湖南省永州市新田县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（A卷）
1．（2025高一上·新田月考）已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ）
A．10 B．8 C．0 D．
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：因为成等比数列，
所以，
又因为数列是公差为2的等差数列，
所以，解得．
所以．
故答案为：A．
【分析】利用等比中项的定义结合等差数列的通项公式，可得，再计算得出的值，再利用等差数列的前项和公式得出的值.
2．（2025高一上·新田月考）已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：在数列中，，
则，
所以，
则数列为递减数列.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和单调数列的定义，从而判断出数列的单调性.
3．（2025高一上·新田月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
由，可得，
对于函数，
由，可得，
则函数的定义域为．
故答案为：B．
【分析】对于函数，先由求出，对于函数，应使，解出，从而得出函数的定义域.
4．（2025高一上·新田月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A．81 B．145 C．256 D．273
【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为等比数列中，，，
所以成等比数列，
又因为，，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据等比数列的性质何数列求和的定义，从而计算可得的值.
5．（2025高一上·新田月考）若不等式，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：令，
则，
得，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】令求出的值，再由不等式的基本性质，从而得出的取值范围.
6．（2025高一上·新田月考）函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；函数极限
【解析】【解答】解：因为的定义为，
所以，
则为奇函数，故排除D；
又因为，故排除B；
当趋近正无穷时，趋近，故排除C.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性、和函数的极限，从而逐项判断找出函数的大致图象.
7．（2025高一上·新田月考）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，且，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用角的取值范围和同角三角函数的平方关系、诱导公式，从而得出的值.
8．（2025高一上·新田月考）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：记，
则，
当时，，则单调递增，
因为，且，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件变形得，再构造函数，再利用导数的正负讨论其单调性，再根据函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
9．（2025高一上·新田月考）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．数列有最小项
C．数列为递减数列 D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设正项等比数列公比为，
对于A，由题意，得，
结合，解得或（舍去），故A正确；
对于B、C，因为，
所以数列为递减数列，无最小项，故B错误、选项C正确；
对于D，因为，
则，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由题意结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，从而得出等比数列的首项和公比的值，则判断出选项A；再利用数列的单调性，从而判断出选项B和选项C；再利用等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高一上·新田月考）已知函数 为定义在 上的奇函数，对，都有，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为 4
C． D． 在区间上单调递增
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A：因为函数 为定义在 上的奇函数，所以，
在中，令，
则，故A正确；
对于B：因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，
则函数的周期为，故B正确；
对于C：因为奇函数的周期为，
所以，故C正确；
对于D：当时，，，
由，
则该函数的一条对称轴为，
因为 在区间上单调递增，
所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据奇函数的性质结合已知等式，从而求出函数的值，则判断出选项A；利用周期函数的定义判断出选项B；再根据函数的奇偶性和周期性，则判断出选项C；再利用函数的对称性和单调函数的定义，从而判断出函数 在区间上的单调性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高一上·新田月考）设函数，则（ ）
A．有二个零点
B．过点仅可以作一条直线与的图象相切
C．当时，
D．若在区间上有最大值，则的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，时，，
则函数有两个零点，故A正确.
设曲线在处的切线过点，
由，
得，
所以，
则曲线在处的切线方程为：，
因为切线过点，
所以，
则，
整理得，解得或，
所以过点仅可以作两条直线与的图象相切，故B错误；
因为，
所以在单调递减，
又因为，
当，则，
所以在上单调递增，
当时，，
所以，故C正确；
令，则或，
当时，；当时，；当时，，
当时，函数取极大值；当时，函数取极小值，
又因为，在区间上有最大值，
则，
解得，
所以的取值范围为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数零点求解方法得出函数的零点个数，则判断出选项A；设曲线在处的切线过点，从而得出切线方程，进而可得，计算可判断出选项B；求导可判断在上单调递增，则可判断选项C；利用已知条件得出函数极值点，再结合已知条件可得，从而计算可判断选项D，进而找出正确的选项.
12．（2025高一上·新田月考）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】或，
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为增函数，且当时，，
当时，；当时，，
作出的图像如下所示：
则只有一个交点，
所以直线与函数的图像只有一个交点，
则或，
故答案为：或.
【分析】根据函数的单调性作出函数图象，再结合函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则根据函数图象的交点个数得出实数m的取值范围.
