4.2　命题与证明 教案（表格式） 2025-2026学年数学湘教版八年级上册

4.2　命题与证明
4.2.1　定义,命题
课题 4.2.1　定义,命题 授课人
教 学 目 标 1.了解定义与命题的概念及含义,会区分某些语句是不是命题. 2.掌握命题的条件及结论,能用“如果……,那么……”的形式表示命题. 3.理解命题与逆命题的关系. 4.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征. 5.通过辨识命题,学会对命题结构的分析和思考,并能根据结构的内在规律去写原命题的逆命题. 6.根据某些语句的特征,能准确地判断命题,并从命题的结构中去分析条件和结论,从而培养严谨的思维习惯.
教学 重点 　　对定义、命题的区分与认识,会分辨出命题的条件与结论.
教学 难点 　　在不明确命题的条件与结论的条件下去写命题的逆命题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 前面我们学习了许多有关三角形的概念,如:不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形;把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角. 提问:你能说出“代数式”“方程”的概念吗 　　通过阅读情节,套出名称和术语,由此而联想到研究话语的句子及其表达形式,从而引申到命题这一主题.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 对定义、命题概念的理解 定义:对一个概念的含义加以描述说明,或者作出明确规定的语句. 强调:(1)定义是对一个概念的独有的特征性质的描述; (2)定义既可以作为概念的性质,也可以作为概念的判定方法,在几何推理中常常作为问题求解的依据. (3)定义的常见句型是陈述句,定义的一般形式有“……叫作……”“……称为……”“……是指……”“……是……”等. (4)给概念下定义必须是严密的,语句不能含糊不清.
活动 二: 探究 与 应用 议一议:下列语句中,哪些是对事情作出了判断 (1)三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形; (2)一年有12个月; (3)0是自然数吗 归纳:叙述一件事情的句子(陈述句)要么是真的,要么是假的,两者必居其一,我们称这个陈述句是一个命题. 命题的特点:(1)陈述句;(2)对事情作出判断. 【探究2】 命题的结构 观察:下列命题的表述形式有什么共同点 (1)如果a=b且b=c,那么a=c; (2)如果两个角的和等于90°,那么这两个角互为余角. 小组讨论总结:它们的表述形式都是“如果……,那么……”. 命题的结构:一个命题分为两部分:条件和结论. 命题是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中以“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如“两直线平行,同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行,那么同位角相等”. 【探究3】 原命题与逆命题 找出下面命题的条件和结论,并改写成“如果…,那么…”的形式: (1)同位角相等,两直线平行; (2)两直线平行,同位角相等. (1)条件:同位角相等;结论:两直线平行.如果同位角相等,那么两直线平行. (2)条件:两直线平行;结论:同位角相等.如果两直线平行,那么同位角相等. 你发现了什么 小组讨论. 这两个概念是相对而言的,若其中一个是原命题,则将这个命题的条件与结论互换之后形成的新命题就是这个命题的逆命题. 注意:在寻找原命题时一定要先找出命题的条件与结论,然后再进行互换. 　　通过对三个问题的探究,实现对教材内容的通透了解与认识,为全面讲课抓住要点、突破难点服务.
【应用举例】 例1　下列叙述事情的语句中,哪些是对事情作出了判断 (1)三角形的内角和等于180°;(2)如果|a|=3,那么a=3; (3)1月份有31天;(4)作一条线段等于已知线段; (5)一个锐角与一个钝角互补吗 解:(1)(2)(3). 变式一:下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题 (1)若aAC,则∠C>∠B吗 (4)两点之间,线段最短;(5)解方程:x2-2x-3=0;(6)1+2≠3. 解:(1)(2)(4)(6)是命题,(3)(5)不是命题. 例2　下列命题的条件是什么 结论是什么 (1)如果两个角相等,那么它们是对顶角; (2)如果a>b,b>c,那么a>c. 解:(1)条件:两个角相等;结论:它们是对顶角. (2)条件:a>b,b>c;结论:a>c.
活动 二: 探究 与 应用 例3　(1)指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……,那么……”的形式: 命题条件结论①能被2整除的数是偶数.②有公共顶点的两个角是对顶角.③两直线平行,同位角相等.④同位角相等,两直线平行.
