21.3实际问题与一元二次方程随堂同步练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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21.3实际问题与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．为精准扶贫，我区扶贫办帮助贫困户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示；已知矩形荒地AD＝52米，AB＝30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为（　　）米
A．1 B．2 C．40 D．1或40
3．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，则正方形绿地的边长为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
6．如图，用的铁丝网围成一个面积为的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），若设平行于围墙的一边长为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高身高 身高身高
算法② （身高） （身高）
算法③ （身高） （身高）
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
（甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同
（乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同
对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）

A． B．
C． D．
9．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（ ）．
A．600 B．604 C．595 D．605
10．某小区规划在一个长为，宽为的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为（如图），则甬路的宽为（ ）
A． B． C． D．
11．独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )
A．2620(1﹣x)2＝3850 B．2620(1+x)＝3850
C．2620(1+2x)＝3850 D．2620(1+x)2＝3850
12．清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形的面积为，的面积为，若，，则的值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
13．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
14．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是 ．
15．广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得 ．
16．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ．
17．近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 ．
三、解答题
18．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；
(2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
19．每年淘宝网都会举办“双十一”购物狂欢节，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品的成本为36元，网上标价为110元．“双十一”活动当天，为了吸引买主，连续两次降价销售A商品，问平均每次降价率为多少时，才能使这件A商品的利润率为10%？
20．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
21．现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．
22．要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成．如果篱笆的总长为40m，设养鸡场垂直于墙的一边长为xm，求养鸡场的长和宽．
23．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
(1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
24．受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某科技创新企业今年第一季度的利润为2500万元，第三季度的利润为3600万元
(1)求该科技创新企业第一季度到第三季度平均每季度的利润增长率；
(2)若保持利润的增长率不变，求该科技创新企业今年第四季度的利润．
《21.3实际问题与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A A B D D D C
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．
设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，则根据题意即可直接列出方程．
【详解】解：设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
则根据题意可列方程为：，
故选：．
2．A
【分析】设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】解：设通道的宽为x米，
根据题意得：（52﹣2x）（30﹣2x）＝1400，
解得：x＝40（舍去）或x＝1，
通道的宽为1米；
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程．
3．D
【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．
【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形绿地的边长为，则舞台中间空白部分为长，宽的宽，根据舞台中间空白部分的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设正方形绿地的边长为，则舞台中间空白部分为长，宽的宽，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：正方形绿地的边长为．
5．A
【分析】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为（，），根据题意得： ，
∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论：
①当时，则，
则，解得：，（舍去）；
②当时，，
则，即，此时，此方程无解；
③当时，，
则，即，解得：（舍去），；
故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）．
【点睛】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．
设平行于围墙的一边长为，则垂直于围墙的一边长为，根据矩形的面积即可列出方程．
【详解】设平行于围墙的一边长为，则垂直于围墙的一边长为．根据题意，得
，
即．
故选：B
7．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，
根据题意得：
整理得： ，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，
根据题意得：，
解得：，
∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同，
∴假设成立，即乙叙述正确；
故选：．
8．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽米，
则．
．
故选：D．
9．D
【详解】设1996年和1997年植树的年增长率是x,由题意得，
500+500（1+x）+500（1+x）2=1997-342.
100x2+300x-31=0，
解得x1=0.1,x2=-3.1(舍)，
500（1+0.1）2=605棵.
所以1997年种了605棵.选D.
点睛：平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；
增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10．C
【分析】设小路的宽为xm，那么小路所占面积为（40x+2×26x-2x2），于是六块草坪的面积为[40×26-（40x+2×26x-2x2）]，根据面积之间的关系可列方程40×26-（40x+2×26x-2x2）=144×6，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．
【详解】解：设甬路的宽为．
根据题意得，
整理得，
解得，
当时不符合题意，故舍去，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用以及矩形面积计算公式，难度一般．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
11．D
【详解】试题解析：如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，
那么根据题意得2016年人均纯收入为：，
列出方程为：
故选：D.
