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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）抛物线与轴相交的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）已知二次函数图象的与y轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知二次函数 ()图象的对称轴是直线，与轴一个交点，则与轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图抛物线交x轴于点和，关于该抛物线的性质描述不正确的是（ ）
A． B．
C．当时，y随x的增大而减少 D．当时，
6．（本题3分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：
①abc>0；
②2a-b=0；
③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4，x2=1；
④当y>0时，-4其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（本题3分）已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：则方程 的根是（ ）
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
8．（本题3分）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（ ）
A．y=(x-23)2+155 B．y=(x+23)2+155
C．y= -(x-23)2-155 D．y= -(x+23)2+155
9．（本题3分）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．②③⑤ B．①③ C．②③ D．①④⑤
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）二次函数与y轴交点的坐标为 ．
12．（本题3分）如图，是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
13．（本题3分）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
14．（本题3分）已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是 ．
15．（本题3分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况是 .
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
17．（本题7分）已知抛物线的解析式为
求抛物线的顶点坐标；
求出抛物线与轴的交点坐标；
当取何值时？
18．（本题8分）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
19．（本题8分）已知抛物线．
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求的值；
(3)当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点．若点在点的左边，试比较与的大小．
20．（本题8分）如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值．
21．（本题9分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．
(1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标；
(2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围；
(3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围．
22．（本题9分）已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与y轴交于点．
（1）求函数和的解析式，并画出函数示意图；
（2）x为何值时，①；②；③．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）抛物线与轴相交的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：在中，令，则，
∴抛物线与轴相交的坐标为，
故选B．
2．（本题3分）已知二次函数图象的与y轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
解：∵图象与y轴的交点的横坐标为0，
∴将代入可得，
∴交点坐标为，故选：B．
3．（本题3分）已知二次函数 ()图象的对称轴是直线，与轴一个交点，则与轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
解∵点A的坐标为（3，0），
∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（ 1，0）．故选：D．
4．（本题3分）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，，则b＞0，
∴abc<0，不符合题意；
B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2-4ac＞0，不符合题意；
C、∵， ∴b=a，
∵x=1时，a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，不符合题意；
D、∵由图象与x轴的右边的交点在1与2之间，则图象与x轴交于左边的点在-2和-3之间，
∴x=-2时，4a-2b+c＜0，符合题意；
故选：D．
5．（本题3分）如图抛物线交x轴于点和，关于该抛物线的性质描述不正确的是（ ）
A． B．
C．当时，y随x的增大而减少 D．当时，
解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，故B不符合题意；
C、∵抛物线交x轴于点和，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减少，当时，y随x的增大而增大，故C符合题意；
D、由函数图象可知当时，，故D不符合题意；
故选C．
6．（本题3分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：
①abc>0；
②2a-b=0；
③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4，x2=1；
④当y>0时，-4其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解∵抛物线开口向下
∵对称轴
同号，即
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方
，则①正确
∵对称轴
，即，则②正确
∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴的一个交点是
∴由抛物线的对称性得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而一元二次方程的解是，则③错误
由图象和③的分析可知：当时，，则④正确
综上，正确的结论有①②④这3个
故选：B．
7．（本题3分）已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：则方程 的根是（ ）
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点（，-1），
所以抛物线经过点（4-，-1），
二次函数解析式为y=ax2+bx+0.37，
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
故选：B．
8．（本题3分）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（ ）
A．y=(x-23)2+155 B．y=(x+23)2+155
C．y= -(x-23)2-155 D．y= -(x+23)2+155
解A、令y=0得，(x-23)2+155=0，移项得，(x-23)2= -155，方程无实根；
B、令y=0得，(x+23)2+155=0，移项得，(x+23)2= -155，方程无实根；
C、令y=0得，-(x-23)2-155=0，移项得，(x-23)2= -155，方程无实根；
D、令y=0得，-(x+23)2+155=0，移项得，(x+23)2=155，方程有两个实根．
故选：D．
9．（本题3分）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，
由题意得：，解得，
则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
则点关于轴的对称点的坐标是，
故选：A．
10．（本题3分）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．②③⑤ B．①③ C．②③ D．①④⑤
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵ ，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴bc＞0，故②错误，
∵，
∴2a+b＝0，故③正确，
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④错误，
∵抛物线交x轴于（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1＜x＜3时，y＞0，故⑤错误，
故选：B．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）二次函数与y轴交点的坐标为 ．
解：当x=0时，y=-1．
∴二次函数与y轴交点的坐标为（0，-1）．
故答案为：（0，-1）
12．（本题3分）如图，是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；
∴b=2a，∴②错误；
根据图象关于对称轴x=-1对称，
与x轴的交点是（-3，0），（1，0），∴③正确；
∵b=2a＞0，
∴-b＜0，
∵a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∴a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，
∴④错误．
故答案为①③．
13．（本题3分）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
解：已知点，点，
∴线段在直线上面，
联立方程组：，
解得：，，
∴交点为和，
由于线段 的 范围为：，
∵，
∴，
当时，，，均在之间，且，保证两点不同，
当时，，在之间，但是不在之间，仅有一个交点，
综上所述：抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是：；
故答案为：；
14．（本题3分）已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是 ．
解：∵抛物线，
∴当y=0时，，
解得，
∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（本题3分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况是 .
解:根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0时，有两个不相等的实数根，从而可以得到本题答案．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c=0时有两个不相等的实数根．
故答案为两个不相等的实数根.
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
（1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
17．（本题7分）已知抛物线的解析式为
求抛物线的顶点坐标；
求出抛物线与轴的交点坐标；
当取何值时？
解（1）
，
∴抛物线顶点坐标为；
当时，即，
∴或，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
∵抛物线的开口方向向下，且抛物线与轴的交点坐标为，
∴当时，．
18．（本题8分）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
解：（1）把代入：，
，
解得：
所以抛物线的解析式为：，
由
（2） 抛物线与轴交于 ，
抛物线的图像在轴的下方，
结合图像可得：＜＜
（3）∵
∴对称轴是直线x=1． 如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，
此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
19．（本题8分）已知抛物线．
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求的值；
(3)当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点．若点在点的左边，试比较与的大小．
（1）解：当时，
抛物线解析式为：，
转换成顶点式为：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）代数式的值为正整数，
，
该代数式的正整数值只能为或，
当时，，解得， ，
当时，，解得， ，
的值为，，，；
（3）将代入抛物线解析式中可得：，
，
将代入抛物线解析式中可得：，
，
，
点在点的左边，且位于正半轴，
，
，
，
．
20．（本题8分）如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值．
解（1）∵抛物线（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：4=4k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：，
∵点D在抛物线上，
∴可设D（，），
又∵点D在直线上，
∴，即，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△，
解得：．
21．（本题9分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．
(1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标；
(2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围；
(3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围．
（1）解：由题意得：，
，
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，；
当时，
根据对称性，和时，y值相等，
（3）解：，对称轴为，
，
，
，
时，，
时，，
即，
解得：
22．（本题9分）已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与y轴交于点．
（1）求函数和的解析式，并画出函数示意图；
（2）x为何值时，①；②；③．
解：（1）把（-2，-5）、（1，4）、（0，3）代入y1=ax2+bx+c（a≠0）得
解得：，
∴y1=-x2+2x+3，
把（-2，-5）、（1，4）代入y2=mx+n得
，
解得：，
∴y2=3x+1；
函数图象如图所示：
（2）由图象可得：①当-2＜x＜1时，y1＞y2．
②当x=-2或x=1时，y1=y2．
③当x＜-2或x＞1时y1＜y2．
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