4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边) 教案（表格式） 2025-2026学年数学湘教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边) 教案（表格式） 2025-2026学年数学湘教版八年级上册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-25 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边)
课题 4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边) 授课人
教 学 目 标 1.探索三角形全等的“边角边”的条件. 2.能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题. 3.培养学生识图、分析图形的能力. 4.培养学生对数形结合问题的思考. 5.全面提高学生利用已知去挖掘条件、创造对应相等的等量关系去判定三角形全等的能力. 6.经历探索三角形全等条件的过程,体会运用“边角边”去解决三角形全等的有关实际性问题. 7.探索并掌握三角形全等的“边角边”的条件,在活动过程中,发展合情推理,进一步学会有条理的思考与表达. 8.通过自主学习体验获取数学知识的感受,培养学生勇于创新、合作交流的能力,让学生学习运用数学的思维方式去观察、思考、分析,增强运用数学的意识.
教学 重点 探索三角形全等的判定方法及其应用.
教学 难点 灵活运用三角形全等的判定去解决实际问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是全等三角形 2.全等三角形有什么性质 回忆旧知识,为探究新知识做好准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 出示问题:如图4-3-35,小红为了测出池塘两端A,B的距离,她在地面上选择了点O,D,C,使OA=OC,OB=OD,且点A,O,C在一条直线上,点B,O,D在一条直线上,小红量出DC=18米,她就知道A,B的距离了,你想知道为什么吗 图4-3-35 学了今天的知识你就能解答了.(引入新课) 将课本例题进行适当的变形,把教学背景从孤立的人工背景过渡到现实背景,并提出你想知道为什么吗 学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发了学生学习新知的强烈欲望.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 “边角边”判定定理 问题1:如果两个三角形有两边和一角对应相等,你认为有哪几种情况 分析:应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一种情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角. 问题2:画图试验: 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形的两条边长分别为3 cm和4 cm,它们的夹角为45°,你能画出这个三角形吗 你画的三角形与其他同学画的三角形一定全等吗 换两条线段和一个角试试,你发现了什么 分析:通过比较、对照、讨论,发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所画的三角形都是全等的. 问题3:如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如三角形两条边长分别为4 cm和4.5 cm,长度为4 cm的边所对的角为60°,情况会怎样呢 请画出这个三角形,把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,由此你发现了什么 分析:两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 通过上面的画图和比较,你能用自己的语言总结出两个三角形全等的判定吗 这个结论可以简单地记作什么 结合图形,请你把结论转化成几何语言. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”. 特别注意:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边. 进一步学习三角形的画法,从实践中体会三角形的全等条件. 可以通过形象的演示,使学生发现问题并加强学生对知识的理解和感受,同时也培养了学生仔细观察的能力. 培养学生由特殊到一般的类比、归纳能力. 使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等,使学生明确只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等.
【应用举例】 例1 已知:如图4-3-36,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO. 求证:△ACO≌△BDO. 图4-3-36 变式一:如图4-3-37,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:DC∥AB. 图4-3-37 证明:在△ODC和△OBA中, 所以△ODC≌△OBA(边角边), 所以∠C=∠A(或∠D=∠B)(全等三角形的对应角相等), 所以DC∥AB(内错角相等,两直线平行). 学生参与教师的讲解,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写证明过程. 教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与,强化学生对“边角边”判定定理的理解.
活动 二: 探究 与 应用 变式二:已知:如图4-3-38,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2. 求证:∠3=∠4. 图4-3-38 证明:因为∠1=∠2, 所以∠1+∠BAC=∠2+∠BAC, 即∠EAC=∠DAB. 在△AEC和△ADB中, 所以△AEC≌△ADB(边角边), 所以∠3=∠4. 变式三:已知:如图4-3-39,AB=CD,AE=DF,AB∥CD.点D,E,F,A在同一条直线上. 求证:△ABE≌△DCF. 图4-3-39 证明:因为AB∥CD,所以∠A=∠D. 在△AEB和△DFC中, 所以△ABE≌△DCF. 变式四:已知:如图4-3-40,AB=AC,AE平分∠BAC,点D在AE上.求证:∠DBE=∠DCE. 图4-3-40 证明:因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=∠CAE. 又因为AB=AC,AE=AE, 所以△ABE≌△ACE(边角边), 所以BE=CE,∠BED=∠CED. 又因为DE=DE, 所以△BED≌△CED(边角边), 所以∠DBE=∠DCE. 变式五:已知:如图4-3-41,在△ABC中,点E,F分别在AB,AC边上,D是BC边的中点,且DF∥AB,BE=DF.求证:△BED≌△DFC. 图4-3-41 证明:因为DF∥AB,所以∠B=∠FDC. 因为D是BC边的中点, 所以BD=DC. 在△BED和△DFC中, 所以△BED≌△DFC.
