课件12张PPT。23.1《比例线段》 我们把形状相同的两个图形说成是相似图形。∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1; 1.53∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1, 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
①②对应角相等对应边长度的比相等这时,对应边长度的比叫做相似比,也叫相似系数.23 如图，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？练习1：分析: 对应边长度的比不相等答案：不相似。练习2： 如图，菱形ABCD和菱形A1B1C1D1相似吗？为什么？分析: 对应角不相等答案：不相似。
线段长度的比又叫线段的比。注意：1.计算两条线段的比时，单位必须统一；
1. 线段a=2cm, b=3cm,求 .2.线段c=4cm,d=60mm,求 .同一单位长度下2.两条线段的比有顺序，不可颠倒；A. B. C. D. cmA. B. C. D. cm已知四条线段a、b、c、d 中， 那么 a、b、c、d 叫做成比例线段。a : b = c : d比例内项比例外项 比例是指四条线段之间的一种关系，它们有顺序要求。练习3a : b = c : d 如果作为比例内项的两条线段是相等的，
即 (或 a:b=b:c)，
那么线段b叫线段a，c的比例中项。特别地，小结：相似多边形比例线段角：边：两条线段的比：比例线段①长度单位统一；②与单位无关，本身没有单位；③两条线段有顺序要求；①概念：项、比例内项、比例外项；②四条线段有顺序要求；对应角相等对应边长度的比相等③特别地：比例中项；相似比（相似系数）练习3：如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,则下列比例式成立的是（ ）A. B. C. D.返回课件22张PPT。23.2相似三角形的判定 （第1课时）一.复习回顾1.辨析
(1)四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？
(2)四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？
2.什么样的两个多边形是相似多边形？
3.什么是相似比（相似系数）？
简答：1.可举反例回答（1）正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形；（2）正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形.
2.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.
3. 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，
下面请同学们思考以下几个问题：二.引入新知 如图1，△ABC与△A′B′C′相似. 则图1中的两个三角形记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符号. 即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形相似”,没有用“∽”表示的，则没有说明对应关系. 两个三角形相似，用相似符号表示时，与全等一样，应把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边.23.2相似三角形的判定（第1课时）对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似形的定义，应有∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′，
(三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′)练习
1. 已知△ABC∽△DEF,请指出所有的对应边和对应角.并分别指出它们的关系.
2.如果将上题中“△ABC∽△DEF”改为“△ABC与△DEF相似”你还能指出它们的对应关系吗？相似三角形的对应关系相似三角形的相似比将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，练习
3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 和△DEF与△ABC的相似比 是否相等？如果不相等， 和 满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？ 简析： = ， = ， ≠ ， .
= =1归纳 若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 ，
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，一般 =
.当且仅当这两个三角形全等时，才有 = =1.因此，三角形全等是三角形相似的特例.三.类比猜想1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？
2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？
3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？
简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL.
2.不需要所有的对应边和对应角都相等.
3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等.四.探究论证 在△ABC中，D为AB上
任意一点，如图2所示.过点D
作BC的平行线交AC于点E，
那么△ADE与△ABC相似吗？已知:在△ABC中，DE ∥BC,
DE分别交AB，AC于D，E.
求证： △ADE∽△ABC. 1.根据相似多边形的定义△ADE与 △ABC相似必须满足哪些条件？分析 由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有：
∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠ AED=∠C,
2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C ，
，还需要条件：
分析 3.解决这个问题的关键在哪里？怎么解决？ 转化：将DE平移到BC上（可过点D作AC的平行线，交BC于F，则CF=DE）运用定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例.即可得
到
ADEBCF证明 过点D作AC的平行线，交BC 于F.∵DE∥BC,DF∥AC，∴因为四边形DFCE是平行四边形，∴DE=FC，又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF五.定理归纳 由以上探究过程你能得出什么结论？
如果这条直线与三角形两边的延长线相交
呢？如图3所示定理 平行于三角形一边的直线与其他两边
（或两边的延长线）相交，截得的三角形与
原三角形相似. 符号语言
在△ABC中,
若 DE∥BC,（如图3所示)
则 △ADE∽△ABC.
六.巩固练习 如图4，在 ABCD中，DE交BC于F,交AB的延长线于点E.
