广东省大湾区2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试卷（含答案）

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2025-2026学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷（模拟）
副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆：和圆：，则圆与圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 内切 C. 相交 D. 外切
4.公差不为的等差数列的首项，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
5.椭圆：的离心率为，，是的两个焦点，过的直线与交于，两点，则的最大值等于( )
A. B. C. D.
6.若曲线与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. 或 B.
C. D.
7.已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线，是异面直线
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的内切球的体积为
D. 平面截正方体所得截面的面积为
11.设集合，其中，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，直线交圆：于，两点，则 ______．
13.一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共个，其中黑球有个，现从中不放回的取球，每次取球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为______．
14.如图，在任意四边形中，，分别为，的中点，，，边与所成角为，则线段的长度是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，过点作圆的切线，切点为，过点的直线与圆交于点，，且的中点为若圆的半径为，，圆心到直线的距离为，求线段的长．
16.本小题分
已知数列，分别是等差数列与等比数列，满足，公差，且，，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ设数列对任意正整数均有成立，设的前项和为，求证：是自然对数的底数．
17.本小题分
已知复数，．
若是纯虚数，求；
若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
18.本小题分
为加强中学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛，某校举行选拔赛，共有名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取名学生的成绩得分均为整数，满分为分进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
分组 频数 频率
一
二
三
四
合计
若用系统抽样的方法抽取个样本，现将所有学生随机地编号为，，，，试写出第二组第一位学生的编号；
求出，，，，的值直接写出结果，并作出频率分布直方图．
19.本小题分
设直线的方程为，根据下列条件分别求的值：
在轴上的截距是；
斜率为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围．
【详解】函数的导数为，
令，则或，
上单调递减，上单调递增，
所以或是函数的极值点，
函数的极值为：，
函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：．
故选B．
【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大．
2.【答案】
【解析】解： 与点 关于折痕对称，两点的中点坐标为， ，即，
两点确定直线的斜率为，
则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即．
由点与点关于对称，
得到点与点也关于对称，
则，解得，
则，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：圆：，圆：，
则圆的圆心为，，圆的圆心为，半径，
，
由于，
则圆与圆的位置关系为相交．
故选：．
根据圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．
设等差数列的公差为，由已知结合等比数列的性质可得，代入等差数列的通项公式求．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
由题意可知，，则，
，得，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的几何性质与综合运用，属于一般题．
先求出，然后再求最值即可．
【解析】
解：的离心率为，
故，
故焦点分为与，
则过的直线为，
若与交于，两点，则的最大值即为最小时，
故选A．
6.【答案】
【解析】解：由曲线，得，
所以曲线是以为圆心，为半径的右半圆；
由曲线：，得或，
所以曲线是两条直线；
因为曲线与曲线有四个不同的交点，
易知直线与曲线有个交点，，，
故直线与曲线有个交点，而直线过定点，
当直线过点时恰好有个交点，此时，但是曲线与曲线有个交点，
当直线与曲线相切时，，解得，或舍，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据曲线的方程判断曲线的形状，曲线是以为圆心，为半径的右半圆；所以曲线是两条直线；然后画图判断直线与曲线有个交点的临界状态，即可求出结果．
本题考查曲线与方程，直线与圆的位置关系，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：直线，
令，得，
令，得，
因为椭圆：的两个顶点在直线上，
所以，，
所以，
所以椭圆的方程为，
设过点的切点方程为，，
联立，得，
所以，
化简得，即，
同时解得点的横坐标，
则，
所以，
把代入上式，得，
所以，
对，令得，
所以点的坐标为，又，
则，
所以定值．
故选：．
求出直线与轴，轴交点的坐标，即可得，，进而可得椭圆的方程，设过点的切点方程为，，联立椭圆的方程，由，得，解得点坐标，计算出，求出点坐标，计算出，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】试题分析：数列为常数列，如果，则数列不是等比数列；
显然数列是以为首项，以为公差的等差数列，且是以为首项，以为公比的等比数列．
若既是等差数列又是等比数列，则对任意都有：
可得，整理得，．
是常数列．
“数列既是等差数列又是等比数列”数列为常数列”
“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件，
故选B；
考点：充要条件，等差数列，等比数列．
9.【答案】
【解析】由，得，，
则，，AB正确；
由，得，C错误；
由，得，D错误．
故选：．
利用对数函数的单调性可得，再利用不等式性质逐项判断即得．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A：如图：
取中点为，连接，，，
因为，所以，，，共面，且平面，
又平面，，平面，
所以直线与异面．故选项A正确；
对于选项B：取的中点，取的中点，则，
所以为直线与所成的角或其补角．
连接，在中，，，，
由余弦定理得：，
即直线与所成角的余弦值为，故选项B正确；
对于选项C：如图：
由题意，三棱锥为棱长是的正四面体，
设其内切球的球心为，半径为，
所以，
又，
所以，
解得，
则三棱锥的内切球的体积为，故选项C错误；
对于选项D：如图：
延长，交于点，连接交于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以D.
