以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分 交CD于点E即可；
(2)设CE=x，根据矩形的性质，可得.AD=B 再结合折叠的性质，可得.BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x；接下来在 中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度，然后在 根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程即可得到答案.
25．（2025·淮安）已知二次函数（m为常数）．
（1）若点在该函数图象上，则 ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
【答案】（1）2
（2）证明：对于二次函数 判别式
在函数 中， b=-m，c=m-1。
计算判别式：
将判别式配方： +1
因为 所以(
因此， 说明二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）p>1或p<-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：把 代入得-1=2-2m+m-1，解得m=2，
故答案为：2；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
则点A在抛物线对称轴的右侧，
当点B在抛物线的右侧时，
因为开口向上，
∴对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵ ，
∴m+1解得p>1；
当点B在抛物线的左侧时，
∵点A关于直线x=m的对称点的坐标为(m-1，y1)，
因为开口向上，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵ ，
∴m+p解得p<-1，
∴p的取值范围为p>1或p<-1.
【分析】（1）把代入二次函数的解析式求出m的值即可；
（2）令y=0，然后得到，判断得到即可得到结论；
（3）求出抛物线的对称轴是直线x=m，然后得到点A在抛物线对称轴的右侧，分为点B在对称轴的左边或右边两种情况，根据二次函数的增减性解答即可.
26．（2025·淮安）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
（1）【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
（2）【问题探究】
如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
（3）【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）1.8；0.26
（2）解：如图， 延长PN交AC于点F， 则(OF=EG=x，
米，
∴在 中， 米，
即
延长NM交AB于点H，过A作 交MN于I，则AI=1.8-1.6=0.2(米)， 为使头部不被淋湿，
=0.2，
解得
又·.
.
（3）解：设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作. 交BD于T，延长EG交CD于W， 过W作 交OG于Y，
则 所以在 中，
在 中，
<0.5，在 中，
又·. MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】(1)①由题意知， OG=0.45米， GP =1.35米，
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8米，即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为： 1.8；
②∵AC = 1米， 点O为AC中点，
米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD =∠KDP =72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK =∠KDP=72°，
∴在Rt△OCK中， ×3.08 = 1.54米， 米，故答案为： 0.26；
【分析】(1)①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
(2)延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用 接着可得 延长NM交AB于点H， 过A作 交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
(3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可.
27．（2025·淮安）探究与应用
（1）【问题初探】在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴． ① 在中，∵，∴ ▲ ． ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ▲ ． ∴． ……
根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是 ．
（2）【简单应用】如图（2），在等腰直角三角形ABC中，，点D在边AB上，，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．
（3）【灵活应用】如图（3），是的外接圆，的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若，，，求BD的长．
（4）【深度思考】如图（4），在中，，点D、E分别在边AC、BC上，且满足，AE、BD交于点P，若，则的值为 ．
【答案】（1）
（2）解：∵等腰直角三角形ABC中， AC=2，
由(1)中结论可知： 即：
∴正方形CDEF的面积=
（3）解：如图， 延长BD交⊙O于点E， 连接CE， OE，则OE=OB=9，
由(1)中结论可知： 即
∴BD·DE=56；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠CBD=∠DCE，
又∵∠CED=∠CEB，
∴△BEC∽△CED，
∴BE=4DE，
∴BD=3DE，
∵BD·DE=56，
解得
（4）
【知识点】勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】(1)解：如图(1)， 过点A作 于点D，
在 中，
在 中，
由①-②得：
故答案为： BP·CP；
(4)解：∵AD=DE=BE，
∴∠DAE =∠DEA， ∠DBE =∠EDB，
设∠DAE=∠DEA=α， ∠DBE=∠EDB
=β，
则∠CDE=∠DAE+∠DEA=2α， ∠CED=∠DBE+∠EDB=2β，
∵∠C=120°，
∴2α+2β=180°-∠C =60°，
∴∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=α+β=30°，
如图， 作DH⊥AE， EG⊥BD， 垂足分别为H， G，
则AH = EH， DG = BG，
∴设DH=x，则EH=AH=5x，
在 中，
，
同理：
故答案为：
【分析】(1)根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可；
(2)利用(1)中结论得到 ，进而求出 即可得出结果；
(3)延长BD交⊙O于点E， 连接CE， OE， 利用(1)中结论得到BD·DE =56， 证明△BEC∽△CED， 得到 推出BD=3DE， 代入BD·DE =56中， 进行求解即可；
(4)设∠DAE=∠DEA=α， ∠DBE=∠EDB=β，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=α+β=30°， 作DH⊥AE， EG⊥BD，垂足分别为H， G， 则AH = EH， DG= BG，根据 设DH=x， 则EH = AH =5x， 根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出PA， PE， PB， PD的长， 进行求解即可.