【拓展提升】 例2 已知:如图4-3-42,在△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动.同时,点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动.一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△DBP与△CQP全等时,求点P的运动时间. 图4-3-42 培养学生的识图、拓展能力和对动态问题的分析能力,并规范证明过程的书写.
活动 二: 探究 与 应用 解:设点P,Q的运动时间为t s,则BP=3t cm,CQ=3t cm. 因为AB=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点, 所以CP=(8-3t)cm,BD=AB=×10=5(cm). 因为AB=AC,所以∠B=∠C. ①当△DBP≌△PCQ时,BD=CP,BP=CQ, 所以5=8-3t,3t=3t,解得t=1; ②当△DBP≌△QCP时,BD=CQ,BP=CP, 所以5=3t,3t=8-3t,解得t=且t=(舍去). 综上所述,当△DBP与△CQP全等时,点P的运动时间为1 s. 例3 问题背景:如图4-3-43①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是:如图①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ; 探索延伸:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立 说明理由; 实际应用:如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°方向上的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的方向上的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离. 图4-3-43 解:问题背景:EF=BE+DF 探索延伸:EF=BE+DF仍然成立. 理由如下:如图4-3-44①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 因为∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°, 所以∠B=∠ADG. 在△ABE和△ADG中, 所以△ABE≌△ADG(边角边),所以AE=AG,∠BAE=∠DAG. 因为∠EAF=∠BAD, 所以∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD,所以∠EAF=∠GAF. 知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 二: 探究 与 应用 在△AEF和△AGF中, 所以△AEF≌△AGF(边角边),所以EF=GF. 因为GF=DG+DF=BE+DF,所以EF=BE+DF. 图4-3-44 实际应用:如图②,连接EF,OF. 因为∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°, 所以∠EOF=∠AOB. 又因为OA=OB,∠OAE+∠OBF=(90°-30°)+(70°+50°)=180°, 所以符合探索延伸中的条件,所以EF=AE+BF成立, 即EF=1.5×(60+80)=210(海里). 答:此时两舰艇之间的距离是210海里.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P110练习T1,T2,T3. 实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P118习题4.3 T3. 根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会全等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. ②[讲授效果反思] 教师讲解“边角边”判定定理时,必须强调定理中的角是“夹角”,讲解例题时要使学生明确:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
课题 4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边) 授课人
教 学 目 标 1.探索三角形全等的“边角边”的条件. 2.能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题. 3.培养学生识图、分析图形的能力. 4.培养学生对数形结合问题的思考. 5.全面提高学生利用已知去挖掘条件、创造对应相等的等量关系去判定三角形全等的能力. 6.经历探索三角形全等条件的过程,体会运用“边角边”去解决三角形全等的有关实际性问题. 7.探索并掌握三角形全等的“边角边”的条件,在活动过程中,发展合情推理,进一步学会有条理的思考与表达. 8.通过自主学习体验获取数学知识的感受,培养学生勇于创新、合作交流的能力,让学生学习运用数学的思维方式去观察、思考、分析,增强运用数学的意识.
教学 重点 探索三角形全等的判定方法及其应用.
教学 难点 灵活运用三角形全等的判定去解决实际问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是全等三角形 2.全等三角形有什么性质 回忆旧知识,为探究新知识做好准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 出示问题:如图4-3-35,小红为了测出池塘两端A,B的距离,她在地面上选择了点O,D,C,使OA=OC,OB=OD,且点A,O,C在一条直线上,点B,O,D在一条直线上,小红量出DC=18米,她就知道A,B的距离了,你想知道为什么吗 图4-3-35 学了今天的知识你就能解答了.(引入新课) 将课本例题进行适当的变形,把教学背景从孤立的人工背景过渡到现实背景,并提出你想知道为什么吗 学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发了学生学习新知的强烈欲望.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 “边角边”判定定理 问题1:如果两个三角形有两边和一角对应相等,你认为有哪几种情况 分析:应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一种情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角. 问题2:画图试验: 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形的两条边长分别为3 cm和4 cm,它们的夹角为45°,你能画出这个三角形吗 你画的三角形与其他同学画的三角形一定全等吗 换两条线段和一个角试试,你发现了什么 分析:通过比较、对照、讨论,发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所画的三角形都是全等的. 问题3:如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如三角形两条边长分别为4 cm和4.5 cm,长度为4 cm的边所对的角为60°,情况会怎样呢 请画出这个三角形,把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,由此你发现了什么 分析:两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 通过上面的画图和比较,你能用自己的语言总结出两个三角形全等的判定吗 这个结论可以简单地记作什么 结合图形,请你把结论转化成几何语言. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”. 特别注意:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边. 进一步学习三角形的画法,从实践中体会三角形的全等条件. 可以通过形象的演示,使学生发现问题并加强学生对知识的理解和感受,同时也培养了学生仔细观察的能力. 培养学生由特殊到一般的类比、归纳能力. 使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等,使学生明确只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等.