在梯形中，，，．
则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，故选项D正确．
故选：．
根据异面直线的判定定理判断的真假；
构造异面直线所成的角，解三角形求两直线所成角的余弦，判断的真假；
先判断三棱锥是正四面体，利用体积法求其内切球的半径，进而求内切球的体积，判断的真假；
作出截面，再求截面面积，判断的真假．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了元素与集合的关系，是基础题．
分别计算的范围，即可判断．
【解答】
解：对于，因为，
故，即，故A正确；
对于，因为，
故，即，故B正确；
对于，因为，
所以，即，故C正确；
对于，因为，
所以，故，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：根据积分的几何意义可知，
直线方程为，
则圆心到直线的距离，
．
故答案为：．
先根据积分的几何意义求出，然后根据直线与圆的位置关系即可求相交弦的弦长．
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及积分的几何意义，要求熟练掌握相应的计算公式，考查学生的计算能力．
13.【答案】
【解析】解：设事件表示“第一次取出黑球”，事件表示“第二次取出白球”，
则，，
所以．
故答案为：．
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
，分别是四边形的边，的中点，
，，
得，
，
又，，边与所成角为，
，
，
线段的长度为．
故答案为：
根据向量加法的几何意义便可得到，从而便可得出，再根据数量积的运算律计算可得．
本题考查向量加法的几何意义、向量数量积的运算律、异面直线等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．
15.【答案】解：连接，，因为为圆心，中点为，
，
又为圆的切线，，
由条件可知，，
由切割线定理可得，
即，
解得．
【解析】连接，，推导出，，由切割线定理可得，由此能求出的长．
本题考查线段长的求法，考查圆、切线性质、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16.【答案】解：Ⅰ因为，，，且，，是等比数列中连续三项，
所以：，由于
解得：．
所以，
又，
所以，
所以：
Ⅱ证明：因为所以当时，
两式作差可得，
所以：，
当时，，不满足上式，故
于是

【解析】Ⅰ直接根据已知条件建立方程组，求得数列的通项公式．
Ⅱ利用构造的新数列，根据通项公式求出数列的和，进一步求出结论成立．
本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，等比数列前项和公式的应用．属于基础题型．
17.【答案】解：因为，是纯虚数，所以，
所以；
因为，
所以，
所以的取值范围是．
【解析】根据是纯虚数可求，由复数的乘法运算即可求解；
根据复数的除法运算先求，再根据在复平面内对应的点在第三象限求解即可．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：用系统抽样的方法抽取个样本，组距是，
且第一组数据为，，，，
第二组第一位学生的编号为；
根据题意，得；
数据在内的频数是，
数据在内的频数是，
数据在内的频率是，
数据在内的频率是，
频率和，
即、、、、；
根据频率分布表，作出频率分布直方图如图所示．
【解析】根据系统抽样方法的特点，求出组距以及第二组第一位学生的编号；
根据频率、频数与样本容量的关系，求出、、、与的值，
再根据频率分布表，作出频率分布直方图．
本题考查了系统抽样的应用问题，也考查了频率的应用问题以及画频率分布直方图的问题，是基础题目．
19.【答案】解：在轴上的截距是，即直线过点，
故，
即，分解因式的，
解得或，，
经检验当时，直线方程为，不合题意，应舍去，
故；
直线斜率为，即直线方程中、的系数互为相反数，且不为．
故，解得，或
但时，，故应舍去，
所以
【解析】在轴上的截距是，即直线过点，代入方程，解之即可；由题意得斜率为，即直线方程中、的系数互为相反数，且不为，解方程求得实数的值．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及解一元二次方程的方法，属于基础题．