课件18张PPT。22.1 二次函数沪科版九年级1.二次函数的定义是什么？2.二次函数的一般形式是什么？ 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm ).(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y.合作学习，探索新知 :(3)一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).1113x合作学习，探索新知 :1.y =πx22.y = 2(1+x)23.y= (60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式.(a,b,c是常数, )a≠0合作学习，探索新知 : 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.称：a为二次项系数，ax2叫做二次项;
b为一次项系数，bx叫做一次项;
c为常数项.又如：y=x2 + 2x – 31.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断２.下列函数中，哪些是二次函数？
知识运用
３.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)
做一做:
（1）正方形的边长为x（cm），它的面积y （ ）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?
例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.注意:二次函数的二次项系数不能为零练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子练一练:（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（ ）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（ ）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．已知二次函数 y=x2+px+q , 当x=1时,函数值为4, 当x=2时,函数值为 -5 , 求这个二次函数的解析式.5.已知二次函数
（1）你能说出此函数的最小值吗？（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？开动脑筋 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
其中自变量x能取哪些值呢？问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？ 1:若函数 为二次函数，求m的值。2: m取何值时，函数
y= (m+1) +(m-3)x+m 是二次函数？ 3:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试
(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,距形的面积为多少?课件21张PPT。22.2二次函数y=ax2的图象和性质驶向胜利的彼岸学习目标1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，直观地了解它的性质.你想直观地了解它的性质吗?数形结合,直观感受在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?描点,连线y=x2观察图象,回答问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小. 当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大. 抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.在学中做—在做中学(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？驶向胜利的彼岸(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？驶向胜利的彼岸xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2驶向胜利的彼岸观察图象,回答问题串（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.y=-x2描点,连线这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.y当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大. 当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小. y抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.看图说话函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:y=x2y=-x2它们之间有何关系？二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……驶向胜利的彼岸函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象看图说话y=x2y=-x21.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质我思，我进步1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.驶向胜利的彼岸解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.（2）因为 ,所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上.（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
知道就做别客气2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的
左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,
当x 0时,y<0.驶向胜利的彼岸（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0回味无穷2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.驶向胜利的彼岸由二次函数y=x2和y=-x2知：习题22.2 1,2题1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.2．设正方形的边长为,面积为,试作出S随a的变化而变化的图象.结束寄语只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步. 再见课件10张PPT。生活中的抛物线 生活中的抛物线 画出函数:
y= x2 y=x2+1 y=x2-1的图象 y=x2+1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0、1）。
y=x2-1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0、-1）。 向下x=-1（-1,0）向下x=1（1,0）函数y=a(x-h)2+k的特点：
1、a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；
2、对称轴是直线x=h;
3、顶点坐标是（h，k）. 你知道哪些地方用到了抛物线。 你知道哪些地方用到了抛物线。 你知道哪些地方用到了抛物线。 课件10张PPT。22.4二次函数与一元二次方程xy… -2 -1 0 1 2 3 4 …… 7 0 -3 -4 -3 0 7 …NM当x为何时,y=0? 写出二次函数 的顶点坐标,对称轴,并画出它的图象.x=-1, x=3x=-1, x=3 一般地,如果二次函数
的图象与x轴有两个公共点( ,0)、( ,0 )
那么一元二次方程 有两个不相等的实数根 、 ,反之
亦成立.不画图象，你能说出函数 的图象与 x 轴的交点坐标吗？解：当y=0时，解得：所以,函数 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0）和（2，0）. 观察二次函数 的图象和二次
函数 的图象,分别说出一元二次
方程 和 的根的情况.探究二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 01、判断下列函数图象与x 轴是否有公共点,并说明理由。∴该抛物线与x轴有两个交点(1)(2)(3)解:2、在上元中学校运会上，初三（8）班运动员掷铅球，铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间函数关系式为
y = -0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是 m.9 已知二次函数的 图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？想一想！（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？ 若函数 图象与x 轴是只有
一个公共点,求m的值.作业自己找啊！再见,祝同学们学习进步!同学们:本节课学到了什么？
课件29张PPT。22.5二次函数的应用二次函数的应用专题一：
待定系数法确定二次函数沪科版九年级无坚不摧：一般式已知二次函数的图象经过A（－1，6），B（1，2），C（2，3）三点，
求这个二次函数的解析式；
求出A、B、C关于x轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数解析式；
求出A、B、C关于y轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数解析式；
在同一坐标系内画出这三个二次函数图象；
