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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2. 确定二次函数表达式
一、选择题:(每小题3分 共30分)
1．已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为－2，则m的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或2
解：∵二次函数为y=mx2-4mx，
∴对称轴为，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当-2≤x≤3时，函数在x=2取得最小值-2，
将x=2，y=-2代入y=mx2-4mx中， 解得：m=，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当-2≤x≤3时，函数在x=-2取得最小值-2，
将x=-2，y=-2代入y=mx2-4mx中， 解得：，
综上，m的值为或，
故选：B．
2．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
解∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵抛物线向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：．故选C．
4．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y=-2x2相同，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式为( )
A．y=-2x2-x+3 B．y=-2x2+4x+5 C．y=-2x2+4x+8 D．y=-2x2+4x+6
解:由题意a=﹣2，
∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0）
∴设y=﹣2（x+1）（x﹣3）
，即：．
故选D．
5．在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的a的值最大（ ）
A．点A，点B，点C B．点A，点C，点D
C．点A，点B，点D D．点B，点C，点D
解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故选：C．
6．已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解: ，
解得，.
所以D选项是正确.
7．已知函数的图象如图所示，那么函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
解:由图知：抛物线经过点（-1，0），（3，0），（0，3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则有：
a（0+1）（0-3）=3，
解得a=-1；
即：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.
故选A．
8．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)，
∴该抛物线的对称轴是直线：x=m+3，
∴设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，
把A(m，n)代入，得
n=(m-m-3)2，
解得n=9．
故选A．
9．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
解:A、由图象可知开口向下,故a＜0, 故A错误；
B、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是,
而的顶点横坐标是﹣, 故B错误；
C、的顶点横坐标是﹣, 故C错误；
D、的顶点横坐标是,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D正确．
故选D.
10．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：令，则
∴
∴由题意可得：
解得：
∴
如图所示：
若最小值为最大值为，
结合图像可得：
故答案选：C
二、填空题:(每小题3分 共15分)
11．要确定一次函数，需求出k、b的值，用 代入 法，由两点（两点连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k、b的二元一次方程组求出k、b的值．
解:略
12．已知二次函数的图象过点和点，那么这个函数的解析式为 ；当 时，随的增大而增大．
解：∵二次函数的图象过点和点，
∴，解得：，
∴二次函数，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
故答案为：，．
13．二次函数的图象如图所示，已知，则该二次函数的解析式为 ．
解：由题意，得，
，
，
将点A坐标代入抛物线解析式，得，
解得：或0(不合题意，舍去)，
∴该抛物线的解析式为，
故答案为：．
14．抛物线中，已知，最小值为6，则此抛物线的解析式为 .
解因为a:b:c=1:2:3，
则抛物线的解析式，
根据顶点坐标公式可得y的最值为，
则可得:，
解得(舍去)，
所以抛物线的解析式为:，
故答案为:．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，四边形是正方形，抛物线过C，D两点，且C为顶点，则a的值为 .
解：如图，作于N，于M，与交于点F.
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点，点，
∵四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
同理可以得到：，，
∴点，，，
把，代入得：
，
解得：，
为顶点，
∴，即 ，
解得：.
故答案为．
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
（1）解：若，
则是抛物线上关于对称轴对称的两点
故抛物线的对称轴为直线：，
故答案为：
（2）解：∵点在上，
∴， .
∴
将代入得：
∴
解得
∴.
故顶点坐标为
17．(本题7分)已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
解：（1）设抛物线y=ax2+bx+c，
把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）
∴抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．
18．(本题8分)数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，．
(1)求m，n的值；
(2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来．
（1）解：把，和，分别代入，
得，
解得：；
（2）解：由得，
把，代入，得，
解得，
所以丙同学把n看成了．
19．(本题8分)已知二次函数y=ax2+bx﹣3．
（1）若函数图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），求a，b的值；
（2）证明：若2a﹣b=1，则存在一条确定的直线始终与该函数图象交于两点．
解（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），
∴代入得：，解得：a=1，b=﹣2；
（2）证明：∵2a﹣b=1，
∴b=2a﹣1，
∴y=ax2+bx﹣3=ax2+（2a﹣1）x﹣3=（x2+2x）a﹣x﹣3，
令x=0时，y=﹣3，
令x=﹣2时，y=﹣1，
则二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过定点（0，﹣3）和（﹣2，﹣1），
∴若直线过（0，﹣3）和（﹣2，﹣1），则永远与二次函数交于两点，
此直线的解析式是y=﹣x﹣3．
20．(本题8分)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-).
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
解：（1）将点A（-1， ）代入y=ax2，得=a×12，解得，a=，
所以解析式为：y=-x2.
图象如图所示：
（2）根据二次函数y=ax2的性质可知：顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴.
21．(本题9分)如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点，对称轴为直线，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
解∵对称轴为直线，
∴设二次函数的表达式为，
把，代入，得，
解得．
∴二次函数的表达式为，二次函数图象的最低点坐标为．
22．(本题9分)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
解（1）有顶点就用顶点式求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可.
解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；
（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1.
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），
∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后结果坐标原点.
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标所得（4，0）.
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2. 确定二次函数表达式
一、选择题:(每小题3分 共30分)
1．已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为－2，则m的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或2
2．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y=-2x2相同，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式为( )
A．y=-2x2-x+3 B．y=-2x2+4x+5 C．y=-2x2+4x+8 D．y=-2x2+4x+6
5．在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的a的值最大（ ）
A．点A，点B，点C B．点A，点C，点D
C．点A，点B，点D D．点B，点C，点D
6．已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知函数的图象如图所示，那么函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
9．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
10．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:(每小题3分 共15分)
11．要确定一次函数，需求出k、b的值，用 代入 法，由两点（两点连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k、b的二元一次方程组求出k、b的值．
12．已知二次函数的图象过点和点，那么这个函数的解析式为 ；当 时，随的增大而增大．
13．二次函数的图象如图所示，已知，则该二次函数的解析式为 ．
14．抛物线中，已知，最小值为6，则此抛物线的解析式为 .
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，四边形是正方形，抛物线过C，D两点，且C为顶点，则a的值为 .
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
17．(本题7分)已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
18．(本题8分)数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，．
(1)求m，n的值；
(2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来．
19．(本题8分)已知二次函数y=ax2+bx﹣3．
（1）若函数图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），求a，b的值；
（2）证明：若2a﹣b=1，则存在一条确定的直线始终与该函数图象交于两点．
20．(本题8分)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-).
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
21．(本题9分)如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点，对称轴为直线，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
22．(本题9分)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
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