4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 教案 （表格式）2025-2026学年数学湘教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 教案 （表格式）2025-2026学年数学湘教版八年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-27 00:00:00 | ||
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文档简介
4.6 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
课题 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 授课人
教 学 目 标 1.了解线段垂直平分线的性质定理. 2.掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 3.通过对线段垂直平分线性质定理和它的逆定理的探索,进一步了解原命题与逆命题之间的关系. 4.形成运用从特殊到一般的数学思维方法去探究数学问题的习惯. 5.体验解决问题策略的多样性,能够运用线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理去分析和解决实际性问题. 6.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展推理、证明的意识和能力. 7.培养学生辩证的数学思维,特别关注数学逆向思维的培养与训练. 8.经历从实际问题出发,总结归纳,感悟解决实际问题即建立数学模型,培养学生的建模能力、形象思维能力,进一步渗透转化的数学思想和方法.
教学 重点 线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理的应用.
教学 难点 对线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理的探索与证明.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.等腰三角形“三线合一”的性质 如图4-6-9,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.求证:EF⊥BC. 图4-6-9 证明:过点A作AM⊥BC于点M. 又因为AB=AC,所以AM平分∠BAC, 所以∠BAM=∠CAM,所以∠BAC=2∠BAM=2∠CAM. 又因为∠BAC是△AEF的一个外角, 所以∠BAC=∠AEF+∠AFE. 又因为∠AEF=∠AFE,所以∠BAC=2∠AEF, 所以∠CAM=∠AEF,所以EF∥AM. 又因为AM⊥BC,所以EF⊥BC. 2.轴对称的性质 如图4-6-10是小明制作的风筝的示意图,为了平衡制成了轴对称图形.已知OC是对称轴,∠A=35°,∠BCO=30°,那么∠AOB= 130° . 图4-6-10 [解析] 依题意有∠AOB=2(∠A+∠ACO)=2(∠A+∠BCO)=2×(35°+30°)=130°. 从等腰三角形和轴对称两个角度进行复习,为全面展开活动所用到的知识服务.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 通过教材P137“探究”栏目,思考PA与PB的数量关系,通过测量、折叠等方法进行判断. (鼓励学生可以从对称的角度去考虑和证明) 通过实际操作,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 线段垂直平分线的性质定理 如图4-6-11,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 图4-6-11 1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB的中点作AB的垂直平分线l,在l上取点P1,P2,P3,…,连接AP1,AP2,AP3,…,BP1,BP2,BP3,…. 2.作好图后,用直尺测量AP1,AP2,AP3,…,BP1,BP2,BP3,…的长度,讨论发现什么样的规律. 结论:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,…. 【探究2】 线段垂直平分线性质定理的逆定理 如图4-6-12,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢 为什么 图4-6-12 图4-6-13 作线段AB,取其中点P,过点P作直线l,在l上取点P1,P2,连接AP1,AP2,BP1,BP2.会有以下两种可能. (1)如图4-6-13甲,若AP1≠BP1,那么沿直线l将图形折叠后,点A与点B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即直线l与AB不垂直. (2)如图4-6-13乙,若AP1=BP1,那么沿直线l将图形折叠后,点A与点B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即直线l与AB垂直.当AP2=BP2时也一样. 结论:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 从正、逆两个角度,并通过具体事例去分析线段垂直平分线的性质与判定,具有时间性与生活性,在教学中采用数形结合的方法,通过不同的三角形的边长,利用三角形任意两边之和大于第三边的结论,对比出结果.
