4.1 认识三角形 教案 （表格式）2025-2026学年数学湘教版八年级上册

4.1　认识三角形
第1课时　三角形的有关概念及三边关系
课题 第1课时　三角形的有关概念及三边关系 授课人
教 学 目 标 1.认识三角形的图形,并从图形中认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形. 2.正确地运用三角形的三边关系去解决实际问题. 3.经历量度三角形边长的实践活动,理解三角形三边的不等关系. 4.能够利用三角形的三边关系去解决相关的应用性问题. 5.通过创设情境,结合实际生活,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得对几何图形的基本认识,激发学生学习数学的兴趣.
教学 重点 1.通过观察多个图形去识别三角形和表述三角形及相关概念. 2.三角形三边关系的探究和应用.
教学 难点 　　三角形三边关系的应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、三角板、多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.实物与立体图形: 图4-1-5 2.基本的平面图形:点、线、角、长方形、正方形、圆、三角形等. 　　从基本图形入手,引入到所讲述的主题.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 三角形是一种最常见的几何图形之一(可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影给同学们放映),从古埃及的金字塔,到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑,到微小的分子结构,处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中. 　　在引入时欣赏几幅生活中常见的图形或图片,使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程,从而激发学生强烈的好奇心和求知欲,顺利引入本节课要研究的内容.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 观察下列图片,你能发现这些图片有什么共同特点吗 图4-1-6 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形存在于我们的生活之中. 板书:教师在黑板上画出以下几个图形: 图4-1-7 (1)教师引导学生观察图4-1-7,各图形是不是由三条线段首尾相接所组成的 图①中三条线段AC,CB,AB是不是首尾相接 (2)观察以上图形,哪些是三角形 (3)描述三角形的特点. 板书:不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 提问:上述对三角形的描述中,你认为有几个部分要引起重视 (a.不在同一直线上的三条线段;b.首尾相接)
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 三角形的有关概念 对于【课堂引入】中的内容,让学生思考以下问题: (1)什么叫作三角形 (2)三角形有几条边 有几个内角 有几个顶点 (3)三角形ABC用符号表示为　　　　; (4)三角形ABC的边AB,AC,BC可用小写字母分别表示为　　　　. 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.三角形ABC用符号表示为“△ABC”.△ABC的边AB,AC,BC可用小写字母分别表示为c,b,a. 【探究2】 三角形按边分类 思考并提问:三角形的三边的长度关系如何 学生回答:三角形中,有的三边都不相等,有的两边相等,有的三边都相等. 结论:两条边相等的三角形叫作等腰三角形;三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形).
活动 二: 探究 与 应用 分类:三角形按边分类: 三角形 基本概念: (1)在等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另外一边叫作底边.两腰的夹角叫作顶角,腰和底边的夹角叫作底角; (2)等边三角形又叫正三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 【探究3】 三角形的三边关系 思考下列问题:在一个三角形中,任意两边的长度之和与第三边的长度有着怎样的关系 说明你的理由. 学生活动设计:学生分组合作,小组讨论,通过动手试验,进行测量或利用线段长度的比较方法,可以发现:三角形的任意两边的长度之和大于第三边的长度,关键是寻找上述结论成立的理论依据,经过观察讨论(或经过教师的引导)可以发现:两点之间,线段最短是上述结论成立的依据. 总结:三角形的任意两边之和大于第三边. 如图4-1-8,AB+BC>AC,AB+AC>BC,BC+AC>AB. 图4-1-8 　　问题引申,引导学生探索三角形的三边关系. 经历思考、交流三角形的三边关系.教师要注意引导学生探究三角形的三边关系,在必要时进行适当提示,进而进行归纳:三角形的任意两边之和大于第三边. 教师要注意引导学生利用符号语言描述三角形的三边关系.注意揭示图形语言与文字语言之间的联系.