（1）请写出图中相似的三角形；
（2）请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式；
（3）请说明AE·BF与AD·BE是否相等？ 简析（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF ， △EAD∽△DCF；也可写成
△EBF∽△EAD∽△DCF(3) 由（2）中比例式化成乘积式 可得AE·BF=AD·BE. （2）举一例：在△EBF∽△EAD中有
，
还有两种情形同学们自己解答.七.目标总结本节课我们学习了哪些内容？
本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出“三角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.
学习了哪些思想方法？
类比和转化的思想，作辅助线的方法.
你掌握了哪些知识？还有什么问题？ 学习任何东西，
最好的途径是自己去发现！同学们，再见教学目标
理解相似三角形概念，能正确地找出相似三角形的对应角和对应边.
会用三角形一边的平行线的判定定理进行计算和作比较简单的证明.
通过复习前面所学过的有关知识，加深对定理的理解，提高学生利用已学知识证明新命题的能力，并在探索相似三角形条件的过程中，培养学生有条理的分析和推理能力.
内容分析 相似三角形的判定是本章的重点内容之一.本节课是相似三角形的判定的第一课 时，首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出三角形一边的平行线的判定定理. 三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且还是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要. 内容分析教学重点
掌握三角形一边的平行线的判定定理.
教学难点
三角形一边的平行线的判定定理的探索及证明. 设计意图 通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待.
通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、表示方法、对应关系、相似比.
紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比的概念.
通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等，所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想的认识和理解.
设计意图 将探究的过程细化分解是为了降低难度，使学生更容易自主探究，由浅入深，使探究的过程充满乐趣，增强了学生探究的信心.通过系列的思考学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关，最终解决问题.提问过程中学生自主分析已知条件，找出问题的瓶颈所在，适时渗透转化的数学思想.
培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范学生证明的基本步骤和书写格式
设计意图 让学生学会正确表述定理，理解定理表述的严密性，养成严谨的数学学习习惯.
培养学生正确运用所学知识的应用能力，巩固所学的定理.
注意培养学生的数学思想和归纳概括能力，教师设疑，激发学生学习的兴趣.
巩固和检验所学知识，使学生得到提高和发展.
课件16张PPT。23.3相似三角形的性质试一试1.根据下列各图中给出的条件,确定△ABC与△DEF是否相似 证明: ∵∠A=70°∠B=45°∴∠C=65°
∵∠A=∠D=70° ;∠B=∠E=45°
∴ △ABC∽△DEF(有两角对应相等的两个三角形相似)ABC45°70°65°DFE65°70°45°证明:∵AB=5㎝ DE=3㎝ ∴AB︰DE=5︰3
又∵ AC=3㎝ EF=1.8㎝ AC︰EF=5︰3又∵ ∠A=∠E=70°∴ △ABC∽△EDF(有两边对应成比例,且它们
的夹角相等的两个三角形相似)⑶AB=5㎝、AC=3㎝、DE=3㎝、DF=1.8㎝、∠B=40°∠E=40°反思:当两个三角形中有两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等时,两个三角形不一定相似∴ △ABC∽△DEF(有三边对应成比例的两个三角形 相似)
证明:2.在△ABC和△DEF中若AB=9、BC=12㎝、AC=15㎝、DE=6㎝.EF=8㎝.请你再增加一个条件,使△ABC∽△DEF边角EFD6㎝8㎝2.在△ABC和△DEF中若AB=9、BC=12㎝、AC=15㎝、DE=6㎝.EF=8㎝.请你再增加一个条件,使△ABC∽△DEF10 ㎝增加:DF=10,则可得△ABC和△DEF中有三边对应成比例,所以这两个三角形相似2.在△ABC和△DEF中若AB=9、BC=12㎝、AC=15㎝、DE=6㎝.EF=8㎝.请你再增加一个条件,使△ABC∽△DEFEFD6㎝增加:∠B=∠E,则可得△ABC和△DEF中有两边对应成比例且它们的夹角对应相等,所以这两个三角形相似8㎝2.在△ABC和△DEF中若AB=9、BC=12㎝、AC=15㎝、DE=6㎝.EF=8㎝.请你再增加一个条件,使△ABC∽△DEFEFD6㎝8㎝10 ㎝增加: DF=10, 则可得△ABC和△DEF中有三边对应成比例,所以这两个三角形相似增加: ∠B=∠E 则可得△ABC和△DEF中有两边对应成比例,且它们的夹角对应相等,所以这两个三角形相似回顾与反思: 当两个三角形中已有两边对应成比例而要证明两个三角形相似时 ,可以再设法寻找第三边与它们成比例;或找这两边的夹角对应相等 3.如图,已知:在△ABC中D、E分别是AC、AB上的点,且∠ADE=∠C,AD：AC= ︰2, AB=6, DE= ,求AE,BC的长.解:在△ABC和△ADE中
∵ ∠A=∠A ∠ADE=∠C
∴ △ABC∽△AED 已知如图: AD：AC=2︰3 AE= 3 AB= 4.5 求证: △ABC∽△AED.又∵ ∠EAD =∠BAC
