2.2.2《双曲线的简单几何性质》教学设计（表格式）

《双曲线的简单几何性质》教学设计
一、教材分析：
本节课主要内容是双曲线的简单几何性质。《双曲线的简单几何性质》是北师大版选择性必修一第二章的内容，是圆锥曲线章节的重要组成部分。双曲线作为第二种圆锥曲线，其研究思路与椭圆类似，但图形特征和代数表达式有显著区别，是培养学生类比、数形结合思想的绝佳载体。双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆简单几何性质的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，为解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础，为整个单元的学道路。
二、学情分析：
学生已经掌握了椭圆的定义﹑标准方程及其几何性质，熟悉了双曲线的定义﹑标准方程，并掌握了研究圆锥曲线几何性质的一般方法，具备了一定的类比探究能力。但双曲线的渐近线的理解是难点。以及“曲线上的点所满足的条件”这一核心概念的理解仍需深化。
核心素养目标：
数学抽象：依据双曲线的方程、图象研究双曲线的简单几何性质。
2. 逻辑推理、数学运算： 利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题。
3. 数学建模： 建立双曲线的几何条件与代数方程之间的联系。
教学目标：
结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
通过类比椭圆性质的探究思路，经历“方程分析→几何特征→归纳性质”的过程，提升数形结合与逻辑推理能力。
通过渐近线“无限接近但不相交”的特性，渗透辩证思维，激发学生对解析几何中“数”与“形”联系的探索兴趣。
五、教学重点、难点
重点：双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线的推导与应用。
难点：双曲线渐近线的几何意义理解，以及离心率与双曲线“开口宽窄”的关系。
六、教学方法和手段
教学方法：类比教学法，数形结合法，问题驱动法，小组合作探究
教学手段：借助多媒体辅助手段，类比探究，创设问题情境，并通过图形引导学生形象直观地体验由数到形的过渡，便于学生观察、认知、探索、发现、归纳。通过类比椭圆性质的探究思路，经历“方程分析→几何特征→归纳性质”的过程，提升数形结合与逻辑推理能力。
教学过程
教 学 设 计
教师活动 学生活动 设计意图
复 习 回 顾 焦点位置 焦点在X轴上 焦点在Y轴上 让学生口答。从而激发探究本课题的兴趣。 通过回顾椭圆的标准方程,简单几何性质和a,b,c,e的几何意义，为后面探究双曲线的几何性质做好铺垫
标准 方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0)
图形
范围 |x|a, |y| b |y|a, |x| b
对称性 双曲线关于x轴、y轴和原点都对称.
顶点 A1 (－a，0).A2(a，0) B1 (0，－b).B2(0，b) A1 (0，－a)A2(0，a) B1 (－b，0).B2(b，0)
离心率
焦点 F1(－c，0)、 F2(c，0) F1(0，－c)、 F2(0，c)
a、b、c的关系 = +
探 究 新 知 探究1：仿照椭圆简单性质的讨论方法； 我们来分步探究焦点在x轴的双曲线－＝1(a＞0，b＞0) ① 的简单几何性质. 范围 问题1：观察双曲线你能从图中看出它的范围吗？你能用代数方法解释它的取值范围吗？ 解析：代数分析：由方程①，变形得 ＝1+，所以双曲线c上的任意一点p（x， y）都满足 ≥1，y R.即x≤-a或x≥a，且y R.因此双曲线c在不等式x≤-a或x≥a 所表示的区域内. 几何意义：双曲线位于直线 x=a和 x=-a外侧，向y轴正负方向无限延伸. 学生观察图像思考、讨论，作答,并尝试用代数方法解释取值范围。 体会数形结合的思想方法，培养严谨的数学思维
探究2：对称性 问题2：观察双曲线C，设点p（x,y）则其关于x轴、y轴和坐标原点的对称点的坐标是什么？ 解析：当点p（x,y）在双曲线上时，点p关于x轴、y轴、坐标原点的对称点分别为也满足双曲线方程。 说明：双曲线关于x轴、y轴、坐标原点对称。 学生通过观察、判断得出结论 让学生参与双曲线性质的推导，加深对双曲线性质的理解，培养学生严谨的数学推理能力。