【应用举例】 例1 已知:如图4-3-36,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO. 求证:△ACO≌△BDO. 图4-3-36 变式一:如图4-3-37,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:DC∥AB. 图4-3-37 证明:在△ODC和△OBA中, 所以△ODC≌△OBA(边角边), 所以∠C=∠A(或∠D=∠B)(全等三角形的对应角相等), 所以DC∥AB(内错角相等,两直线平行). 学生参与教师的讲解,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写证明过程. 教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与,强化学生对“边角边”判定定理的理解.
活动 二: 探究 与 应用 变式二:已知:如图4-3-38,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2. 求证:∠3=∠4. 图4-3-38 证明:因为∠1=∠2, 所以∠1+∠BAC=∠2+∠BAC, 即∠EAC=∠DAB. 在△AEC和△ADB中, 所以△AEC≌△ADB(边角边), 所以∠3=∠4. 变式三:已知:如图4-3-39,AB=CD,AE=DF,AB∥CD.点D,E,F,A在同一条直线上. 求证:△ABE≌△DCF. 图4-3-39 证明:因为AB∥CD,所以∠A=∠D. 在△AEB和△DFC中, 所以△ABE≌△DCF. 变式四:已知:如图4-3-40,AB=AC,AE平分∠BAC,点D在AE上.求证:∠DBE=∠DCE. 图4-3-40 证明:因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=∠CAE. 又因为AB=AC,AE=AE, 所以△ABE≌△ACE(边角边), 所以BE=CE,∠BED=∠CED. 又因为DE=DE, 所以△BED≌△CED(边角边), 所以∠DBE=∠DCE. 变式五:已知:如图4-3-41,在△ABC中,点E,F分别在AB,AC边上,D是BC边的中点,且DF∥AB,BE=DF.求证:△BED≌△DFC. 图4-3-41 证明:因为DF∥AB,所以∠B=∠FDC. 因为D是BC边的中点, 所以BD=DC. 在△BED和△DFC中, 所以△BED≌△DFC.
【拓展提升】 例2 已知:如图4-3-42,在△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动.同时,点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动.一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△DBP与△CQP全等时,求点P的运动时间. 图4-3-42 培养学生的识图、拓展能力和对动态问题的分析能力,并规范证明过程的书写.
活动 二: 探究 与 应用 解:设点P,Q的运动时间为t s,则BP=3t cm,CQ=3t cm. 因为AB=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点, 所以CP=(8-3t)cm,BD=AB=×10=5(cm). 因为AB=AC,所以∠B=∠C. ①当△DBP≌△PCQ时,BD=CP,BP=CQ, 所以5=8-3t,3t=3t,解得t=1; ②当△DBP≌△QCP时,BD=CQ,BP=CP, 所以5=3t,3t=8-3t,解得t=且t=(舍去). 综上所述,当△DBP与△CQP全等时,点P的运动时间为1 s. 例3 问题背景:如图4-3-43①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是:如图①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ; 探索延伸:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立 说明理由; 实际应用:如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°方向上的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的方向上的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离. 图4-3-43 解:问题背景:EF=BE+DF 探索延伸:EF=BE+DF仍然成立. 理由如下:如图4-3-44①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 因为∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°, 所以∠B=∠ADG. 在△ABE和△ADG中, 所以△ABE≌△ADG(边角边),所以AE=AG,∠BAE=∠DAG. 因为∠EAF=∠BAD, 所以∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD,所以∠EAF=∠GAF. 知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 二: 探究 与 应用 在△AEF和△AGF中, 所以△AEF≌△AGF(边角边),所以EF=GF. 因为GF=DG+DF=BE+DF,所以EF=BE+DF. 图4-3-44 实际应用:如图②,连接EF,OF. 因为∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°, 所以∠EOF=∠AOB. 又因为OA=OB,∠OAE+∠OBF=(90°-30°)+(70°+50°)=180°, 所以符合探索延伸中的条件,所以EF=AE+BF成立, 即EF=1.5×(60+80)=210(海里). 答:此时两舰艇之间的距离是210海里.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P110练习T1,T2,T3. 实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P118习题4.3 T3. 根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会全等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. ②[讲授效果反思] 教师讲解“边角边”判定定理时,必须强调定理中的角是“夹角”,讲解例题时要使学生明确:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
同课章节目录