【应用举例】 例1　有三根木棒,其长度分别为2 cm,3 cm,6 cm,它们能否首尾相接构成一个三角形 变式一:如图4-1-9,为估计池塘岸边A,B两点间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=8米,OB=6米,则A,B两点间的距离不可能是 (A) 图4-1-9 A.15米　　　B.12米　　　C.10米　　　D.8米 变式二:已知三角形的三边长分别为3,8,x,若x的值为偶数,则满足条件的x的值有 (D) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 变式三:如果三角形的两边长分别为3和5,那么这个三角形的第三边的长最大不能超过　8　. 例2　如图4-1-10,D是△ABC的边AC上一点,AD=BD,试判断AC与BC的大小. 图4-1-10 图4-1-11 变式四:如图4-1-11,在△ABC中,D是AB上一点,则AB+2CD>AC+BC吗 说明理由. 解:AB+2CD>AC+BC. 理由:因为三角形的任意两边之和大于第三边, 所以AD+CD>AC,BD+CD>BC. 将两式相加,得AB+2CD>AC+BC. 　　应用迁移、巩固提高,培养学生解决问题的能力. 通过用小木棒构建三角形,使数学活动充满了探索性和挑战性,引导学生观察、分析、类比、猜想,体验知识的生成过程,使将要传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果,从而抓住了重点,突破了难点.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　若等腰三角形的两条边长分别为7 cm和14 cm,则它的周长为　35　cm. [解析] ①当14 cm为腰长,7 cm为底边长时,14+14>7,能构成三角形,此时等腰三角形的周长为14+14+7=35(cm); ②当14 cm为底边长,7 cm为腰长时,7+7=14,不能构成三角形,故舍去. 综上,等腰三角形的周长为35 cm. 例4　已知a,b,c为三角形的三边长,化简:︱a+b-c︱-︱b-a-c︱. 解:由三角形的三边关系,得a+b>c,a+c>b,则|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-a-c+b=2b-2c. 例5　如图4-1-12,P是△ABC内部一点,连接BP并延长,交AC于点D. 图4-1-12 (1)试探究AB+BC+AC与2BD的大小关系; (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系. 解:(1)在△ABD中,根据三角形的三边关系,得AB+AD>BD; 在△BCD中,根据三角形的三边关系,得BC+CD>BD. 两式相加,得AB+AD+CD+BC>2BD,即AB+BC+AC>2BD. (2)在△ABD中,根据三角形的三边关系,得AB+AD>PB+PD; 在△PDC中,根据三角形的三边关系,得PD+CD>PC. 两式相加,得AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC, 即AB+AC>PB+PC. 　　本类问题难度比较大,因此教师要给学生充足的时间和空间思考、讨论,必要时进行恰当地引导,帮助学生解决难点. 知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P89练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P93习题4.1 T1,T2. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的教学借助于学生已有的知识和生活经验,通过自主探究与合作交流的方式进行.具体的教学过程是先对大量的生活图片进行观察、分析、思考,在对三角形获得大量的感性认识的基础上,归纳出三角形的特点及其有关概念.在此基础上,学生分组进行试验操作活动,通过操作活动进一步对三角形进行理性思维,通过观察、测量、分析、讨论等方式探究并归纳出三角形的三边关系.最后学生可借助于对例题、习题的分析、思考来巩固本节课所学的新知识和数学思想方法,从而达到提升自身的数学思维能力以及数学素养的目的. ②[讲授效果反思] 在讲解教材例题时教师要注意引导学生进行分类讨论,培养学生分类讨论的数学思想,同时注意运用三角形的三边关系验证结果的合理性. ③[师生互动反思] 教学例题时,可以让学生畅所欲言,互相补充,以此培养学生用数学的眼光观察和解释一些现象的能力. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　三角形的高、角平分线和中线
课题 第2课时　三角形的高、角平分线和中线 授课人
教 学 目 标 1.通过实践操作,让学生全面认识三角形的高、角平分线、中线的概念及其性质. 2.结合图形让学生了解三角形的三条高、三条角平分线、三条中线会分别交于一点. 3.了解三角形的重心的概念. 4.通过数形结合的实践操作活动过程,发展学生的推理能力及数形结合的应用能力. 5.学会用数学知识解决实际问题的能力,发展应用和自主探究的意识,并培养学生的动手实践能力. 6.通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心.