【应用举例】 例1 如图4-6-14,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC.求证:点O在AC的垂直平分线上. 变式:到一个三角形三个顶点的距离相等的点有(A) 图4-6-14 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [解析] 三角形两条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,即只有1个点. 例2 如图4-6-15,在△ABC中,∠B=25°,∠C=40°,AB的垂直平分线DN交BC于点D,AC的垂直平分线EF交BC于点E,连接AD,AE.求△ADE各内角的度数. 图4-6-15 解:因为AB的垂直平分线DN交BC于点D,AC的垂直平分线EF交BC于点E,所以DB=DA,EC=EA,所以∠B=∠BAD=25°,∠EAC=∠C=40°,所以∠ADE=∠B+∠BAD=2×25°=50°,∠AED=∠C+∠EAC=2×40°=80°,所以∠DAE=180°-50°-80°=50°,所以∠ADE=50°,∠AED=80°,∠DAE=50°. 在应用上,结合线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理,体现知识的综合性与应用性,对线段的垂直平分线的交点在三角形内的问题理解透彻.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3 如图4-6-16,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB+BD=DC.求证:∠B=2∠C. 图4-6-16 图4-6-17 证明:证法一(补短法):延长DB到点E,使BE=AB,则AB+BD=DE,利用线段CE的垂直平分线AD的性质解决,如图4-6-17(1). 证法二(截长法):在DC上截取DE=DB,则DC-BD=DC-DE=EC=AB.利用线段BE的垂直平分线AD的性质解决,如图4-6-17(2). 例4 如图4-6-18,在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BD交CA的延长线于点E. 求证:∠EAB=∠EBC. 图4-6-18 证明:因为EF垂直平分BD,所以DE=BE,所以∠EDB=∠EBD.因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD. 因为∠EAB为△ABD的外角,所以∠EAB=∠EDB+∠ABD. 又因为∠EBC=∠EBD+∠CBD,所以∠EAB=∠EBC. 展现拓展方法,实现一题多解,将线段的垂直平分线与等腰三角形两者充分结合,实现知识的提升与整合.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P139练习T1,T2. 实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P142习题4.6 T1,T2,T3,T4. 根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 情境与实践结合模式的导入,能将学生的积极性调动起来,做到探究、互动与合作相结合,使学生在观察中明确方向,在猜测中得出等量,在实践中得出证明. ②[讲授效果反思] 在教学中,理解确定一条线段的垂直平分线需要某直线上至少有两个点到这条线段两端的距离相等. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
课题 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 授课人
教 学 目 标 1.了解线段垂直平分线的性质定理. 2.掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 3.通过对线段垂直平分线性质定理和它的逆定理的探索,进一步了解原命题与逆命题之间的关系. 4.形成运用从特殊到一般的数学思维方法去探究数学问题的习惯. 5.体验解决问题策略的多样性,能够运用线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理去分析和解决实际性问题. 6.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展推理、证明的意识和能力. 7.培养学生辩证的数学思维,特别关注数学逆向思维的培养与训练. 8.经历从实际问题出发,总结归纳,感悟解决实际问题即建立数学模型,培养学生的建模能力、形象思维能力,进一步渗透转化的数学思想和方法.
教学 重点 线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理的应用.
