4.4 尺规作图 第1课时 与全等相关的尺规作图(1) 教案 （表格式）2025-2026学年数学湘教版八年级上册

4.4　尺规作图
第1课时　与全等相关的尺规作图(1)
课题 第1课时　与全等相关的尺规作图(1) 授课人
教 学 目 标 1.经历操作实践活动,会用尺规作已知三边的三角形. 2.认真分析题意,善于把实际问题转化为基本作图. 3.培养学生在作图前审题的习惯. 4.运用基本作图解决已知三边(或两边)作三角形的实际问题. 5.能按作图语言来完成作图,能用尺规作一个角等于已知角. 6.在给出两边及其夹角、两角及其夹边的条件下,能够利用尺规作三角形. 7.全面培养学生的作图意识与作图情感,并根据实际问题进行系统的作图. 8.让学生明确作图的应用思想,体会作图在实际生活中的用处. 9.全面培养学生的动手习惯和作图能力,全面提高学生的数学应用性思维.
教学 重点 1.已知三边或两边作(特殊)三角形. 2.作一个角等于已知角.
教学 难点 　　作图步骤和作图语言的叙述及利用边角去作三角形的综合应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、圆规、三角板、几何画板
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.三角形全等的判定条件有哪些 2.如何利用尺规作一条线段 3.如何作一个角等于已知角 　　复习以前学习过的作图的基本知识,让学生在学习之前对利用尺规作三角形的学习有所准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 (1)如何作一条线段等于已知线段. 方法一:度量法,先量出已知线段的长度,再画出一条和这条线段长度相等的线段. 方法二:尺规法,用直尺画一条射线,用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段. (2)归纳出尺规作图的一般步骤:①已知;②求作;③作法. 问题:我们前面所学的几何中除了线段之外,还有角、三角形等,那么你是否也能通过尺规来按要求作出相应的图形或全等的图形呢 (引入课题)这节课我们一起来探讨用尺规作已知三边的三角形. 　　让学生自己动手,老师边视察,边个别指导,实现全面的对基本作图的认识与理解,逐步提高动手能力.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 已知三边作三角形 如图4-4-6已知线段a,b,c,如何用直尺(没有刻度)和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c 图4-4-6 教师活动:鼓励学生独立完成,提醒学生先作线段BC=a后,关键定顶点A,而点A满足的条件是点A到点B的距离为c,点A到点C的距离为b,故点A在以点B为圆心,c为半径的圆弧与以点C为圆心,b为半径的圆弧的交点处. 教师示范板书:作法:(1)如图4-4-7,作线段BC=a; (2)以点B为圆心,以c为半径画圆弧,再以点C为圆心,以b为半径画圆弧,两弧在BC的一侧相交于点A; (3)连接AB和AC,则△ABC为所求作的三角形. 注意作图的规范语言,如直尺作射线,圆规画圆弧需指明圆心与半径. 图4-4-7 【探究2】 作一个角等于已知角 如图4-4-8,已知∠AOB,如何作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB呢 图4-4-8 学生活动:学生分组讨论作法,并在练习本上尝试写出作法,与同伴交流结果. 师生共议:依据全等三角形的对应角相等,在∠AOB中取定△OCD,然后作一个△O'C'D',使△O'C'D'≌△OCD,则∠C'O'D'=∠AOB. 图4-4-9 教师板书作法:(1)作射线O'A';(2)如图4-4-9①,以点O为圆心,以任意长为半径画圆弧,交以OA于点C,交OB于点D;(3)如图②,以点O'为圆心,以OC(或OD)的长为半径画圆弧,交O'A'于点C';(4)以点C'为圆心,以CD的长为半径画圆弧,交前弧于点D';(5)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'为所求作的角. 思考:为什么∠A'O'B'为所求作的角 你能说明∠A'OB'=∠AOB吗 　　本课实现对三个问题的探究,课时的时间较长,难度也相当大,在教学中我们要立足现实,结合学生实情,针对具体问题进行作图实践.