探究3：顶点 问题3观察双曲线你能发现哪些点比较特殊？ 解析： 双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。 如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫作双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫作双曲线的虚半轴长。 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。 一名学生回答，其他学生补充。 学生体会，双曲线与椭圆的相同点和不同点。培养学生看图，识图的能力。
探究4：离心率 问题4：如何刻画双曲线的双曲线开口程度 解析：我们把 叫作做双曲线的离心率，用e表示。因 c>a>0，故 e>1（与椭圆 0<探究5：渐近线 问题5：双曲线的渐近线是什么？ 复习反比例函数y= 的图像，学生认识到渐近线的存在，并发现双曲线夹在两条渐近线之间。 双曲线C －＝1(a＞0，b＞0)，当双曲线上的点 p（x ，y）在第一象限时，有y=.x , 当x时， <1且无限逼近于1,所以点 p（x ，y）在直线y=.x的下方,且 y无限逼近于.x,即 当x时,点p（x ，y）无限逼近于直线y =x. 由双曲线的对称性可知，双曲线的两支在向外无限延伸 时，与直线和y =－ x无限逼近. 通过几何画板直观感受到双曲线上的点“无限接近于直线和y= － x”.但不相交与直线. 一般的直线和y= － x 成为双曲线的渐近线 学生之间相互讨论，交流猜测两条渐近线方程。 用几何画板动态演示，学生感受到双曲线上的点无限接近于直线和y=－ x但不相交直线，感受极限,逼近思想.
知识 应用 1.若点 是双曲线 上的点，试求该双曲线的实轴长，虚轴长，焦距、焦点坐标、顶点坐标，离心率，渐近线方程． 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是. (2)焦点在y轴上，一条渐近线为，实轴长为12. 学生之间相互讨论，交流思路，趴板展示，学生互评，核对答案 通过此例，使学生巩固双曲线的几何性质。
归纳 总结 双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，渐近线 离心率的概念范围以及对双曲线形状的影响 数学思想方法：数形结合的思想方法 学生归纳整理所学知识 完善学生的认知过程，明确本节所学内容
作业 布置 1.（必做题）教材练习1、2； 2.（选做题） ①教材A组3. ②双曲线 －＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为（ ） (2018年全国二卷) A. B. C. D. 学生结合实际完成课后作业 巩固所学知识，增强学生的求知欲
板书设计
双曲线的简单几何性质
例1 小结
例2 作业
九、教学反思
本节双曲线简单性质的教学，以“学生理解”为核心目标，在知识传递与思维引导上有所收获。通过回顾椭圆的标准方程,简单几何性质和a,b,c,e的几何意义，为探究双曲线的几何性质做好了铺垫。.以“问题链”为核心，类比椭圆性质，让学生参与双曲线性质的推导，经历“方程分析→几何特征→归纳性质”的过程，加深对双曲线性质的理解，进一步体会函数与方程的转化思想，提升数形结合与逻辑推理能力。通过方程变形和几何画板的演示,让学生直观感知离心率可以刻画双曲线的张口大小，进而理解离心率的概念。借助几何画板动态演示，学生感受到双曲线上的点无限接近于直线但不相交直线，渗透辩证思维，激发学生对解析几何中“数”与“形”联系的探索兴趣。感受极限,逼近思想。
具象化突破“渐近线”这一核心难点，我做法如下：
第一（直观感知）：复习反比例函数y= 的图像，学生认识到渐近线的存在，并通过观察发现双曲线夹在两条渐近线之间。
第二 （逻辑猜想）：“若这两条直线是双曲线的‘边界’，你能结合双曲线方程，猜想它们的方程吗？”
第三（严谨验证）：借助几何画板的动态演示，从方程分析，结合代数方法加以推导论证，降低抽象难度。让学生从“看现象”到“猜结论”再到“证规律”，实现“直观感知→逻辑论证”的过渡，多数学生能准确记住并应用渐近线公式，同时培养学生严谨的数学推理能力。
通过本节课的学习，使学生进一步加深利用曲线方程研究曲线的规律和方法，养成勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，培养直观想象，数学建模，逻辑推理，数学运算等核心素养。