(2)上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系 变式二:指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……,那么……”的形式: (1)对顶角相等; (2)同角的余角相等; (3)三角形的内角和等于180°. [解析] 找出命题的条件和结论是本节课的难点,因为命题在叙述时要求通顺和简练,把命题中的有些词或句子省略了,在改写时注意要把省略的词或句子添加上去. 解:(1)这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”. (2)这个命题的条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”. (3)这个命题的条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”.这个命题可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”. 例4　下面两个命题是互逆命题吗 (1)如果a是整数,那么a是有理数; (2)如果a是有理数,那么a是整数. 变式二:命题“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是　如果a=b,那么a2=b2　. 　　在例1与例3的前提下通过添加例题,实现对教材内容实例的补充,通过实例去说明概念,并通过学习规律去发现问题与解决问题.
【拓展提升】 例5　下列语句中,属于定义的是 (C) A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C画AB的垂线 C.直线外一点到直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离 D.同旁内角互补,两直线平行 例6　将命题“乘积为1的两个数互为倒数”改写成“如果……,那么……”的形式:　如果两个数的乘积为1,那么这两个数互为倒数　. 例7　有下列语句: ①画∠AOB的平分线;②同位角相等吗 ③若|b|=5,则b=5;④三角形是多边形. 其中属于命题的是　③④　(填序号). 　　对前面所讲述的知识进行巩固加深,让学生的学习视野拓宽.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P97练习T1,T2,T3. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P102习题4.2 T1,T2,T3,T4. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在导入上采用讲述式或发展式,运用多媒体配合更生动有趣,实现教学的互动. ②[讲授效果反思] 在讲解中突破对命题的认识的难点,将不规范的命题变形成规范的条件结论型,以明确命题的构成. ③[师生互动反思] 从理论的教学上,突破纯粹的讲解,需将枯燥乏味的教学过程变成生动有趣的教学过程. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
4.2.2　证明,举反例
课题 4.2.2　证明,举反例 授课人
教 学 目 标 1.了解真、假命题,反证法等概念. 2.掌握如何通过举反例去说明一个命题是假命题. 3.学会通过具体事例来对真、假命题作出判断. 4.掌握通过举反例去说明一个命题是假命题的实践操作及应用步骤的思考. 5.对证明的步骤、依据及过程的思考. 6.对反证法的解题步骤及应用的思考. 7.利用证明或反证法去解决不同类型的数学问题.
教学 重点 　　对真、假命题,反证法等概念的正确理解与掌握.
教学 难点 　　通过举反例去说明一个命题是假命题,应用反证法证明结论.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是　锐角三角形是等边三角形　. 2.命题“同旁内角互补”的条件是　两个角是同旁内角　,结论是　这两个角互补　. 　　对前节内容进行复习,能温故且能导引新课题.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 下列命题中,哪些是真命题,哪是假命题 (1)每一个月都有31天;(2)如果a是有理数,那么a是整数; (3)同位角相等;(4)同角的补角相等. 提出问题:(1)用怎样的方法对这些命题的真假进行判定 (2)判定每个命题的真假的依据又是什么 　　对列出的题实行探究式提问,目的在于对真假命题的判定方法及判定依据作出归纳,便于在实际操作中利用类似的方法去解决问题.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 真、假命题的判断 对于课堂引入中的4个问题,通过不同的方法,先让同学们思考,再经过讨论,对它们的对错作出正确的评判. 结论:正确的命题叫作真命题;错误的命题叫作假命题. 【探究2】 证明与举反例 判断下列命题是真命题的依据是什么 命题:如果a是整数,那么a是有理数. 归纳:判断一个命题是真命题,通常需从命题的条件出发,运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题,进行逻辑推理、计算,得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明. 例　(1)如果两个角相等,那么他们是对顶角; (2)如果a>b,b>c,那么a=c. 上面的两个命题是真命题吗 图4-2-1 可以举一个例子,说明命题(1)是不正确的,如图4-2-1. 命题(2),若a=10,b=8,c=5,此时a>b,b>c,但a≠c. 由此说明:命题(1)(2)是假命题. 用这种举例的方法比较实在. 结论:对于一个命题,如果能举出一个例子,使之符合命题条件,但不满足有命题结论,就可以判断该命题为假命题.这种做法称为举反例. 【探究3】 探究反证法的步骤 先假设命题不成立,从这样的假设出发经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾,得出假设不成立,从而判断所求证命题正确,这种证明方法叫作反证法. 学生通过例子得到启发:证明问题还可以从结论的反面出发,得出矛盾后,就说明原结论的正确性.类比例子,得到用反证法证明问题的一般步骤. (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理,导出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确. 　　从基本概念入手,对问题做全面的分析,探究出概念的根本,从而为掌握基本知识做准备.