∴△ABC∽△AED.解：探究新知 例题1 已知如图: △ABC∽△A′B′C′,相似比K=2︰3,又BD、B′D′分别是∠ABC、∠A′B′C′的平分线,求证BD︰B′D′=2︰3. 证明:∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A =∠A′; ∠ABC=∠A′B′C′思考:若K=a︰b,则可得AD︰A′D′的值为多少?由此可得什么结论相似三角形的性质:相似三角形对应角平分线的比等于相似比.∵△ABC与△A′B′C′的相似比 k=2︰3,.∴△ABD∽△A′B′D′ ∵BD、B′D′分别是∠ABC、∠A′B′C的平分线,
∴∠ABD=∠A′B′D′； 又∠A =∠A′;C′例题2 已知如图: △ABC∽△A′B′C′,相似比k,又AD、A′D′分别是BC、B′C′上的中线,求证AD︰A′D′=k. 证明:∵△ABC∽△A′B′C′结论:相似三角形对应中线的比等于相似比 ∵AD、A′D′分别是BC、B′C′ 的中线,∴∠B=∠B′又∵∠B=∠B′∴△ABD∽△A′B′D′猜测:相似三角形对应高的比等于________. 试一试∵AD⊥BC，A’D’⊥B’C’
∴∠ADB = ∠A’D’B’
又∵ ∠B = ∠B’
∴ △ABD∽△A’B’D’∴相似三角形对应高的比等于相似比. 相似比.已知如图: △ABC∽△A′B′C′,相似比k,又AD、A′D′分别是BC、B′C′上的高,求证:AD︰A′D′=k. 证明:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比k
又AD、A′D′分别是BC、B′C′上的高 本课复习了相似三角形的基本特征及主要识别方法;并由此推出了相似三角形的另外三个重要的特征,即: 你通过这节课的学习有何收获？ 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比、对应高的比都等于相似比。 事实上，若两个图形相似，其中所有的对应线段的比都等于相似比. 那么它的面积的比、周长比与相似比是什么关系呢?请同学们课后思考 .课件19张PPT。23.4相似多边形的性质你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E.
又∵∠AMB =∠DNE =900.
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).即,相似三角形对应高的比等于相似比.回顾与拓展你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
理由是:(相似三角形对应边成比例).即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比..你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E,相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).且∠B =∠E.即,相似三角形对应中线的比等于相似比.你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗?如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k.相似三角形周长的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比).即,相似三角形周长的比等于相似比.你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,且相似比是k.相似多边形周长的比等于相似比.理由是:即,相似多边形周长的比等于相似比.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)
相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比，对应周长的比等于相似比.
相似比等于1的两个三角形全等.注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.判定两个三角形相似的方法:
两角对应相等的两个三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
斜边直角边对应成比例的两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似.益智的“模型”两个极具代表性的相似三角形基本模型： “A”型和“X” 型若△ADE∽ △ABC,则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,若△ABC∽ △ADE,则
∠BAC=∠DAE, ∠B=∠D,
∠C=∠E,结论1:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则有如下结论:如图:在△ABC中,
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.结论2:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.如图:在△ABC中,如果DE∥BC，如图, 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段.即,有三对相似三角形.
△ACD∽ △ABC
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △CBD.常用的成比例的线段有:如,常用的相等的角有：
∠A =∠DCB;∠B =∠ACD; 让数学模型“双垂直”三角形,成为你的好友!老师的建议:上面红色字表示出的关系式,是几个重要的结论,若能理解记忆并运用,将会促进能力的提高.例题、如图所示,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形PQRS是正方形.