13．（2025高一上·新田月考）若为第二象限角，且，则的值是 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，得，
因为为第二象限角，
所以，
则
．
故答案为：．
【分析】由同角三角函数的基本关系式和诱导公式，从而得出的值．
14．（2025高一上·新田月考）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为 ，n级角雪花曲线的内角和为 ．
【答案】；
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意，n级角雪花曲线的每一条边按生成，
得级角雪花曲线的4条边，
因此n级角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列，
则n级角雪花曲线的边数为，
当时，曲线有6个开角，n级角雪花曲线的开角数为，，
由于n级角雪花曲线的每一条边，向外形成一个开角，因此，
当时，n级角雪花曲线的开角数
，满足上式，
所以n级角雪花曲线的开角数；
令n级角雪花曲线的内角和为，显然，
而n级角雪花曲线到级角雪花曲线每增加一个开角，
其内角和增加，
于是，
当时，n级角雪花曲线的内角和：
，满足上式，
所以n级角雪花曲线的内角和为.
故答案为：；.
【分析】观察归纳法求出边数构成的数列通项，再利用n级角雪花曲线的开三角个数及曲线的内角和变化规律列式求和即可.
15．（2025高一上·新田月考）记数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）设数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）解：因为，
所以，
当时，，
可得，
则，
所以，
当时，则，解得，
所以是公差、首项均为2的等差数列，
则．
所以.
（2）证明：由（1）得，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为在上单调递增，
所以随的增大而增大，
则，
综上所述，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用推出，再利用计算出数列的首项，再根据等差数列的定义判断出数列是公差、首项均为2的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
（2）由（1）得，则，再利用用裂项相消法得到，再根据函数的单调性证出不等式成立.
（1）因为，所以，
当时，，
可得，
故，即，
当时，有，解得，
故是公差、首项均为2的等差数列，．
所以.
（2）由（1）得，所以，
则，
因为，所以，
又在上单调递增，
故随的增大而增大，故，
综上，.
16．（2025高一上·新田月考）已知函数.
（1）若函数有极值，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数在，处导数相等，证明：.
【答案】（1）解：由题意，且，
当时，，则在单调递增，此时无极值，不合题意；
当时，当时，则，单调递增；
当，则，单调递减，
所以，当时，函数取得极小值，
则.
（2）证明：当时，，
则，
因为，
，
则，
又因为，化简可得，
因为，
，
由，
可得：，
，
则，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意得出且，再利用导数的正负分类讨论、两种情况，从而判断函数的单调性，进而确定函数是否存在极值，则得出实数a的取值范围.
（2）先求出，由题意可得，再利用结合基本不等式求最值的方法以及对数的运算法则，从而证出不等式成立.
（1）由题设，且，
当时，即在单调递增，此时无极值，不合题意；
当时，当有，单调递增，当有，单调递减，
当时，函数取得极小值，故.
（2）当时，则，又，
，即，又，化简可得，
由，
，由可得：，
，即，
，得证.
17．（2025高一上·新田月考）已知数列的前项和为，且对任意正整数，成立．
（1），求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】解：（1）在中，令，得，因为对任意正整数，成立，所以，
两式相减，得，所以，
又因为，所以为等比数列，
则，所以．
（2）因为 ，当为偶数时， ，当为奇数时， ，所以．
（1）解：在中，令，得，
因为对任意正整数，成立，
所以，
两式相减，得，
所以，
又因为，所以为等比数列，
则，
所以．
（2）解：因为
，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以．
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用与的关系式和等比数列的定义，从而判断出数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再代入，从而得出数列的通项公式.
（2）由（1）可知，分为奇数和偶数两种情况，再分别求和得出数列的前项和.
18．（2025高一上·新田月考）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）解：设公比为，且，
由，
可得，
解得，
所以，.
（2）解：因为，
所以，
则，
因此为等差数列，且公差为1，
所以，
由，
得，
可得对任意的恒成立，
令，则，
记，当且仅当时等号成立，
因为，，又因为，，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而得出首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式和对数的运算法则，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式.
（2）根据等差数列前n项和公式，将问题转化为对任意的恒成立，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）设公比为，且，
由可得，解得，
所以，，
（2）由于，所以，故，因此为等差数列，且公差为1，故，
由得，
进而可得对任意的恒成立，
令，则，
记，当且仅当时等号成立，但由于，，而，，，
所以，故，
，则
因此，故，
即的最小值为，
19．（2025高一上·新田月考）已知函数，设．
（1）若，求的最小值
（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有．
【答案】（1）解：当时，，
令．
列表如下：
0
0
单调递减 极小值0 单调递增
所以的最小值为0
（2）解：，
当时，单调递减；当时，单调递增，
，
要使有两个零点，首先必有
当时，注意到，
在和上各有一个零点，符合题意，
综上：取值范围为．
（3）证明：由题得，，设与切于，
，
，
要证：，需证：
即证：，即证：．
令，需要证明：，．
构造，，在上单调递增，
，证毕．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）当时， ，利用导数求解函数的单调区间，即可求解；
（2）利用导数求解函数的单调区间及最值，根据零点存在性定理即可求解；
（3）根据导数的几何意义，列方程组，求解切点坐标及参数m的值，得到函数的解析式，利用分析法证明不等式即可.