【应用举例】 例1　命题“如果ab=0,那么a=0”是真命题还是假命题 变式一:有下列命题: ①若两相交直线组成的四个角相等,则这两条直线垂直; ②两相交直线组成的四个角中,若有一个直角,则这四个角都相等; ③两直线相交,若一角的两邻补角相等,则这两条直线垂直; ④两直线相交,若一角与其邻补角相等,则这两条直线垂直. 其中真命题有 (B) A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个 [解析] ①因为两相交直线组成的四个角相等且这四个角的和为360°,所以每一个角都为90°,故这两条直线垂直,故正确;②两相交直线组成的四个角中,若有一个直角,则四个角都是直角,故四个角都相等,故正确;③两直线相交,无论什么时候一角的两个邻补角均相等,故错误;④两直线相交,若一角与其邻补角相等,则该角与其邻补角均为90°,故这两条直线垂直,故正确.综上,真命题有3个.
活动 二: 探究 与 应用 例2　判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例. (1)一个角的补角大于这个角; (2)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c. 解:(1)是假命题.反例:例如这个角是直角或钝角时,这个角的补角等于或小于这个角. (2)是假命题.反例:例如,如图4-2-2,a⊥b,b⊥c,则a∥c. 图4-2-2 例3　证明:如果实数a≠0或实数b≠0,那么a2+b2≠0. 例4　证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 变式二:用反证法证明:△ABC的三个内角中至少有一个角不大于60°. 证明:假设△ABC的三个内角都大于60°, 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,从而∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,故假设不成立. 因此,△ABC的三个内角中至少有一个角不大于60°. 　　主要是从说理的依据上对命题进行判断,增加的例题是为了补充教材中定理与逆定理的分析.
【拓展提升】 例5　下列命题中,是假命题的是 (C) A.直角都相等 B.三角形的两边之和大于第三边 C.内错角相等 D.相等的角不一定是对顶角 [解析] A项,直角都等于90°,所以A选项是真命题.B项,三角形的两边之和大于第三边,所以B选项是真命题.C项,只有在两直线平行时,内错角才相等,所以C选项是假命题.D项,相等的角不一定是对顶角,所以D选项是真命题. 例6　“a>b”的反面是 (D) A.ab,ab的反面是a=b或a活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P99练习T1,T2,T3. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P103习题4.2 T8. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本课时着重从概念的教学入手,通过列举实例来导入课题. ②[讲授效果反思] 本课时围绕命题的真假判断及证明设计题目,通过精心设计与合理安排,体会反证法的特点与优势,加深学生对证明方法的理解与应用. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
4.2.3　定理,推论
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 4.2.3　定理,推论 授课人
教 学 目 标 1.让学生掌握利用命题的条件和结论去进行完整地证明. 2.让学生熟练地掌握证明的一般步骤. 3.通过反设结论,能有效地完成反证法的有关证明. 4.在证明的过程中培养学生的逻辑思维能力. 5.培养小组的合作能力和积极向上的态度. 6.培养学生采用正确的解题方法去解决实际问题.
教学 重点 　　在证明中,结合命题的条件,学会如何书写已知与求证,并完成证明.