(1). △ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2).求正方形PQRSR的边长.
解:(1) △ASR∽△ABC.理由是:(2).由(1)可知, △ASR∽△ABC.四边形PQRS是正方形RS∥BC∠ASR= ∠B
∠ARS= ∠C△ASR∽△ABC.设正方形PQRS的边长为x cm, 则AE=(40-x)cm,解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.(相似三角形对应高的比等于相似比)亲历知识的发生和发展问题:
如果△ABC∽△A′B′C′它们面积的比与相似比有什么关系?
如图, △ABC∽△A′B′C′,相似比是k(如3∶4).
(1)△ABC与△A′B′C′的面积如何表示?
(2)△ABC与△A′B′C′的面积的比是多少?
解:分别作高CD,C′D′,则如果两个相似三角形的相似比是k ,通过上面的活动,你得出了什么结论?相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图,如果△ABC∽△A′B′C′,且这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.如图,四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2,且相似比为k.(1).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2周长的比是多少?
(2).连接相应的对角线A1C1, A2C2所得的△A1B1C1与△ A2B2C2相似吗?
△A1C1D1与△ A2C2D2呢?
如果相似,它们的相似比各是多少?(3).设△A1B1C1, △A1C1D1, △ A2B2C2, △ A2C2D2.的面积分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1, S△A2B2C2, S△A2C2D2,那么,(4).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2.面积的比是多少?如果把四边形换成五边形,那么结论又如何?……?
换成n边形呢?
通过上面的活动,你得出了什么结论?相似多边形周长的比等于 ,
对应对角线的比等于 ,
对应三角形相似,且相似比等于 ,
对应三角形面积的比等于 ;
相似多边形面积的比等于 .相似比相似比相似多边形的相似比相似比的平方相似比的平方下图是某市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000
(1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实际长度;
(2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的?与同伴交流.点拨
(1)用一根线绳沿图中的外环路重叠放置,此时线绳的长度就是外环路的图上距离;
(2)把图上的外环路近似地看作一个矩形.某市城市广场,是一个因周边环境设计建造的一个不规则多边形,具有和谐的自然美.设计图的比例尺是1∶10 000.图上多边形与实际多边形相似吗?如果相似,它们的相似比是多少?图上多边形与实际多边形的周长比是多少?面积呢?练一练归纳提炼相似多边形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似多边形对应对角线的比等于相似比.
相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比.
相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方.
相似多边形面积的比等于相似比的平方.课件16张PPT。23.5 位似图形23.5 位似图形沪科版九年级如何对一个图形进行放大或缩小呢？如图四边形ABCD，现要对其放大两倍，该如何操作？小结：我们可以先画一个格点图，通过它来辅助画图。但这样做有什么不好的地方呢？能不能再找更为简便的方法呢？看一看，想一想我们在物理上都学过了小孔成像，从中你能得到什么启示呢？做一做如图，已知△ABC，求作△A’B’C’，使得△ABC的边长缩小到原来的一半. 连AO,并延长至A’，使连BO,并延长至B’，使连CO,并延长至C’，使连接三个顶点就可以得到△A’B’C’.你能解释原因吗?做一做也可以这样来处理：连OA，在OA上取A’ ，使连OB，在OB上取B’ ，使连OC，在OC上取C’ ，使上述图形有什么共同特点？ 如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.1．两图形相似． 同时满足下面两个条件的两个图形才叫做位似图形．两条件缺一不可．定义辨析 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比. 2．每组对应点所在直线都经过同一点．做一做1.判断下列各对图形是不是位似图形.(1)相似五边形ABCDE与五边形A’B’C’D’E’;( 是 )(2)正方形ABCD与正方形A’B’C’D’;( 是 )(3)等边三角形ABC与等边三角形A’B’C’.( 是 )2、判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）相似五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′； （2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO 做一做是不是是②∠AED＝∠B3、判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. 做一做是不是4、判断下列图形是否为位似图形？ 做一做是5、如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比. 做一做四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形.位似中心是: 点A看一看想一想在位似图形中，位似中心可能有几种情况呢？可以在图形内部，也可以中图形外部，还可以在图形的某个顶点上。归纳小结定义 如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做_______,这个点叫做_________.位似图形位似中心学会作图