12．A
【分析】根据全等三角形的性质得到，，，，推出，，三点共线，分别表示出五边形的面积，的面积,然后利用，列出方程即可求得结论 ．
【详解】解：四个直角三角形全等，
，，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，，三点共线，
五边形的面积为，
，
，
，
，
的面积为
，
，
，
，（不合题意，舍去），
故的值为5．
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13．1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】解：设通道的宽为米，
根据题意得：，
解得：（不合题意舍去）或，
通道的宽为1米，
故答案为：1．
14．81
【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为，这个两位数表示为，十位上的数字与个位上的数字和的平方表示为，依题意列方程求解．
【详解】解：设个位上的数为x，则十位上的数为，
依题意，得，
整理得：，
解得：（舍去），
所以，．
故这个两位数是81．
故答案为：81．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数．
根据增长率为x，2023年荔枝树平均每株产量，写出2024年荔枝树平均每株产量表达式，2025年荔枝树平均每株产量表达式，由2025年平均每株产量达到25千克，列出方程即可．
【详解】解：2023年荔枝树平均每株产量为16千克，每年的增长率基本相同．
设年平均增长率为x，
则2024年平均每株产量．
2025年平均每株产量．
∵2025年平均每株产量达到25千克，
∴列方程．
故答案为：．
16．10或11
【详解】试题解析：
（x-3）（x-4）=0，
x-3=0或x-4=0，
所以x1=3，x2=4，
当3为腰时，底边为4，三角形的周长=3+3+4=10；
当腰为4，底边为3时，三角形的周长=4+4+3=11．
17．12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人，
故答案为：12．
18．(1)平均每次降价盈利减少的百分率为
(2)每件应降价60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解；
（2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解．
【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价盈利减少的百分率为．
（2）设每件应降价元，则每天可售出件，
依题意，得，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
答：每件应降价60元．
19．平均每次降价率为40%时，才能使这件A商品的利润率为10%
【分析】设平均每次降价率为x，根据题意列出关于x的一元二方程，然后求解即可.
【详解】设平均每次降价率为x， 由题意得：
110（1-x）2=36×（1+10%）
解得：x1=0.4， x2=1.6（不合题意，舍去）
答 ：平均每次降价率为40%时，才能使这件A商品的利润率为10%．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题，解此题的关键在于根据题意准确列出方程.
20．存在五个连续正整数，它们分别为：
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，
∴可得：，
解得：或，
∵这五个数为正整数，
∴，
∴，，，，
∴这五个正整数为：，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程．
21．设计方案见解析.
【详解】试题分析：由游泳池与周围部分面积之比为3：2可得等量关系为：游泳池的面积=场地面积的，把相关数值代入计算即可．
试题解析：设计方案：即求出满足条件的便道及休息区的宽度．
若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为(40 2x)(30 2x)平方米，依题意可得方程：(40 2x)(30 2x)= ×40×30.
解得x1≈3.9，x2≈31.1(不合题意,舍去).
所以便道及休息区宽约为3.9米．
点睛：本题考查了计算作图和一元二次方程的实际应用.根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解.根据面积的等量关系求得便道的宽是解决问题的关键.
22．当5≤a＜30时，问题有一解，即宽为10m，长为15m；当a≥30时，问题有两解，可建宽为10m，长为15m或宽为5m，长为30m的鸡场．
【详解】试题分析：设鸡场的宽为xm，则长可用含x的代数式表示，从而这个鸡场的面积可用含x的代数式表示，列方程求解，然后对a进行讨论确定答案．
试题解析：设养鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（40-2x）m，由题意得．
x（40-2x）=150，
整理，得x2-20x+75=0，
解方程，得x1=15，x2=5．
当x=15时，40-2x=10；
当x=5时，40-2x=30．
答：当a＜5时，问题无解；
当5≤a＜30时，问题有一解，即宽为10m，长为15m；
当a≥30时，问题有两解，可建宽为10m，长为15m或宽为5m，长为30m的鸡场．
考点：一元二次方程的应用．
23．(1)
(2)元
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（舍）．
答：年平均增长率为．
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
，
整理得：，
解得：，．
∵售价不超过20元，
∴．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
24．(1)20%
(2)4320万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
（1）设科技创新企业第一季度到第三季度利润的季度平均增长率为x，根据第一季度的利润为2500万元，到第三季度，利润达到3600万元，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据利润平均增长率为，进一步计算即可．
【详解】（1）解：设该企业平均每季度利润的增长率为，
根据题意可得：
解得：（不合题意，舍去）
答：该企业平均每季度利润的增长率为；
（2）解：（万元）
答：企业今年第四季度的利润为4320万元．
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