教学 重点 1.对三角形的高、角平分线、中线概念的认识与理解. 2.对三角形的重心及三角形的三条高、角平分线、中线分别交于一点的认识.
教学 难点 　　三角形的高、角平分线、中线的综合应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 圆规、量角器、直尺、多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.复习三角形的有关概念及表示法. 2.复习三角形的三边关系. 　　加深记忆,增强数形结合能力.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 请同学们尝试回答下面的两个问题: 1.如果将一个三角形纸片只剪一刀,你能将其面积分成相等的两部分吗 2.一块三角形的煎饼,要把它分成大小相等的4块,你有几种不同的分法 　　通过动手操作,激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 三角形的高 (事先让学生准备三个三角形纸片) 给出一个△ABC,请你尝试作出△ABC的高. 提问:(1)你用什么方式作出三角形的高 (2)高有几条 (3)你能用折纸的方法找出你准备好的三角形纸片的高吗 (4)你用折纸折出的高与你用三角板画出的高一致吗 (5)你发现三角形的三条高有何特点 (要求学生利用数学等式回答)
活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 三角形的角平分线 事先在黑板上画一个△ABC,问学生如何画一个角的平分线,比如画∠A的平分线AD 提问:(1)三角形有几条角平分线 (2)你发现三角形的三条角平分线有何特点 (要求学生利用数学等式回答) 【探究3】 三角形的中线 在已画的△ABC的∠A的平分线AD的基础上提出问题:点D是不是BC的中点 什么是线段的中点 你有什么方法得到线段的中点 (通过度量,寻找出中点,再连接成中线) 提问:(1)三角形有几条中线 (2)你发现三角形的三条中线有何特点 结论:三角形有三条中线,并且它们相交于一点,这个交点叫作三角形的重心. 　　动手实践,探究新知.通过动手操作,培养学生从一般到特殊的转化思想. 经历思考、交流,归纳出三角形三条线段的画法及性质.
【应用举例】 例1　在一个已知的三角形中画出三边上的中线、高及三个角的平分线. 变式一:如图4-1-19,CD,BE是△ABC的角平分线,它们相交于点I,则 ①∠ACD=∠　BCD　= 　∠ACB,∠ABC=　2　∠ABE; ②BI是∠　ABC　的平分线,CI是∠　ACB　的平分线; ③你能画出△ABC的第三条角平分线吗 图4-1-19 例2　如图4-1-20,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高. (1)图中共有几个三角形 请分别列举出来. (2)其中哪些三角形的面积相等 图4-1-20 图4-1-21 变式二:如图4-1-21,在△ABC中,AD,AE分别是边BC上的中线和高,AE=3 cm,S△ABC=12 cm2,求BC和DC的长. 解:因为AE是边BC上的高,AE=3 cm,S△ABC=12 cm2, 所以×3BC=12,解得BC=8(cm). 因为AD是边BC上的中线,所以DC=BC=4 cm. 　　应用新知,变式训练,展现知识的延伸,加深数学问题,培养钻研数学的习惯.
