浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（B卷）
1．（2025高一上·浙江月考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故选：C.
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
2．（2025高一上·浙江月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
所以该命题的否定是：，.
故选：A.
【分析】根据“存在量词命题，的否定为，”求解即可.
3．（2025高一上·浙江月考）集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为，所以．又，所以，
所以可能的取值为，所以可能的取值为±4，±2，±1，
所以，所以集合A中共有6个元素．
故选：D.
【分析】，，可能的取值为，进而的可能取值，即可求得集合A的元素个数.
4．（2025高一上·浙江月考）设，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，，则，，，故选项A错误；
B、若，两边同时除以不为0的，则，故选项B正确；
C、若，，，但，故选项C错误；
D、若，，则，，∴，故选项D错误.
故选：B.
【分析】举反例即可判断选项ACD，利用不等式性质证明选项B即可.
5．（2025高一上·浙江月考）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设集合，，
∵是的充分不必要条件，
∴是的真子集，∴，解得.
故选：D.
【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行求解即可求得m的取值范围.
6．（2025高一上·浙江月考）已知，，则M，N的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与x的取值有关
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故选：C.
【分析】利用作差法即可判断的大小.
7．（2025高一上·浙江月考）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由图象可知，，，，
所以，，
所以，，
所以等价于，
因为，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【分析】根据图象结合韦达定理可知，，，进而用表示出和，再代入不等式求解即可求得不等式的解集 .
8．（2025高一上·浙江月考）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集
B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集
D．不是规范数集，不是规范数集
【答案】C
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意知集合中两个数相减最小值若为1，则该集合是规范数集.
集合，当时，，
即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集；
集合，
因为，
即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集；
综上所述，不是规范数集，是规范数集.
故选：C.
【分析】利用规范数集的定义，集合中两个数相减最小值若为1，则该集合是规范数集，分别对集合M和集合N里面每两个元素的差的绝对值进行求解即可判断.
9．（2025高一上·浙江月考）已知集合，集合，则集合N可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：A，符合，故选项A正确；
B，不符合，故选项B错误；
C，符合，故选项C正确；
D，不符合，故选项D错误；
故选：AC.
【分析】根据子集、真子集关系，各选项逐一分析判断即可.
10．（2025高一上·浙江月考）设正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、B、，当且仅当时，等号成立，∴的最大值是 ，故选项A错误，选项B正确；
C，，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为 ，故选项C正确；
D，，由B选项知，∴的最小值为 ，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】利用基本不等式的变形计算即可判断选项AB；利用常数“1”的代换计算即可判断选项C；利用，结合已知条件计算即可判断选项D.
11．（2025高一上·浙江月考）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由题可知，是方程的两根，∴，，∴ ，故选项A正确；
B、由图可知，当时，，，故选项B错误；
C、当时，，，故选项C错误；
D、∵，∴，∴，故选项D正确.
故选：AD
【分析】先将不等式化为一元二次不等式的标准形式，再根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识来逐一分析选项.
12．（2025高一上·浙江月考）已知方程的两根为，，则 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，，
∴，，∴.
故答案为：3
【分析】根据，利用韦达定理计算即可求解.
13．（2025高一上·浙江月考）若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：令.
∵函数对称轴为直线，
∴要使有两个正整数实根，这两个根只能，
所以当时，，且时，，解得.
故答案为：
【分析】结合二次的函数性质列不等式求解即可求得实数a的取值范围 .
14．（2025高一上·浙江月考）已知实数满足，，则的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：将两边同除以得，
又∵，∵，∴，
∴，是方程的两个根.
∴，.
∴.
故答案为：
【分析】构造同解方程，可得，是方程的两个根.，进而利用韦达定理可得，，代入化简即可求得的值 .
15．（2025高一上·浙江月考）将下列各式分解因式.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用提公因式和平方差因式分解即可；
（2）利用十字相乘法因式分解即可；
（3）利用拆项后分组分解法因式分解即可.
（1）.
（2）.
（3）..
16．（2025高一上·浙江月考）已知集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：当时，，所以，
又，
所以，.
（2）解：当时，，显然满足；
当时，，，
因为，所以或，所以或；
综上所述，或或.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算出集合、后利用并集、补集与交集定义计算即可求得和；
（2）分及结合集合间关系讨论并计算即可求得m的值.
（1）若，则，则，
又，
所以，；
（2）若，则，显然满足；
若，则，，
由得，或，故或；
综上：或或.