1 / 1江苏省淮安市2025年中考数学试题
1．（2025·淮安）－3的相反数是（ ）
A．－3 B． C．－ D．3
2．（2025·淮安）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2025·淮安）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·淮安）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2025·淮安）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2025·淮安）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2025·淮安）如图，直线，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）．
A．15° B．20° C．30° D．40°
8．（2025·淮安）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）．
A． B． C．1 D．2
9．（2025·淮安）若分式有意义，则a的取值范围是 ．
10．（2025·淮安）计算： ．
11．（2025·淮安）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数是 °．
12．（2025·淮安）点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 ．
13．（2025·淮安）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若，则 ．
14．（2025·淮安）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
15．（2025·淮安）若，则的最大值是 ．
16．（2025·淮安）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为90°，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形ABC的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为30°，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为 ．
17．（2025·淮安）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（2025·淮安）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·淮安）已知：如图，在和中，点D在BC上，，，．求证：≌．
20．（2025·淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
21．（2025·淮安）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图
数据分析：
平均数 中位数 众数
A型号 a 14 12
B型号 12 b c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
22．（2025·淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，．
（1）求证：BC是的切线；
（2）连接OD，若，，求扇形OBD的面积．
23．（2025·淮安）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
24．（2025·淮安）已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长．
25．（2025·淮安）已知二次函数（m为常数）．
（1）若点在该函数图象上，则 ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
26．（2025·淮安）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
（1）【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
（2）【问题探究】
如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
（3）【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
27．（2025·淮安）探究与应用
（1）【问题初探】在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴． ① 在中，∵，∴ ▲ ． ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ▲ ． ∴． ……
根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是 ．
（2）【简单应用】如图（2），在等腰直角三角形ABC中，，点D在边AB上，，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．
（3）【灵活应用】如图（3），是的外接圆，的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若，，，求BD的长．
（4）【深度思考】如图（4），在中，，点D、E分别在边AC、BC上，且满足，AE、BD交于点P，若，则的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
【解答】-（-3)=3，
故-3的相反数是3．
故答案为：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故答案为： C.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时， n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 故A选项正确；
故B选项错误；
无法化简，故C选项错误；
故D选项错误；
故答案为： A.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方和合并同类项法则进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，
故答案为： A.
【分析】将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，由此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，金价y钱.
∵每人出钱400， 会多出3400钱，
∵每人出钱300， 会多出100钱，
联立两方程组成方程组得
故答案为： B.
【分析】设合伙人数为x人，金价y钱，根据“每人出钱400， 会多出3400钱； 每人出钱300， 会多出100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：延长FA与直线b交于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
，
若 则 的度数是
故答案为： B.
【分析】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到 然后根据三角形内角和定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；求特殊角的三角函数值；反比例函数的一点一垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作. 轴，垂足为C，过点B作 轴，垂足为D，
由条件可知
轴，
∵直角三角板AOB中
又
∴点A坐标为
∵点A在反比例函数 的图象上，
故选： C.
【分析】过点A作轴，垂足为C，过点B作 轴，垂足为D，证明 根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解.
9．【答案】a≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得： 0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解.
10．【答案】2
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的策划给你发法则解答即可.
11．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形底角相等，
∴顶角为
故答案为：
【分析】利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小.
12．【答案】(-1，5)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是(-1，1+4)，即(-1，5)，
故答案为：(-1，5).
【分析】根据点的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵点E为BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵点F为CD的中点，
故答案为：4.
【分析】根据斜边上的中线，得到BC=2AE=8，根据平行四边形的性质，推出OF是 的中位线，进而得到 即可得出结果.
14．【答案】6(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，
所以点A的坐标为(1，5).
因为
则取
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线 的解析式为y=x+b，
将点A(1，5)代入y=x+b得，
b=4，
所以此时直线 的解析式为y=x+4.
因为点B(m，n)在直线 上，且m>1，
不妨取m=2，
则n=2+4=6，
所以n的值可以是6.
故答案为：6(答案不唯一).
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为 据此得出旋转后的直线 的解析式，再结合m>1写出符合要求的n的值即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由条件可得
∴当 时，2x+y有最大值为
故答案为：
【分析】根据 得到 -1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可.
16．【答案】24π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，所有符合条件的观察点组成的图形如图所示：
这个图形的周长：
故答案为： 24π.
【分析】 根据几何中张角的定义及圆周角定理，张角为30°时，观察点应位于以三角形各边为弦、对应圆心角为60°的两个圆弧上。需确定这些圆弧的位置及长度之和 .
17．【答案】（1）解： ：
（2）解：
由①， 得：
由②， 得：x>-7；
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集.
18．【答案】解：原式
把 代入，得：原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，然后利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值.
19．【答案】证明：
，即
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据 得到 E， 利用AAS即可得证.
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，
∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可.
21．【答案】（1）14；13；14
（2）解：建议多进A型号扫地机器人.
理由：A型号扫地机器人销量的平均数、中位数均比B型号大.
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)解：A型号平均数： (7+17+12+16+19+18+12+11)=14；
将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11，12， 14， 14， 15， 17，
∵第4位和第5位的平均数为：
∴B型号中位数b=13；
∵B型销量中14出现了2次，出现的次数最多，
∴B型号众数c=14；
故答案为： 14， 13， 14；
【分析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解；
(2)比较平均数、中位数，进而做出决策.
22．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB =90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°，
∵OB是⊙O的半径， 且BC⊥OB，
∴ BC是⊙O的切线.