1 / 1湖南省永州市新田县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（A卷）
1．（2025高一上·新田月考）已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ）
A．10 B．8 C．0 D．
2．（2025高一上·新田月考）已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
3．（2025高一上·新田月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·新田月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A．81 B．145 C．256 D．273
5．（2025高一上·新田月考）若不等式，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·新田月考）函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·新田月考）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·新田月考）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·新田月考）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．数列有最小项
C．数列为递减数列 D．
10．（2025高一上·新田月考）已知函数 为定义在 上的奇函数，对，都有，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为 4
C． D． 在区间上单调递增
11．（2025高一上·新田月考）设函数，则（ ）
A．有二个零点
B．过点仅可以作一条直线与的图象相切
C．当时，
D．若在区间上有最大值，则的取值范围为
12．（2025高一上·新田月考）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ．
13．（2025高一上·新田月考）若为第二象限角，且，则的值是 ．
14．（2025高一上·新田月考）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为 ，n级角雪花曲线的内角和为 ．
15．（2025高一上·新田月考）记数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）设数列的前项和为，证明：.
16．（2025高一上·新田月考）已知函数.
（1）若函数有极值，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数在，处导数相等，证明：.
17．（2025高一上·新田月考）已知数列的前项和为，且对任意正整数，成立．
（1），求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（2025高一上·新田月考）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值.
19．（2025高一上·新田月考）已知函数，设．
（1）若，求的最小值
（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：因为成等比数列，
所以，
又因为数列是公差为2的等差数列，
所以，解得．
所以．
故答案为：A．
【分析】利用等比中项的定义结合等差数列的通项公式，可得，再计算得出的值，再利用等差数列的前项和公式得出的值.
2．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：在数列中，，
则，
所以，
则数列为递减数列.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和单调数列的定义，从而判断出数列的单调性.
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
由，可得，
对于函数，
由，可得，
则函数的定义域为．
故答案为：B．
【分析】对于函数，先由求出，对于函数，应使，解出，从而得出函数的定义域.
4．【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为等比数列中，，，
所以成等比数列，
又因为，，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据等比数列的性质何数列求和的定义，从而计算可得的值.
5．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：令，
则，
得，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】令求出的值，再由不等式的基本性质，从而得出的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；函数极限
【解析】【解答】解：因为的定义为，
所以，
则为奇函数，故排除D；
又因为，故排除B；
当趋近正无穷时，趋近，故排除C.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性、和函数的极限，从而逐项判断找出函数的大致图象.
7．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，且，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用角的取值范围和同角三角函数的平方关系、诱导公式，从而得出的值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：记，
则，
当时，，则单调递增，
因为，且，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件变形得，再构造函数，再利用导数的正负讨论其单调性，再根据函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设正项等比数列公比为，
对于A，由题意，得，
结合，解得或（舍去），故A正确；
对于B、C，因为，
所以数列为递减数列，无最小项，故B错误、选项C正确；
对于D，因为，
则，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由题意结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，从而得出等比数列的首项和公比的值，则判断出选项A；再利用数列的单调性，从而判断出选项B和选项C；再利用等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A：因为函数 为定义在 上的奇函数，所以，
在中，令，
则，故A正确；
对于B：因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，
则函数的周期为，故B正确；
对于C：因为奇函数的周期为，
所以，故C正确；
对于D：当时，，，
由，
则该函数的一条对称轴为，
因为 在区间上单调递增，
所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据奇函数的性质结合已知等式，从而求出函数的值，则判断出选项A；利用周期函数的定义判断出选项B；再根据函数的奇偶性和周期性，则判断出选项C；再利用函数的对称性和单调函数的定义，从而判断出函数 在区间上的单调性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，时，，
则函数有两个零点，故A正确.
设曲线在处的切线过点，
由，
得，
所以，
则曲线在处的切线方程为：，
因为切线过点，
所以，
则，
整理得，解得或，
所以过点仅可以作两条直线与的图象相切，故B错误；
因为，
所以在单调递减，
又因为，
当，则，
所以在上单调递增，
当时，，
所以，故C正确；
令，则或，
当时，；当时，；当时，，
当时，函数取极大值；当时，函数取极小值，
又因为，在区间上有最大值，
则，
解得，
所以的取值范围为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数零点求解方法得出函数的零点个数，则判断出选项A；设曲线在处的切线过点，从而得出切线方程，进而可得，计算可判断出选项B；求导可判断在上单调递增，则可判断选项C；利用已知条件得出函数极值点，再结合已知条件可得，从而计算可判断选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】或，
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为增函数，且当时，，
当时，；当时，，
作出的图像如下所示：
则只有一个交点，
所以直线与函数的图像只有一个交点，
则或，
故答案为：或.