17．（2025高一上·浙江月考）若且.
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以（当且仅当时取等号），
所以，解得或（舍），所以，
所以的最小值是9.
（2）解：因为，所以（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），
所以a+b的取值范围为.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）结合基本不等式可得到关于的不等式，求解即可求得的最小值；
（2）结合基本不等式，得到关于的不等式，求解即可求得的取值范围.
（1）由于，则（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），所以，
所以的最小值是9.
（2）由于，则（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），.
所以的取值范围是.
18．（2025高一上·浙江月考）已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接.
（1）设，，请写出x与a的关系式（用x表示a）；
（2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值.
【答案】（1）解：在直角梯形中，，过点D作的垂线，垂足为F，所以四边形是矩形，
因为，，所以，，
在中，，即，
所以.
（2）解：由（1）知，
因为，，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，此时.
【知识点】函数的表示方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）作于，根据给定条件，结合勾股定理列式求解即可求得 x与a的关系式.
（2）证明，求出与的函数关系，利用基本不等式求出最大值即可.
（1）在直角梯形中，，过点D作的垂线，垂足为F，
则四边形是矩形，由，，得，，
在中，，即，
所以.
（2）由（1）知，由，，得，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，此时.
19．（2025高一上·浙江月考）已知二次函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值；
（3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为{a|}.
（2）解：对称轴，
①当，即时，当时，，故，所以；
②当，即时，当时，，故，所以，舍去.
③当，即，当时，，故，所以或（舍去）.
综上：或.
（3）解：当时，；当时，；
（i）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当时，此不等式组无解.
综上所述，a的取值范围为{a|}.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）根据开口向上，只需要即可；
（2）讨论对称轴与0，1的关系，讨论最值即可；
（3）根据二次函数性质，讨论端点情况以及对称轴、判别式的情况，列不等式求解即可.
（1）恒成立，故，所以.
（2）对称轴，
①当，即时，当时，，故，所以；
②当，即时，当时，，故，所以，舍去.
③当，即，当时，，故，所以或（舍去）.
综上：或.
（3）当时，；当时，；
（i）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当时，此不等式组无解.
综上：.
1 / 1浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（B卷）
1．（2025高一上·浙江月考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·浙江月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一上·浙江月考）集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025高一上·浙江月考）设，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2025高一上·浙江月考）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·浙江月考）已知，，则M，N的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与x的取值有关
7．（2025高一上·浙江月考）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．（2025高一上·浙江月考）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集
B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集
D．不是规范数集，不是规范数集
9．（2025高一上·浙江月考）已知集合，集合，则集合N可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·浙江月考）设正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2025高一上·浙江月考）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025高一上·浙江月考）已知方程的两根为，，则 .
13．（2025高一上·浙江月考）若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是 .
14．（2025高一上·浙江月考）已知实数满足，，则的值为 .
15．（2025高一上·浙江月考）将下列各式分解因式.
（1）；
（2）；
（3）.
16．（2025高一上·浙江月考）已知集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的值.
17．（2025高一上·浙江月考）若且.
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围.
18．（2025高一上·浙江月考）已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接.
（1）设，，请写出x与a的关系式（用x表示a）；
（2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值.
19．（2025高一上·浙江月考）已知二次函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值；
（3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故选：C.
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
所以该命题的否定是：，.
故选：A.
【分析】根据“存在量词命题，的否定为，”求解即可.
3．【答案】D
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为，所以．又，所以，
所以可能的取值为，所以可能的取值为±4，±2，±1，
所以，所以集合A中共有6个元素．
故选：D.
【分析】，，可能的取值为，进而的可能取值，即可求得集合A的元素个数.
4．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，，则，，，故选项A错误；
B、若，两边同时除以不为0的，则，故选项B正确；
C、若，，，但，故选项C错误；
D、若，，则，，∴，故选项D错误.
故选：B.
【分析】举反例即可判断选项ACD，利用不等式性质证明选项B即可.
5．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设集合，，
∵是的充分不必要条件，
∴是的真子集，∴，解得.
故选：D.
【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行求解即可求得m的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故选：C.
【分析】利用作差法即可判断的大小.
7．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由图象可知，，，，
所以，，
所以，，
所以等价于，
因为，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【分析】根据图象结合韦达定理可知，，，进而用表示出和，再代入不等式求解即可求得不等式的解集 .
8．【答案】C
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意知集合中两个数相减最小值若为1，则该集合是规范数集.