教学 难点 对线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理的探索与证明.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.等腰三角形“三线合一”的性质 如图4-6-9,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.求证:EF⊥BC. 图4-6-9 证明:过点A作AM⊥BC于点M. 又因为AB=AC,所以AM平分∠BAC, 所以∠BAM=∠CAM,所以∠BAC=2∠BAM=2∠CAM. 又因为∠BAC是△AEF的一个外角, 所以∠BAC=∠AEF+∠AFE. 又因为∠AEF=∠AFE,所以∠BAC=2∠AEF, 所以∠CAM=∠AEF,所以EF∥AM. 又因为AM⊥BC,所以EF⊥BC. 2.轴对称的性质 如图4-6-10是小明制作的风筝的示意图,为了平衡制成了轴对称图形.已知OC是对称轴,∠A=35°,∠BCO=30°,那么∠AOB= 130° . 图4-6-10 [解析] 依题意有∠AOB=2(∠A+∠ACO)=2(∠A+∠BCO)=2×(35°+30°)=130°. 从等腰三角形和轴对称两个角度进行复习,为全面展开活动所用到的知识服务.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 通过教材P137“探究”栏目,思考PA与PB的数量关系,通过测量、折叠等方法进行判断. (鼓励学生可以从对称的角度去考虑和证明) 通过实际操作,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 线段垂直平分线的性质定理 如图4-6-11,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 图4-6-11 1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB的中点作AB的垂直平分线l,在l上取点P1,P2,P3,…,连接AP1,AP2,AP3,…,BP1,BP2,BP3,…. 2.作好图后,用直尺测量AP1,AP2,AP3,…,BP1,BP2,BP3,…的长度,讨论发现什么样的规律. 结论:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,…. 【探究2】 线段垂直平分线性质定理的逆定理 如图4-6-12,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢 为什么 图4-6-12 图4-6-13 作线段AB,取其中点P,过点P作直线l,在l上取点P1,P2,连接AP1,AP2,BP1,BP2.会有以下两种可能. (1)如图4-6-13甲,若AP1≠BP1,那么沿直线l将图形折叠后,点A与点B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即直线l与AB不垂直. (2)如图4-6-13乙,若AP1=BP1,那么沿直线l将图形折叠后,点A与点B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即直线l与AB垂直.当AP2=BP2时也一样. 结论:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 从正、逆两个角度,并通过具体事例去分析线段垂直平分线的性质与判定,具有时间性与生活性,在教学中采用数形结合的方法,通过不同的三角形的边长,利用三角形任意两边之和大于第三边的结论,对比出结果.
【应用举例】 例1 如图4-6-14,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC.求证:点O在AC的垂直平分线上. 变式:到一个三角形三个顶点的距离相等的点有(A) 图4-6-14 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [解析] 三角形两条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,即只有1个点. 例2 如图4-6-15,在△ABC中,∠B=25°,∠C=40°,AB的垂直平分线DN交BC于点D,AC的垂直平分线EF交BC于点E,连接AD,AE.求△ADE各内角的度数. 图4-6-15 解:因为AB的垂直平分线DN交BC于点D,AC的垂直平分线EF交BC于点E,所以DB=DA,EC=EA,所以∠B=∠BAD=25°,∠EAC=∠C=40°,所以∠ADE=∠B+∠BAD=2×25°=50°,∠AED=∠C+∠EAC=2×40°=80°,所以∠DAE=180°-50°-80°=50°,所以∠ADE=50°,∠AED=80°,∠DAE=50°. 在应用上,结合线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理,体现知识的综合性与应用性,对线段的垂直平分线的交点在三角形内的问题理解透彻.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3 如图4-6-16,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB+BD=DC.求证:∠B=2∠C. 图4-6-16 图4-6-17 证明:证法一(补短法):延长DB到点E,使BE=AB,则AB+BD=DE,利用线段CE的垂直平分线AD的性质解决,如图4-6-17(1). 证法二(截长法):在DC上截取DE=DB,则DC-BD=DC-DE=EC=AB.利用线段BE的垂直平分线AD的性质解决,如图4-6-17(2). 例4 如图4-6-18,在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BD交CA的延长线于点E. 求证:∠EAB=∠EBC. 图4-6-18 证明:因为EF垂直平分BD,所以DE=BE,所以∠EDB=∠EBD.因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD. 因为∠EAB为△ABD的外角,所以∠EAB=∠EDB+∠ABD. 又因为∠EBC=∠EBD+∠CBD,所以∠EAB=∠EBC. 展现拓展方法,实现一题多解,将线段的垂直平分线与等腰三角形两者充分结合,实现知识的提升与整合.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P139练习T1,T2. 实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷.
【作业布置】 教材P142习题4.6 T1,T2,T3,T4. 根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
【知识网络】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 情境与实践结合模式的导入,能将学生的积极性调动起来,做到探究、互动与合作相结合,使学生在观察中明确方向,在猜测中得出等量,在实践中得出证明. ②[讲授效果反思] 在教学中,理解确定一条线段的垂直平分线需要某直线上至少有两个点到这条线段两端的距离相等. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
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