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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.4 二次函数的应用
一、选择题:(每小题3分 共30分)
1．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
解:铅球落地时高度为0，即当y=0时，
=0，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
所以该生此次实心球训练的成绩为10米，
故选：B．
2．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（ ）
A．最大值为5万元 B．最大值为7万元
C．最小值为5万元 D．最大值为6万元
解：
，当时，
（万元）；
故选：B．
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A． B． C． D．
解：设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则
即得，
那么．
故选：C．
4．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为，
则抛物线解析式为
将代入可得：
解得即解析式为故选：A
5．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
解：由题意得修改后的花园面积
，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故选：C．
6．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
解:
如图所示：抛物线，对称轴为直线
抛物线与轴的交点为和
，OA=5
当y=0时，-5与2是方程的两个根
根据韦达定理可得：即
即
，
解得
．
故选C．
7．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y=﹣x2+2x+5 图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ）
A．0米到8米 B．5米到8米 C．到8米 D．5米到米
解：如图．
∵y=-x2+2x+5=-（x-3）2+8，∴顶点坐标为B（3，8），对称轴为x=3．
又∵爆炸后1秒点A的坐标为（1，），6秒时点的坐标为（6，5），
∴爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5≤y≤8．
故选B．
8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上 D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降．
解：由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0）
设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，A选项正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴，故B正确，不符合题意；
由二次函数的性质可得，当时，h随t的增大而减小，
∴足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，D选项正确，不符合题意，
抛物线经过点（9，0），不经过（10，0），
∴点（10，0）不在该抛物线上，C选项错误，符合题意；
故选：C
9．如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
解:如图，过点作于点，易得：四边形为矩形，
∴，
，
设，
∴，，
∴，，
则四边形的面积为：
，
整理得：，
∴当长为时，储料场 的面积最大为．
故选：．
10．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：过点作于点，
，
，
，
，
当，
，
，
，
，即，
，
，开口向上的一段抛物线；
当，
同理可证，
，即，
，
，开口向下的一段抛物线；
综上，符合题意的函数关系的图象是D；
故选：D．
二、填空题:(每小题3分 共15分)
11．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
解：，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
12．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个，若销售单价每涨1元，则销量减少1个．设涨价x元，利润为y元，则y与x之间的函数关系式为 ．
解：由题意，得总销量为个，每个商品的销售利润为 (元)，则,
故答案为：．
13．如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线，若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为 ．
解：由题意，设公交站，
∴路径．
∴当时，路径最短，为5．
故答案为：5．
14．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．
解：设点P的坐标为，
则点Q为，点B为（0，3），
当点P在点Q上方时，BQ==a，
PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2，
∵PQ=BQ，
∴a=﹣a2+a+2，
整理得：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a=﹣1或a=4，
当点P在点Q下方时，BQ==a，
PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2，
∵PQ=BQ，
∴a=a2﹣a﹣2，
整理得：a2﹣8a﹣4=0，
解得：a=4+2或a=4﹣2．
综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2．
故答案为﹣1，4，4+2，4﹣2．
15．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是 ．
解：∵h==，
∴当t=4时，h取得最大值，
∴从点火升空到引爆需要的时间为4s．
故答案为：4s．
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
解（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
17．(本题7分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是()．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
解:
当时，最大．
答：小球运动秒时，小球最高，最大高度是．
18．(本题8分)如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为8m，宽为2m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点P到坐标原点O的距离为6m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高m，宽m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
解（1）根据题意，得．
设抛物线的解析式为，由解得，
∴所求的抛物线的解析式为．
（2）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
当x=2.4时，y=4.56．
∵，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
19．(本题8分)如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于顶点，已知，.
（1）求此二次函数的解析式及点坐标.
（2）在抛物线上存在一点使的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出的坐标.
（3）根据图象直接写出时，的取值范围.
解：（1）将，代入中，
得：，
解得.
所以二次函数解析式为.
令，即，解得：，.
∴点坐标为.
（2）设，
∵的面积为10，
∴，
解方程得，，
此时点坐标为，.
方程没有实数解.
综上所述，点坐标为，.
（3）如图所示，
当时，当时，有最小值，
将代入中，得.
当时，有最大值.
将代入中，得.
∴的取值范围是.
20．(本题8分) 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽是米．
（1）求与之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
解：（1）关系式为y=240x2+180x+45
（2）依题意：195=240x2+180x+45
整理得：8x2+6x-5=0
解得：x1=-1.25（舍去），x2=0.5，
所以，2x=1．
答这面镜子的长为1米，宽为0.5米.
21．(本题9分)某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，解得
∴y与x之间的函数关系为
∵
∴当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
（2）∵函数图象的对称轴为直线x=10，
∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
22．(本题9分)工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
解：（1）如图所示：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，
即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
（2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，
设总费用为w元，由题意可知
w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
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§2.4 二次函数的应用
一、选择题:(每小题3分 共30分)
1．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
2．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（ ）
A．最大值为5万元 B．最大值为7万元
C．最小值为5万元 D．最大值为6万元
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y=﹣x2+2x+5 图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ）
A．0米到8米 B．5米到8米 C．到8米 D．5米到米
8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线
C．点（10，0）在该抛物线上 D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降．
9．如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题:(每小题3分 共15分)
11．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
12．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个，若销售单价每涨1元，则销量减少1个．设涨价x元，利润为y元，则y与x之间的函数关系式为 ．
13．如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线，若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为 ．
14．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．
15．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是 ．
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
17．(本题7分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是()．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
18．(本题8分)如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为8m，宽为2m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点P到坐标原点O的距离为6m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高m，宽m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
19．(本题8分)如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于顶点，已知，.
（1）求此二次函数的解析式及点坐标.
（2）在抛物线上存在一点使的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出的坐标.
（3）根据图象直接写出时，的取值范围.
20．(本题8分) 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽是米．
（1）求与之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
21．(本题9分)某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
22．(本题9分)工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
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