集合，当时，，
即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集；
集合，
因为，
即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集；
综上所述，不是规范数集，是规范数集.
故选：C.
【分析】利用规范数集的定义，集合中两个数相减最小值若为1，则该集合是规范数集，分别对集合M和集合N里面每两个元素的差的绝对值进行求解即可判断.
9．【答案】A,C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：A，符合，故选项A正确；
B，不符合，故选项B错误；
C，符合，故选项C正确；
D，不符合，故选项D错误；
故选：AC.
【分析】根据子集、真子集关系，各选项逐一分析判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、B、，当且仅当时，等号成立，∴的最大值是 ，故选项A错误，选项B正确；
C，，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为 ，故选项C正确；
D，，由B选项知，∴的最小值为 ，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】利用基本不等式的变形计算即可判断选项AB；利用常数“1”的代换计算即可判断选项C；利用，结合已知条件计算即可判断选项D.
11．【答案】A,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由题可知，是方程的两根，∴，，∴ ，故选项A正确；
B、由图可知，当时，，，故选项B错误；
C、当时，，，故选项C错误；
D、∵，∴，∴，故选项D正确.
故选：AD
【分析】先将不等式化为一元二次不等式的标准形式，再根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识来逐一分析选项.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，，
∴，，∴.
故答案为：3
【分析】根据，利用韦达定理计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：令.
∵函数对称轴为直线，
∴要使有两个正整数实根，这两个根只能，
所以当时，，且时，，解得.
故答案为：
【分析】结合二次的函数性质列不等式求解即可求得实数a的取值范围 .
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：将两边同除以得，
又∵，∵，∴，
∴，是方程的两个根.
∴，.
∴.
故答案为：
【分析】构造同解方程，可得，是方程的两个根.，进而利用韦达定理可得，，代入化简即可求得的值 .
15．【答案】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用提公因式和平方差因式分解即可；
（2）利用十字相乘法因式分解即可；
（3）利用拆项后分组分解法因式分解即可.
（1）.
（2）.
（3）..
16．【答案】（1）解：当时，，所以，
又，
所以，.
（2）解：当时，，显然满足；
当时，，，
因为，所以或，所以或；
综上所述，或或.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算出集合、后利用并集、补集与交集定义计算即可求得和；
（2）分及结合集合间关系讨论并计算即可求得m的值.
（1）若，则，则，
又，
所以，；
（2）若，则，显然满足；
若，则，，
由得，或，故或；
综上：或或.
17．【答案】（1）解：因为，所以（当且仅当时取等号），
所以，解得或（舍），所以，
所以的最小值是9.
（2）解：因为，所以（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），
所以a+b的取值范围为.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）结合基本不等式可得到关于的不等式，求解即可求得的最小值；
（2）结合基本不等式，得到关于的不等式，求解即可求得的取值范围.
（1）由于，则（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），所以，
所以的最小值是9.
（2）由于，则（当且仅当时取等号），
得，故或（舍），.
所以的取值范围是.
18．【答案】（1）解：在直角梯形中，，过点D作的垂线，垂足为F，所以四边形是矩形，
因为，，所以，，
在中，，即，
所以.
（2）解：由（1）知，
因为，，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，此时.
【知识点】函数的表示方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）作于，根据给定条件，结合勾股定理列式求解即可求得 x与a的关系式.
（2）证明，求出与的函数关系，利用基本不等式求出最大值即可.
（1）在直角梯形中，，过点D作的垂线，垂足为F，
则四边形是矩形，由，，得，，
在中，，即，
所以.
（2）由（1）知，由，，得，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，此时.
19．【答案】（1）解：恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为{a|}.
（2）解：对称轴，
①当，即时，当时，，故，所以；
②当，即时，当时，，故，所以，舍去.
③当，即，当时，，故，所以或（舍去）.
综上：或.
（3）解：当时，；当时，；
（i）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当时，此不等式组无解.
综上所述，a的取值范围为{a|}.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）根据开口向上，只需要即可；
（2）讨论对称轴与0，1的关系，讨论最值即可；
（3）根据二次函数性质，讨论端点情况以及对称轴、判别式的情况，列不等式求解即可.
（1）恒成立，故，所以.
（2）对称轴，
①当，即时，当时，，故，所以；
②当，即时，当时，，故，所以，舍去.
③当，即，当时，，故，所以或（舍去）.
综上：或.
（3）当时，；当时，；
（i）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当时，此不等式组无解.
综上：.
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