活动 二: 探究 与 应用 【探究3】 已知两边及其夹角作三角形(见教材P125作法) (要求学生在作完图形之后,结合数学知识,分析所运用的原理)
【应用举例】 例1　如图4-4-10,已知锐角∠α和平角∠AOB,在∠AOB内部求作∠AOC,使∠AOC与∠α互补.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) 图4-4-10 图4-4-11 解:如图4-4-11所示,∠AOC即为所求. 例2　如图4-4-12,已知∠1. 求作:∠MON,∠COD,使∠MON=2∠1,∠COD=3∠1.(作图略) 图4-4-12 图4-4-13 变式一:如图4-4-13,已知:∠1,∠2,∠3. 求作:∠AOB,∠POQ,∠MON,使∠AOB=∠1+∠2,∠POQ=∠1+∠2+∠3,∠MON=2∠1+∠2. (作图略) 变式二:如图4-4-14,已知:∠α,∠β,∠γ. 图4-4-14 求作:①∠AOB,使∠AOB=∠α-∠β;②∠POQ,使∠POQ=∠α-∠β-∠γ;③求作一个角,使它等于2∠β-∠γ. (作图略) 例3　已知线段a,b和m,求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC边上的中线AD=m,作法合理的顺序依次为 (A) ①延长CD到点B,使BD=CD;②连接AB;③作△ADC,使DC=a,AC=b,AD=m. A.③①②　　B.①②③　　C.②③①　　D.③②① [解析] 根据已知条件,能够确定的三角形是△ADC,故先作△ADC,使CD=a,AC=b,AD=m;再延长CD到点B,使BD=CD;连接AB,即可得△ABC.故选A. 例4　如图4-4-15,△ABC是三边不相等的三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以作出　4　个. 图4-4-15 图4-4-16 [解析] 能画4个,分别是:①以点D为圆心,以AB的长为半径画圆弧;以点E为圆心,以AC的长为半径画圆弧.两弧交于两点(DE上下各一个),分别与点D,E连接后,可得到两个三角形.②以点D为圆心,以AC的长为半径画圆弧;以点E为圆心,以AB的长为半径画圆弧.两弧交于两点(DE上下各一个),分别与点D,E连接后,可得到两个三角形. 　　将三种基本的作图知识融合到数学应用中,可以说作图是一种知识的深化,理解作图原理及三角形全等是作图的基础.在教学中要鼓励学生积极思考,多想、多做、多发现,善于联系实际,善于联系知识.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例5　如图4-4-17,已知∠α,利用无刻度的直尺和圆规作图(不要求写作法). (1)求作:∠α的补角∠β; (2)求作:∠γ=∠β-∠α. 图4-4-17 解:(1)如图4-4-18,∠AOB即为所求. 图4-4-18 (2)如图4-4-19,∠BOC即为所求. 图4-4-19 例6　如图4-4-20,在△ABC中,D是AC上一点(CD>AD),按要求完成下列各题.(保留作图痕迹,不写作法,标明各顶点字母) (1)连接BD,求作△DEF(点E在线段CD上,点F在线段AC的右侧),使得△DEF≌△DAB; (2)作图依据是　　　　. 图4-4-20 图4-4-21 解:(1)△DEF如图4-4-21所示,在DC上截取DE=DA,延长BD,在BD的延长线上截取DF=DB,连接EF. (2)边角边 　　在解题时一定要注意分析情况,要根据题意综合分析,考虑所有该作出的符合条件的图形,使得所解题的答案完整.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P125练习T1,T2,T3. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P127习题4.4 T1,T2,T3. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本课导入简单,采用复习模式进行为好,它能够为后面的教学提供一定的服务,起到承上启下的作用. ②[讲授效果反思] 本节的重点是作三角形,利用不同的条件去作,要结合实际,考虑全面,综合分析,突出线段、角的作法. ③[师生互动反思] 主要体现学生的活动,在教学中一定要把作图落实到位,要求人人动手,才能促使课堂教学效果的提高. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.