【拓展提升】 例3　如图4-1-22,在△ABC中,E是BC边上的一点,EC=2BE,D是AC的中点.设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF等于 (B) 图4-1-22 A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 例4　一块三角形的煎饼,要把它分成大小相等的4块,你有几种不同的分法 图4-1-23 教师帮助学生抽象成如下问题:如图4-1-23,已知△ABC,如何将它分成四个面积相等的三角形 参考答案: 图4-1-24 　　应用三角形的中线可把三角形分成面积相等的两部分来解决实际问题,体现数学的应用价值.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P89练习T3,T4. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P93习题4.1 T3. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 画直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点,教师要多鼓励学生动手操作,从不同的方向、不同的角度去探讨,让学生多交流,并掌握高的画法. ②[讲授效果反思] 对作图的探究问题要体现不同的思想,采用表扬与鼓励的方法,充分调动学生的学习积极性. ③[师生互动反思] 在掌握三线的画法后,教师让学生从数量关系上掌握高、角平分线、中线的性质,培养学生的应用能力. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
第3课时　三角形的内角和定理
课题 第3课时　三角形的内角和定理 授课人
教 学 目 标 1.通过剪折,准确地理解“三角形的内角和等于180°”. 2.能正确地根据角的大小对三角形进行分类. 3.了解三角形的外角及性质. 4.通过测量、猜想、推理等数学活动,探索三角形的内角和,感受数学思考过程的条理性,发展合情推理能力和语言表达能力. 5.理解三角形内角和的计算、验证,其本质就是想法把三个内角集中在一起转化为一个平角,其方法可以用拼合的方法,也可以用引平行线的方法. 6.经历探索三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的过程. 7.通过小组学习等活动经历得出三角形的内角和等于180°的过程,进一步提高学生应用所学知识解决问题的能力. 8.学会运用简单的说理来计算三角形有关角的问题. 9.通过新颖、有趣的实际问题,激发学生的求知欲,引起学生学习的兴趣. 10.培养学生的实践能力和观察总结能力,体验主动探究的成功感和快乐.
教学 重点 1.三角形的内角和定理. 2.三角形外角的性质.
教学 难点 1.三角形内角和定理的推导、验证过程. 2.对三角形外角性质的理解.
授课 类型 新授课 课时
教具 圆规、量角器、直尺、硬纸板、多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 在小学,通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作(如图4-1-38),得到三角形的内角和是180°.你能说出这些方法的原理吗 图4-1-38 先思考,并在小组内交流,汇总发言. 　　创设情景,激发学生的好奇心及求知欲,适当渗透环保知识. 培养学生小组协作的意识.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 三角形的内角和定理 由此受到启发:如图4-1-39,将△ABC的边BC所在的直线平移,使其经过点A,得到直线B'C'. 　图4-1-39　　 因为直线在平移下的像是与它平行的直线, 所以B'C'∥BC, 所以∠B'AB=∠B,∠C'AC=∠C. 又因为∠B'AB+∠BAC+∠C'AC=180°, 所以∠B+∠BAC+∠C=180°. 教师点拨:三角形的内角和定理的验证方法有很多,但不管哪种方法其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行,同旁内角互补”来解题. 几种常见的验证方法的辅助线作法如图4-1-40. 图4-1-40 归纳:三角形的内角和等于180°. 学生活动:将事先准备好的三角形纸片的三个角拼合在一起,并观察思考,可能得出什么结论.分组交流与研讨,并抽出一名学生说一说本组的方法. 教师活动:指导拼合形成平角.深入参与活动、指导、倾听学生交流,引出多种方法的说明.在测量、拼图等活动的基础上,引导学生利用添加辅助线来解题. 【探究2】 三角形按角分类 在一个三角形中有三个内角,它们都是一些什么样的角 (1)如果三个角都是锐角,那么这样的三角形的形状是什么样的 (通过画图说明) (2)如果三个角中有一个是直角,那么这个三角形的形状是什么样的(通过画图说明) 它有什么特别吗 (3)如果三个角中有一个是钝角,那么这个三角形的形状是什么样的 (通过画图说明) 思考问题:在一个三角形中,有没有两个内角是直角或钝角的情况 【探究3】 三角形的外角 把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角. 外角的特征有三个: (1)顶点在三角形的一个顶点上. (2)一条边是三角形的一边. (3)另一条边是三角形某条边的延长线. 把三角形各边向两方延长,就可以画出一个三角形所有的外角.得到:一个三角形有六个外角,其中有三个与另外三个相等,所以研究时,只讨论不同顶点处的三个外角的性质. 