【分析】根据函数的单调性作出函数图象，再结合函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则根据函数图象的交点个数得出实数m的取值范围.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，得，
因为为第二象限角，
所以，
则
．
故答案为：．
【分析】由同角三角函数的基本关系式和诱导公式，从而得出的值．
14．【答案】；
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意，n级角雪花曲线的每一条边按生成，
得级角雪花曲线的4条边，
因此n级角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列，
则n级角雪花曲线的边数为，
当时，曲线有6个开角，n级角雪花曲线的开角数为，，
由于n级角雪花曲线的每一条边，向外形成一个开角，因此，
当时，n级角雪花曲线的开角数
，满足上式，
所以n级角雪花曲线的开角数；
令n级角雪花曲线的内角和为，显然，
而n级角雪花曲线到级角雪花曲线每增加一个开角，
其内角和增加，
于是，
当时，n级角雪花曲线的内角和：
，满足上式，
所以n级角雪花曲线的内角和为.
故答案为：；.
【分析】观察归纳法求出边数构成的数列通项，再利用n级角雪花曲线的开三角个数及曲线的内角和变化规律列式求和即可.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，
当时，，
可得，
则，
所以，
当时，则，解得，
所以是公差、首项均为2的等差数列，
则．
所以.
（2）证明：由（1）得，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为在上单调递增，
所以随的增大而增大，
则，
综上所述，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用推出，再利用计算出数列的首项，再根据等差数列的定义判断出数列是公差、首项均为2的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
（2）由（1）得，则，再利用用裂项相消法得到，再根据函数的单调性证出不等式成立.
（1）因为，所以，
当时，，
可得，
故，即，
当时，有，解得，
故是公差、首项均为2的等差数列，．
所以.
（2）由（1）得，所以，
则，
因为，所以，
又在上单调递增，
故随的增大而增大，故，
综上，.
16．【答案】（1）解：由题意，且，
当时，，则在单调递增，此时无极值，不合题意；
当时，当时，则，单调递增；
当，则，单调递减，
所以，当时，函数取得极小值，
则.
（2）证明：当时，，
则，
因为，
，
则，
又因为，化简可得，
因为，
，
由，
可得：，
，
则，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意得出且，再利用导数的正负分类讨论、两种情况，从而判断函数的单调性，进而确定函数是否存在极值，则得出实数a的取值范围.
（2）先求出，由题意可得，再利用结合基本不等式求最值的方法以及对数的运算法则，从而证出不等式成立.
（1）由题设，且，
当时，即在单调递增，此时无极值，不合题意；
当时，当有，单调递增，当有，单调递减，
当时，函数取得极小值，故.
（2）当时，则，又，
，即，又，化简可得，
由，
，由可得：，
，即，
，得证.
17．【答案】解：（1）在中，令，得，因为对任意正整数，成立，所以，
两式相减，得，所以，
又因为，所以为等比数列，
则，所以．
（2）因为 ，当为偶数时， ，当为奇数时， ，所以．
（1）解：在中，令，得，
因为对任意正整数，成立，
所以，
两式相减，得，
所以，
又因为，所以为等比数列，
则，
所以．
（2）解：因为
，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以．
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用与的关系式和等比数列的定义，从而判断出数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再代入，从而得出数列的通项公式.
（2）由（1）可知，分为奇数和偶数两种情况，再分别求和得出数列的前项和.
18．【答案】（1）解：设公比为，且，
由，
可得，
解得，
所以，.
（2）解：因为，
所以，
则，
因此为等差数列，且公差为1，
所以，
由，
得，
可得对任意的恒成立，
令，则，
记，当且仅当时等号成立，
因为，，又因为，，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而得出首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式和对数的运算法则，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式.
（2）根据等差数列前n项和公式，将问题转化为对任意的恒成立，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）设公比为，且，
由可得，解得，
所以，，
（2）由于，所以，故，因此为等差数列，且公差为1，故，
由得，
进而可得对任意的恒成立，
令，则，
记，当且仅当时等号成立，但由于，，而，，，
所以，故，
，则
因此，故，
即的最小值为，
19．【答案】（1）解：当时，，
令．
列表如下：
0
0
单调递减 极小值0 单调递增
所以的最小值为0
（2）解：，
当时，单调递减；当时，单调递增，
，
要使有两个零点，首先必有
当时，注意到，
在和上各有一个零点，符合题意，
综上：取值范围为．
（3）证明：由题得，，设与切于，
，
，
要证：，需证：
即证：，即证：．
令，需要证明：，．
构造，，在上单调递增，
，证毕．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）当时， ，利用导数求解函数的单调区间，即可求解；
（2）利用导数求解函数的单调区间及最值，根据零点存在性定理即可求解；
（3）根据导数的几何意义，列方程组，求解切点坐标及参数m的值，得到函数的解析式，利用分析法证明不等式即可.
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