21.1一元二次方程随堂同步练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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21.1一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的有(　　)
①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x(x＋4)－2x2＝0；⑤(x2－1)2＝9；⑥－1＝0.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　）
①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．方程(m-1)x2+mx+l=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )
A．任意实数 B．m≠0 C．m≠l D．m≠-1
5．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ）
A．0 B．2 C． D．或2
6．是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设是方程的一个实根，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
8．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．0或3
9．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为( )
A．8 B．10
C．8或10 D．12
11．若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为( )
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定
12．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
二、填空题
13．将一元二次方程化为一般形式后，若常数项为，则一次项的系数为 ．
14．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ．
15．把方程化成一元二次方程的一般形式是 ．
16．已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+m2﹣4=0的一个根为0，则m= ．
17．已知，则的值是 ．
三、解答题
18．把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项．
（1）； （2）．
19．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
20．把下面的方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）； （2）； （3）； （4）．
21．若关于x的一元二次方程有一个根为，且，求的值．
22．请阅读下面材料：
问题：已知方程x2+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，y=，所以x＝2y
把x＝2y代入已知方程，得(2y)2+2y-3＝0
化简，得4y2+2y-3＝0
故所求方程为4y2+2y-3＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题：
（1）已知方程2x2-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________．
（2）已知方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反数的一半多2．
23．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根．
（1）求a3﹣2a2+2a+1的值；
（2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值．
24．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)．
(2)．
(3)．
《21.1一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C C A B B D B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【详解】分析：
根据“一元二次方程的定义”进行分析判断即可.
详解：
方程①是一元二次方程；
方程②不是一元二次方程，因为题中没有说明；
方程③是一元二次方程；
方程④化简后为：，故原方程不是一元二次方程；
方程⑤可化为，故原方程不是一元二次方程；，
方程⑥不是一元二次方程；
综上所述，6个方程中只有方程①③是一元二次方程，共2个.
故选A.
点睛：熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为”是解答本题的关键.
2．A
【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小题正确；
②ax2+bx+c=0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误；
③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小题错误；
④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小题错误．
故选A．
考点：一元二次方程的定义．
3．C
【分析】把代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．C
【详解】因为一元二次方程的二次项系数不能为0,所以,即,故选C.
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果．
根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果．
【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0．
一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即．
解这个方程：，即
∴
又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得．
因此，．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴；
故选A．
7．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个实根，
∴，
∴，，
∴
，
故选：B．
8．B
【分析】将代入一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
解方程得，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．．
9．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、方程整理为，则此项是关于的一元一次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，则此项不是关于的一元二次方程，不符合题意；
C、只有当时，是关于的一元二次方程，则此项不一定是关于的一元二次方程，不符合题意；
D、因为，所以方程一定是关于的一元二次方程，符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】先求出一元二次方程的两个根，根据三角形三边关系可得腰长和底边长，然后计算三角形的周长即可解答.
【详解】解：∵，∴.
由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2，
所以该等腰三角形的周长是.
故选B.
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，熟练掌握是解题的关键.
11．C
【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．
【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，
则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）
=a2x12+2ax1+1-2+ac
=a（ax12+2x1）+ac-1
=-ac+ac-1
=-1，
∵-1＜0，
∴M-N＜0，
∴M＜N．
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
12．C
【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将代入方程得，
∴x≠0，
∴原方程可化为，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”进行求解即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为，
所以一次项系数为．
故答案为．
14．
【分析】把代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．
【详解】解：把代入方程，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.
15．
【分析】移项，去括号，合并同类项即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．
16．-2
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．
【详解】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0，
解得：m=2或m=-2，
又∵m-2≠0，即m≠2，
∴m= -2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
17．1或2
【分析】先将方程分解因式，求解方程，用x表示y，然后分情况讨论x与y的关系，最后化简求值．
【详解】
解：∵，
∴，
则或，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，的值是1或2；
故答案为：1或2．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程的应用，解题的关键是将方程分解因式，并用其中一个未知数表示另一个未知数，然后化简求解．
18．答案见解析
【分析】（1）首先移项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可；
（2）首先去括号，移项、合并同类项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可．
【详解】（1），，二次项是，一次项是－5x，常数项是﹣3；
（2），，，，二次项是，一次项是x，常数项是﹣5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．
19．见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可．
【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
9 4 1
2
20．（1）一般形式：，二次项系数：5，一次项系数：，常数项：0；（2）一般形式：，二次项系数：3，一次项系数：0，常数项：；（3）一般形式：，二次项系数：1，一次项系数：，常数项：；（4）一般形式：，二次项系数：2，一次项系数：2，常数项：4．或一般形式为，二次项系数：1，一次项系数：1，常数项：2．
【分析】各一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此求解即可．
【详解】解：（1）一般形式：，二次项系数：5，一次项系数：，常数项：0；
（2）一般形式：，二次项系数：3，一次项系数：0，常数项：；
（3）一般形式：，二次项系数：1，一次项系数：，常数项：；
（4）一般形式：，二次项系数：2，一次项系数：2，常数项：4．
或一般形式为，二次项系数：1，一次项系数：1，常数项：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉相关性质是解题的关键．
21．0．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c的值，再把代入已知方程求得b的值，最后代入，计算求出结果即可．
【详解】中，
∵且，
解得：，
∴，
∵关于的一元二次方有一个根为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，求出a、c、b的值是解此题的关键．
22．（1）2y2+y-15＝0；（2）．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=4-2y（y≠0），代入方程ax2+bx+c=0整理即可得．
【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，
所以x=-y，
把x=-y代入2x2-x-15＝0，
整理得，2y2+y-15＝0，
故答案为：2y2+y-15＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），
所以，x=4-2y（y≠0），
把x=4-2y代入方程ax2+bx+c=0，
整理得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
23．（1）6±2；（2）0
【分析】已知a是方程x2-3x+1=0的根，解方程就可以求出a的值，然后代入所求代数式就可求值．可先对所求代数式进行化简，然后再代入计算．
【详解】解：∵已知a是方程x2-3x+1=0的根，
∴a2-3a+1=0即a2-2a=a-1，
∴a=
（1）a3-2a2+2a+1=a（a2-2a）+2a+1=a（a-1）+2a+1=a2+a+1=a2-2a+3a+1=a-1+3a+1=4a=6±2；
（2）a3-2a2-2a+1=a（a2-2a）-2a+1=a（a-1）-2a+1=a2-2a-a+1=a-1-a+1=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题的关键是正确对式子进行变形．
24．(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5
(2)，二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为
(3)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为
【分析】（1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可；
（2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可；
（3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】（1）解：方程整理得：，
则二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5；
（2）方程整理得：，
则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为；
（3）方程整理得：，
则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
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