如图4-1-41,∠ACD是△ABC的一个外角,则∠ACD与内角∠A,∠B之间有什么关系 图4-1-41 因为∠ACD+∠ACB=180°,∠A+∠B+∠ACB=180°, 所以∠ACD=180°-∠ACB,∠A+∠B=180°-∠ACB, 于是∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 归纳:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 　　通过动手操作、试验说明,逐步培养学生合作的意识,降低学习难度,培养学生多元化的思维方式,让学生体验数学活动充满了探索性. 　　通过学生的自我探究、归纳总结,让学生充分参与到数学学习的过程中,体会学习的乐趣.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　在△ABC中,∠A的度数是∠B的3倍,∠C比∠B大15°,求∠A,∠B,∠C的度数. 变式一:在△ABC中,已知∠B=30°,∠C=50°,那么△ABC是　钝角　三角形. 变式二:在△ABC中,∠A等于直角的一半,∠B等于直角的,则∠C=　75°　. 变式三:在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,求∠A,∠B,∠C的度数. 解:设∠A=x°,∠B=2x°,∠C=3x°. 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以x+2x+3x=180,解得x=30, 所以2x=60,3x=90. 故∠A,∠B,∠C的度数分别为30°,60°,90°. 例2　如图4-1-42,已知AD是△ABC的角平分线,∠ADB=98°,∠C=70°,求∠B的度数. 图4-1-42 图4-1-43 图4-1-44 变式四:如图4-1-43,AD是△ABC的高,AE是∠BAC的平分线,交BC于点E,∠B=26°,∠AED=41°,求∠CAD的度数. 解:因为∠B=26°,∠AED=41°,所以∠BAE=∠AED-∠B=15°. 因为AE平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAE=30°, 所以∠ACD=∠BAC+∠B=56°,所以∠CAD=34°. 例3　如图4-1-44,AB∥CD,∠ABE=60°,∠D=50°,求∠E的度数. 例4　一个零件的形状如图4-1-45所示,按规定∠BAC=90°,∠B=21°,∠C=20°,检验工人量得∠BDC=130°,就断定这个零件不合格.你能运用所学知识说出其中的道理吗 图4-1-45 外角可以把不在同一三角形中的几个角联系起来. 解决问题的关键:一是确定角的“身份”——内角还是外角;二是添加辅助线构造三角形的外角. 　　通过变式题,可体现知识的延伸性与发散性.增加例3,4题的主要目的是加强对三角形外角性质的运用,体现其应用能力.
【拓展提升】 例5　已知:如图4-1-46,在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.若∠B=35°,∠C=45°,求∠DAE的度数. 图4-1-46 解:因为∠B=35°,∠C=45°, 所以∠CAB=180°-∠B-∠C=100°. 因为AE是△ABC的角平分线,所以∠CAE=∠CAB=50°.
活动 二: 探究 与 应用 因为AD是△ABC的高,所以∠ADC=90°,所以∠CAD=45°, 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-45°=5°. 例6　如图4-1-47,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,请你探索∠A和∠D的数量关系. 图4-1-47 学生小组合作、分组讨论,探索其中的数量关系.观察图形可以发现,∠A和∠D分别在两个三角形内,分别利用三角形内角和等于180°可以得到:∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠D+∠DBC+∠DCB=180°. 又根据角平分线的定义,得2∠DBC=∠ABC,2∠DCB=∠ACB, 所以2(∠DBC+∠DCB)=∠ABC+∠ACB, 所以∠ABC+∠ACB=2(180°-∠D), 所以∠A+2(180°-∠D)=180°,所以∠D=90°+∠A. 　　从常考知识出发,渗透数形结合的思想方法,提高学生的数学计算能力,综合考查三角形的内角和定理与外角的性质,做到在基础的水平上全面提高.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P92练习T1,T2,T3. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P93习题4.1 T4,T5. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课采用动手发现与多媒体教学手段相结合的方法,根据教材内容设计教学情境,引导学生积极思考,激发学生的求知欲,使学生在由浅入深、循序渐进的思维活动中向预定的学习目标探索前进、获得新知,体现学生的主体性. ②[讲授效果反思] 教学过程中注重学生的自主学习,提倡学生“动手做,动脑想,大胆猜,多训练,勤钻研”,通过自我实践,自我思考,自我总结,最终建构起自己的知识.在讲解三角形的外角时,要强调“不相邻”. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.