第二十一章一元二次方程随堂同步练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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第二十一章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
5．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
6．一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加，因库存积压，所以就按销售价的出售．那么每台实际售价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若小分支、支干和主干的总数目是73，则每个支干长出的小分支的数目为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
8．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
结论二：原方程的两根之和．
A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确
9．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ）
A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．(160+2x)( 100+2x) =160×100×2
C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2(160x+100x)=160×100
10．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高身高 身高身高
算法② （身高） （身高）
算法③ （身高） （身高）
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
（甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同
（乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同
对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
11．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
二、填空题
13．已知 ，是方程的两个实数根，则 ．
14．某厂家2021年1～5月份的口罩产量统计图如图所示，3月份口罩产量不小心被墨汁覆盖，已知2月份到4月份该厂家每个月口罩产量的月增长率都相同，则3月份口罩产量为 万只．
15．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ．
16．关于x的方程2x2+3ax-2a=0有一个根是x=2，则关于y的方程y2+a=7的解是
17．三个连续整数两两相乘，再求和，其结果为242，则这三个整数分别为 ．
三、解答题
18．解方程：3x2﹣6x+1=0(用配方法)
19．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
20．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程：
(1)
(2)
21．如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？
22．若关于x的一元二次方程有一个根是，求k的值及方程的另一根．
23．解方程：
(1)
(2)
24．某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
《第二十一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A C B B A B D
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案．
【详解】
即
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断．
【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意；
选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
选项D，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选A．
4．A
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1-x）2=108．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
5．C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及因式分解法解一元二次方程，熟记三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，还需要注意的是对等腰三角形腰长和底的分类讨论．
【详解】解：，
，
解得：或4，
①当等腰三角形腰长为2，底为4时，
，不能构成三角形；
②当等腰三角形腰长为4，底为2时，
，，能构成三角形．
∴周长为．
故选：C．
6．B
【分析】首先根据题意得到每台电视机的销售价；然后根据等量关系：实际售价=销售价×70%，列出代数式即可.
【详解】可先求销售价(1+25%)a元,再求实际售价70%(1+25%)a元.
故选:B.
【点睛】本题主要考查的是列代数式的知识，解答本题的关键是找出题目中的数量关系.
7．B
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=73，
解得：x=8或x=-9（不合题意，应舍去）；
∴x=8；
即每支支干长出8个小分支．故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
8．A
【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二.
【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得：
，
解得：，
因此，原方程为，
∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确；
根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确；
综上，结论一正确、结论二不正确，
故选A
9．B
【详解】依题意得：桌布面积为：160×100×2，
桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，
则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．
故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，
根据题意得：
整理得： ，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，
根据题意得：，
解得：，
∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同，
∴假设成立，即乙叙述正确；
故选：．
11．B
【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键．
【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是，
，
故选：B．
12．C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，
解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．
【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴，则，
∵x+y＝﹣，
∴，且x＝﹣y﹣
∴，
∴，
∴，化简得：，
则，解得：或（舍去），
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．240
【分析】设2月份到4月份的增长率为x，利用2月份的口罩数量月份的口罩数量，列方程求出x的值，然后求出3月份口罩产量；
【详解】解：设2月份到4月份的增长率为x，根据题意得
，
解得：（舍去），
∴3月份口罩产量为万只，
故答案为：．
【点睛】本题考查折线统计图，一元二次方程的实际应用-百分率问题，解题关键正确理解题意．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值．
【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大，
∴，，
整理得：，且，
解得：．
故答案为：．
16．y1=3，y2=-3
【详解】解：∵关于x的方程2x2+3ax﹣2a=0有一个根是x=2，∴2×22+3×2a﹣2a=0，解得：a=﹣2．
则由y2+a=7，得：y2﹣2=7，∴y2=9，解得：y=±3．故答案为y1=3，y2=-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
17．8，9，10或
【分析】设第一个数为x，则第二个数为x+1，第三个数为x+2，根据三个连续整数两两相乘再相加的和为242，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】设第一个数为，则第二个数为，第三个数为，
根据题意得，
整理，得，
解得，．
当时，，；
当时，，．
故这三个数分别是8、9、10或-10、-9、-8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．x1=1+，x2=1﹣
【详解】试题分析：先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可.
试题解析：3x2－6x＋1=0,
移项，得3x2－6x=－1，
二次项系数化为1，得x2－2x=－，
配方，得x2－2x+12=－+12，即（x－1）2=，
解得，x－1=±，
即x1=1+ ，x2=1－ .
点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.
19．(1)
(2)方程无实数解
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
则，
∴，
∴；
（2）解：，
，
则，
∴此方程无实数解．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
或，
所以，；
（2），
或，
所以，．
21．这个仓库的长和宽分别为14米、10米
【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为（32+2-x），再根据面积为140平方米的仓库可得x×（32+2-x）=140，再解一元二次方程即可．
【详解】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：x×（32+2-x）=140，
解得：x1=20，x2=14，
∵这堵墙的长为18米，
∴x=20不合题意舍去，
∴x=14，
宽为：×（32+2-14）=10（米）．
答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
22．k=0，方程的另一个根是x=2
【分析】将x=1代入方程 得到k的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵x=1是x2﹣3x+k+2＝0的一个根，
∴12-3×1+k+2=0，
解得k=0，
将k=0代入原方程得x2﹣3x+2＝0，
∴
解得x1=1，x2=2，
∴k=0，方程的另一个根是x=2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．
23．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，采用公式法解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程的解法，采用因式分解法中提公因式解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
该方程的解为，；
（2）解：，
，
或，解得或，
该方程的解为，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关解法步骤是解决问题的关键．
24．20%
【分析】设出月增长的百分率为x，利用三月份月销售收入款×（1+月增长的百分率）2=五月份月销售收入款列方程解答即可．
【详解】设月增长的百分率为x，根据题意列方程得，
25×(1+x)2=36，
解得：x1=0.2,x2= 2.2(不合题意,舍去)；
答：该商场这两个月销售收入款平均每月增长的百分率是20%.
【点睛】本题考查了一元二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解.
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