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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.二次函数的图象与性质
一、选择题:(共30分)
1．(本题3分)将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)抛物线 y＝2（x＋3）2－5 的顶点坐标是（ ）
A．(3，5) B．(－3，5) C．(3，－5) D．(－3，－5)
3．(本题3分)若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
5．(本题3分)如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
6．(本题3分)如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．(本题3分)对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为（3，0） D．当时，y随x的增大面减小
8．(本题3分)若二次函数y＝－(x－m)2＋1，当x≤2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＝2 B．m>2 C．m≥2 D．m≤2
9．(本题3分)抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:(共15分)
11．(本题3分)抛物线+3可以看作把抛物线向 平移 个单位，向 平移 个单位得到．
12．(本题3分)试写出一个抛物线，它的开口向上，且对称轴是直线x＝1： ．
13．(本题3分)若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ．
14．(本题3分)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
15．(本题3分)若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为 ．
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)已知二次函数．用配方法将解析式化为的形式；
17．(本题7分)如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
18．(本题8分)根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的坐标系中（见图1）画出二次函数的图象（只画出图象即可）．
②借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为______．
(2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集．
①构造函数，画出图象；②求得界点，标示所需；③借助图像，写出解集．
19．(本题8分)已知二次函数
（1）将化成的形式
（2）求出该二次函数的对称轴和顶点坐标
（3）当自变量x由5增大到8时，函数值y是怎样变化的
20．(本题8分)已知二次函数．
将化成 的形式；
指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
当x取何值时，y随x的增大而增大？
21．(本题9分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．
22．(本题9分)对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法解:去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解.
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.二次函数的图象与性质
一、选择题:(共30分)
1．(本题3分)将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
解：将抛物线向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为．
故选：A．
2．(本题3分)抛物线 y＝2（x＋3）2－5 的顶点坐标是（ ）
A．(3，5) B．(－3，5) C．(3，－5) D．(－3，－5)
解：抛物线 y＝2（x＋3）2－5 的顶点坐标是（-3，-5）
故选D．
3．(本题3分)若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
4．(本题3分)如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴，在y轴左边，与y轴正半轴相交，
a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，
D选项符合．
故选D．
5．(本题3分)如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
解：∵二次函数y=（x+1）2-4，
对称轴是：直线x=-1
∵a=1＞0，
∴x＞-1时，y随x的增大而增大，x＜-1时，y随x的增大而减小，
由图像可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1）2-4=5，
x=-1时y有最小值，y＝（-1+1）2﹣4＝-4，
故选：B．
6．(本题3分)如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．(本题3分)对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为（3，0） D．当时，y随x的增大面减小
解：二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
故A、B、C正确，不符合题意；
D不正确，符合题意；
故选：D．
8．(本题3分)若二次函数y＝－(x－m)2＋1，当x≤2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＝2 B．m>2 C．m≥2 D．m≤2
解：∵二次函数y＝－(x－m)2＋1的二次项系数是－1，
∴该二次函数图象的开口方向是向下；
又∵该二次函数图象的顶点坐标是（m，1），
∴当x≤m时，y随x的增大而增大，
∵当x≤2时，y随x的增大而增大，
∴m≥2，
故选：C．
9．(本题3分)抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
解抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
10．(本题3分)已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
二、填空题:(共15分)
11．(本题3分)抛物线+3可以看作把抛物线向 平移 个单位，向 平移 个单位得到．
解：抛物线+3可以看作把抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到．
故答案为：右；2；上；3．
12．(本题3分)试写出一个抛物线，它的开口向上，且对称轴是直线x＝1： ．
解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为正，已知对称轴为直线，
根据顶点式，得抛物线解析式为．
故答案为：．
13．(本题3分)若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ．
解:抛物线与形状相同，开口方向相反
则，∴的解析式为故答案为：
14．(本题3分)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，﹣），
∴点B的坐标为（1，0），
∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
15．(本题3分)若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为 ．
解:把点A代入：得，，解得：，
∴该抛物线的解析式为：.
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)已知二次函数．用配方法将解析式化为的形式；
解，
即化为的形式得：．
17．(本题7分)如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，∴C（0，-2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y＝kx+b，
则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝，
当 x＝时，
y＝-2＝，
∴P（，）．
18．(本题8分)根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的坐标系中（见图1）画出二次函数的图象（只画出图象即可）．
②借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为______．
(2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集．
①构造函数，画出图象；②求得界点，标示所需；③借助图像，写出解集．
解（1）①二次函数的图象如图：
x 0 1
y 0 2 0
②由所标示图象，可得不等式的解集为
故答案为：；
（2）解：①
的图象如图：
x 0 1 2 3
y 0 0
②根据图象得：，；
③根据图象，的解集为：．
19．(本题8分)已知二次函数
（1）将化成的形式
（2）求出该二次函数的对称轴和顶点坐标
（3）当自变量x由5增大到8时，函数值y是怎样变化的
解（1），
即；
（2）由可知，二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
（3）当时，，
当时，，
故当自变量x由5增大到8时，函数值y由8增大到35．
20．(本题8分)已知二次函数．
将化成 的形式；
指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
当x取何值时，y随x的增大而增大？
解：，即；
根据的函数解析式知，对称轴为，顶点坐标为；
根据、的结论画出二次函数的大致图象如图所示，从图象中可知，当时，y随x的增大而增大．
21．(本题9分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．
解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0；
②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0；
③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0；
④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
22．(本题9分)对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法解:去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解.
解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数．
解：由等式的性质，得
m2+2=﹣．
在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣，
，
由图象，得
n=m2+2与n=﹣的交点坐标在﹣2与﹣1之间，
即方程m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间．
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