（2）解：连接OD，
∵∠CAB=30°， AB=4，
∴∠DOB=2∠CAB=60°， OD=OB
∴扇形OBD的面积为
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)根据AB是⊙O的直径， 即可得到以∠ADB=90°，而∠CBD=∠CAB， 则∠ABC =∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°， 即可证明BC是⊙O的切线.
(2)连接OD， 由∠CAB=30°， AB=4， 得∠ =2，由扇形的面积公式解答即可
23．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(25，15)， (28，12)代入y=kx+b得：
解得：
∴y与x之间的函数表达式y=-x+40；
（2）解：根据题意得：xy=300，
即x(-x+40)=300，
整理得：
解得：
答：每件玩具的售价为10元或30元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
(2)利用日销售额=每件的售价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.
24．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：设(CE=x.
∵四边形ABCD是矩形，
∵将 沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
D-CE=3-x.
在 中，由勾股定理得：
在 中，由勾股定理得：
即
解得
故CE的长为
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；矩形翻折模型
【解析】【分析】(1)以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分 交CD于点E即可；
(2)设CE=x，根据矩形的性质，可得.AD=B 再结合折叠的性质，可得.BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x；接下来在 中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度，然后在 根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程即可得到答案.
25．【答案】（1）2
（2）证明：对于二次函数 判别式
在函数 中， b=-m，c=m-1。
计算判别式：
将判别式配方： +1
因为 所以(
因此， 说明二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）p>1或p<-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：把 代入得-1=2-2m+m-1，解得m=2，
故答案为：2；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
则点A在抛物线对称轴的右侧，
当点B在抛物线的右侧时，
因为开口向上，
∴对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵ ，
∴m+1解得p>1；
当点B在抛物线的左侧时，
∵点A关于直线x=m的对称点的坐标为(m-1，y1)，
因为开口向上，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵ ，
∴m+p解得p<-1，
∴p的取值范围为p>1或p<-1.
【分析】（1）把代入二次函数的解析式求出m的值即可；
（2）令y=0，然后得到，判断得到即可得到结论；
（3）求出抛物线的对称轴是直线x=m，然后得到点A在抛物线对称轴的右侧，分为点B在对称轴的左边或右边两种情况，根据二次函数的增减性解答即可.
26．【答案】（1）1.8；0.26
（2）解：如图， 延长PN交AC于点F， 则(OF=EG=x，
米，
∴在 中， 米，
即
延长NM交AB于点H，过A作 交MN于I，则AI=1.8-1.6=0.2(米)， 为使头部不被淋湿，
=0.2，
解得
又·.
.
（3）解：设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作. 交BD于T，延长EG交CD于W， 过W作 交OG于Y，
则 所以在 中，
在 中，
<0.5，在 中，
又·. MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】(1)①由题意知， OG=0.45米， GP =1.35米，
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8米，即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为： 1.8；
②∵AC = 1米， 点O为AC中点，
米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD =∠KDP =72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK =∠KDP=72°，
∴在Rt△OCK中， ×3.08 = 1.54米， 米，故答案为： 0.26；
【分析】(1)①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
(2)延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用 接着可得 延长NM交AB于点H， 过A作 交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
(3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可.
27．【答案】（1）
（2）解：∵等腰直角三角形ABC中， AC=2，
由(1)中结论可知： 即：
∴正方形CDEF的面积=
（3）解：如图， 延长BD交⊙O于点E， 连接CE， OE，则OE=OB=9，
由(1)中结论可知： 即
∴BD·DE=56；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠CBD=∠DCE，
又∵∠CED=∠CEB，
∴△BEC∽△CED，
∴BE=4DE，
∴BD=3DE，
∵BD·DE=56，
解得
（4）
【知识点】勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】(1)解：如图(1)， 过点A作 于点D，
在 中，
在 中，
由①-②得：
故答案为： BP·CP；
(4)解：∵AD=DE=BE，
∴∠DAE =∠DEA， ∠DBE =∠EDB，
设∠DAE=∠DEA=α， ∠DBE=∠EDB
=β，
则∠CDE=∠DAE+∠DEA=2α， ∠CED=∠DBE+∠EDB=2β，
∵∠C=120°，
∴2α+2β=180°-∠C =60°，
∴∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=α+β=30°，
如图， 作DH⊥AE， EG⊥BD， 垂足分别为H， G，
则AH = EH， DG = BG，
∴设DH=x，则EH=AH=5x，
在 中，
，
同理：
故答案为：
【分析】(1)根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可；
(2)利用(1)中结论得到 ，进而求出 即可得出结果；
(3)延长BD交⊙O于点E， 连接CE， OE， 利用(1)中结论得到BD·DE =56， 证明△BEC∽△CED， 得到 推出BD=3DE， 代入BD·DE =56中， 进行求解即可；
(4)设∠DAE=∠DEA=α， ∠DBE=∠EDB=β，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=α+β=30°， 作DH⊥AE， EG⊥BD，垂足分别为H， G， 则AH = EH， DG= BG，根据 设DH=x， 则EH = AH =5x， 根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出PA， PE， PB， PD的长， 进行求解即可.
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