分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们的表达式的区别与联系，你发现了什么？思维小憩：用待定系数法求二次函数的解析式，设出一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。
因为有三个待定系数，所以要求有三个已知点坐标。
一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象的解析式是y=-f(x)
一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式是y=f(-x)
显而易见：顶点式已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3）为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3，1），求这个函数的解析式。（要求分别用一般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6，且图象经过点（2，－8），求此二次函数的解析式。思维小憩：用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
知道顶点坐标或函数的最值时
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用，但计算量大
顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标；
对称轴再加上两个其它点的坐标；
其实，顶点式同样需要三个条件才能求。灵活方便：交点式已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3，－5），
求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2。
求二次函数的解析式；
设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积思维小憩：用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-x1) (x-x2)比较方便？
知道二次函数图象和x轴的两个交点的坐标时
使用交点式需要多少个条件？
两个交点坐标再加上一个其它条件
其实，交点式同样需要三个条件才能求
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式
配方成顶点式
借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。二次函数的交点式已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3，－5），
求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式
配方成顶点式
借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-m)2+n
交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是（6,-12），求这个二次函数的解析式。（分别用三种办法来求）
二次函数的应用专题二：
数形结合法简单的应用（学会画图）已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2。
求二次函数的解析式；
设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4，cos∠ACB＝3/5。
求A、B、C三点坐标；
若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式；
求二次函数的对称轴和顶点坐标二次函数的应用专题三：
二次函数的最值应用题二次函数最值的理论求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m为常数且m≠－1。最值应用题——面积最大某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
最值应用题——面积最大用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120o的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？
最值应用题——路程问题 快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船的速度分别是每小时40km和每小时16km。已知AC＝145km，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
最值应用题——销售问题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
最值应用题——销售问题某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204。
写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式；
通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？最值应用题——运动观点在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2
设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围；
t为何值时S最小？求出S的最小值。 最值应用题——运动观点在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F。
设BP＝x，将S△PEF用x表示；
当P在BC边上什么位置时，S值最大。在取值范围内的函数最值二次函数的应用专题四：
二次函数综合应用题 如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。 (1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？（精确到0.1米） 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围。
将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动 员在空中的最高处距水面32/3米， 入水处距池边的距离为4米，同 时，运动员在距水面高度为5米 以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出 现失误。（1）求这条抛物线的解 析式；（2）在某次试跳中，测 得运动员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中调 整好入水姿势时，距池边的水平 距离为18/5米，问此次跳水会不 会失误？并通过计算说明理由。解函数应用题的步骤:设未知数(确定自变量和函数);
找等量关系,列出函数关系式;
化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
写出结论。
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z（单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营部？各应分别安排多少名售货员？课件21张PPT。22.6 反比例函数知识回顾：1.反比例函数的意义.2.反比例函数的图象与性质.3.利用反比例函数解决实际问题.什么是反比例函数？忆一忆： 一般地，函数 （k是常数， k ≠0）叫反
比例函数.小试牛刀：1.下列函数中，哪些是反比例函数？小试牛刀：2.写出下列问题中的函数关系式，并指出它们是什
么函数？⑴当路程s一定时，时间t与平均速度v之间的关系.⑵质量为m(kg)的气体，其体积v(m3)与密度
ρ(kg/m3)之间的关系.反比例函数反比例函数小试牛刀：3.若 为反比例函数，则m＝______ .4.若 为反比例函数，则
m＝______ .要注意系数哦！2-1反比例函数的图象和性质：1.反比例函数的图象是 ；双曲线2.图象性质见下表：当k＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。做一做：一、三减小m<25.函数 与 在同一条直
角坐标系中的图象可能是_______：做一做：D做一做：6.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)都在反比
例函数 的
图象上,则y1、y2 与y3
的大小关系(从大到小)
为____________ . y3 ＞y1＞y2议一议： 已知点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线 于点A，过点A作AB⊥y轴于B点。在点P运动过程中，矩形OPAB
的面积是否发生变化？
若不变，请求出其面积；
若改变，试说明理由。K的几何意义：过双曲线 上一点P(m,n)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则 S矩形OAPB=OA·AP=|m| ·|n|=|k| 如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则这个反比例函数的关系式是__________ 。变式一： 如图所示，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC.若△ABC面积为S,则______变式二：(A)s=1 (B) s=2
(C)1 交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.
（1）求反比例函数和一
次函数的解析式；
（2）根据图象写出反比
例函数的值大于一
次函数的值的x的取
值范围.综合运用：综合运用：综合运用：N（-1，-4）M（2，m）（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.（2）观察图象得：
当x<-1或0形少数时难入微。综合运用： 2.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：（1）猜想并确定在赢利的条件下y与x之间的函数关系式。
（2）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当销售单价x定为多少时，才能使获利最大？……小结与反思谢谢大家