教学 难点 　　证明过程中填写证明依据.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体及课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.如何证明三角形的内角和是180° 2.下列命题中的假命题是 (C) A.若∠1和∠2是∠A的补角,则∠1=∠2 B.若∠3和∠4是对顶角,则∠3=∠4 C.若∠5和∠6是内错角,则∠5=∠6 D.若∠7和∠8是邻补角,则∠7+∠8=180° 　　从证明与举反例两个方面进行回顾,巩固知识点.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 组织学生开展小组合作,采用剪拼或度量的方法,猜测“三角形的外角和”等于多少度. 图4-2-11 通过剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°,但是剪拼时难以真正拼成一个周角,只是接近周角;分别度量这三个角后再相加,结果可能接近360°,但不能很准确地都得到360°. 另外,由于不同形状的三角形有无数个,我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证,因此,我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°. 此时猜测出的命题仅仅是一种猜想,未必都是真命题.要确定这个命题是真命题,还需要通过推理的方法加以证明. 　　通过实践活动,让学生在操作中去发现、探究所猜想命题的正确性,实现猜、证的结合.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 探究证明的步骤 证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题. 图4-2-12 解:已知:如图4-2-12,∠BAF,∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角. 求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. 证明:如图2-2-11. 因为∠BAF=∠2+∠3,∠CBD=∠1+∠3,∠ACE=∠1+∠2(三角形外角定理), 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质). 因为∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理), 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°. 证明与图形有关的命题时,一般有以下步骤: 第一步:先根据命题的条件画出图形,写出已知条件; 第二步:根据命题的结论写出求证; 第三步:从命题的条件出发,运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算,得出需要求证的结论,或者运用反证法证明. 【探究2】 基本事实、定理、推论、逆定理的概念 基本事实:人们在长期实践中总结出来的公认的事实.例如,两点确定一条直线;两点之间线段最短等. 定理:经过证明为真的命题叫作定理. 推论:利用某一个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 逆定理:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么就称它是原定理的逆定理,并将两个定理称为互逆定理. 　　通过教师设问,学生思考、探究、类比,学生得出证明的概念,初步明确证明的步骤,从中体会证明在解题中的应用.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　证明:在一个三角形中有两个角相等,则与第三个角相邻外角的平分线平行于第三个角的对边. 变式一:已知:如图4-2-13,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别平分∠ABC,∠ADC,且∠1=∠2.求证:AB∥DC. 图4-2-13 请根据条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由. 证明:因为BF,DE分别平分∠ABC,∠ADC, 所以∠1=∠ABC,∠CDE=∠ADC(　角平分线的定义　). 因为∠ABC=∠ADC, 所以∠　1　=∠　CDE　. 因为∠1=∠2, 所以∠2=　∠CDE　(　等量代换　). 所以　AB　∥　DC　(　内错角相等,两直线平行　). 变式二:如图4-2-14,有下列三个条件: ①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为条件,另一个作为结论,组成一个命题,一共能组成几个命题 请你把它们都写出来; (2)请你就其中的一个真命题给出证明过程. 图4-2-14 解:(1)一共能组成3个命题:条件为①②,结论为③;条件为①③,结论为②;条件为②③,结论为①. (2)(情况一)条件:①②,结论:③. 证明:因为DE∥BC, 所以∠1=∠B,∠2=∠C. 又因为∠1=∠2,所以∠B=∠C; (情况二)条件:①③,结论:②. 证明:因为DE∥BC, 所以∠1=∠B,∠2=∠C. 又因为∠B=∠C,所以∠1=∠2; (情况三)条件:②③,结论:①. 证明:因为∠1=∠2,∠B=∠C,∠1+∠2=180°-∠BAC,∠B+∠C=180°-∠BAC, 所以2∠1=2∠B, 所以∠1=∠B,所以DE∥BC. 　　注意在书写证明的步骤时一定要有理有据,一定要符合规范,推理过程符合数学逻辑.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　如图4-2-15,在四边形ABCD中,(1)AB∥DC;(2)AD∥BC;(3)∠A=∠C. 请你以其中两个为条件,另外一个为结论,写出一个真命题,并加以证明. 图4-2-15 已知: 求证: 证明: 解:答案不唯一,如(1)(2)作为条件,(3)作为结论组成命题为真命题. 已知:AB∥DC,AD∥BC. 求证:∠A=∠C. 证明:因为AB∥CD,所以∠B+∠C=180°. 因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,所以∠A=∠C. 　　通过例题,从命题的结构及证明的流程上都进行了全面训练,让学生达到学后练习提高能力的目的.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P102练习T1,T2,T3. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P103习题4.2 T5,T6. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在引入新课时可以先复习平行线的性质与判定等知识,以帮助学生学习证明时所需的定理,从而更快掌握证明的程序. ②[讲授效果反思] 要全面讲解证明的步骤,分析其证题的方法,针对结论,采取不同的措施,化解难题. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.