22.1二次函数的图像和性质随堂同步练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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22.1二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．，， B．，， C．，4， D．，，1
2．函数与在同一平面直角坐标系内图象大致是　　
A． B．
C． D．
3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的对称轴为直线．若是方程的两个根，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值
6．若函数是二次函数，那么的值是（ ）
A．2 B．-2或2 C．-2 D．0或2
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么关于它的图象，下列判断正确的是(　　)
A．开口向上
B．与x轴的另一个交点是(3，0)
C．与y轴交于负半轴
D．在直线x＝1的左侧部分是下降的
8．把抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为(▲)
A．－3 B．1 C．5 D．8
10．若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+ ，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
11．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．抛物线的顶点坐标为 ．
14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是 ，最大值是 ．
15．小颖画了一个边长为5cm的正方形，如果将正方形的边长增加xcm，那么面积的增加值y（cm2）与边长的增加值x（cm）之间的关系式为 ．
16．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①；②；③；④；其中错误的结论的序号是 ．

17．函数是关于x的二次函数，则m=
三、解答题
18．分别写出符合下列条件的二次函数表达式：
（1）两个函数的图象都不经过第三 四象限；
（2）两个函数的图象只有顶点坐标不同．
19．已知点在函数(、为常数)的图像上，且当时，.
(1)求、的值；
(2)如果点与也在该函数图像上，求、的值.
20．根据二次函数，的图象，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值、增减性．
21．如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD．若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围为
22．在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图像；
23．已知抛物线经过点（1，-2）．
（1）求的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
24．已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.
《22.1二次函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B D A B B D C
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，
先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可.
【详解】解：∵二次函数，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为.
故选：B.
2．B
【分析】根据一次函数和二次函数的性质分别判断即可得．
【详解】解：当时，的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，
函数的图象是一条过和的直线，在第二、三、四象限，
符合条件的是B选项，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和二次函数图象与其系数间的关系．
3．B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．
故选：B．
4．B
【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，x1＜x2，1＜x2＜2，
∴-10＜x1＜-9，故选项B正确；
x1x2＜0，故选项A错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，
∴，
∴b=8a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象经过和两点，
∴对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，有最大值，
∴二次函数有最大值．
故选：D．
6．A
【分析】根据二次函数的定义得出且，继而即可求解．
【详解】∵函数是二次函数，
∴且，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：且．
7．B
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，结合解析式和二次函数的性质解答．
【详解】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4．
将（﹣1，0）代入，得
a（﹣1﹣1）2+4=0，
解得a=﹣2．
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故本选项错误；
B、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；
C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；
D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；
故选B．
8．B
【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2的图象向右平移3个单位后的顶点坐标为（3，0），
∴所得抛物线的解析式为y=（x-3）2，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．
9．D
【详解】当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选D．
10．C
【分析】由二次函数 y=﹣x2+4x+c可知，此函数的对称轴为x=2，二次项系数-1＜0，故此函数的图象开口向下，有最小值；函数图象上的点与对称轴的距离越近，则函数值越大，因而比较A、B、C三点与对称轴的距离的大小即可．
【详解】二次函数 y=﹣x2+4x+c的对称轴为x=2，开口向下，有最小值，
∵A到对称轴x=2的距离是1；B到对称轴x=2的距离是3；C到对称轴x=2的距离是．
∵1＜＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．
11．C
【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴令，则，
解得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
12．C
【分析】根据题意，由对称轴为直线，开口向下，则，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，可判断①；当时，可判断②；由，可判断③；由，代入计算，即可判断④；然后得到答案.
【详解】解：根据题意，
∵二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，
∴，抛物线与x轴的另一个交点为，，
由图可知，当时，函数图像在x轴上方，则，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴当时，，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，则，
∴，故④正确；
∴正确的选项有①③④，共3个；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
13．
【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关键．
根据二次函数的性质求顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为： ．
14． 1 9
【分析】根据顶点式表示的二次函数，结合考虑-2≤x≤1，即可求解此题．
【详解】解：将标准式化为两点式为y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1
∵开口向上，
∴当x＝1时，有最大值：ymax＝9，
当x＝﹣1时，ymin＝1．
故答案为1，9．
【点睛】考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
15．y=x2+10x．
【分析】增加的面积=新正方形的面积-边长为的正方形的面积.
【详解】由题意得：
.
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了函数关系式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长.
16．②
【分析】①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解．
【详解】①点在二次函数图象上，
∴，结论①正确；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，
∴，结论②错误；
③
∴，
∴，结论③正确；
④二次函数的图象经过点和，
∴，
∴，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
17．2
【分析】根据二次函数的定义可得，求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0．
18．（1）答案不唯一，如和；（2）答案不唯一，如y=x2，y=x2+1．
【分析】（1）确定函数开口向上，且与x轴最多有一个交点即可；
（2）确定两个函数的二次项系数a相同．
【详解】解：（1）∵函数的图象不经过第三、四象限，
∴抛物线开口向上，且与x轴最多有一个交点，
∴y=x2，y=x2+2．
（2）∵两个函数的图象只有顶点坐标不同，
∴二次项系数a相同，
∴y=x2，y=x2+1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，确定符合条件的函数表达式是解题的关键．
19．(1)，；(2)；.
【分析】（1）将点（2，7）、（，5）代入抛物线的解析式中，即可求得a、b的值；
（2）可将已知两点的坐标代入（1）求得的解析式中，即可得到m、n的值．
【详解】(1)依题意，得
解得，.
(2)由(1)，知抛物线的解析式为；
将代入抛物线的解析式中，得，解得.
同理可求得.
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征.
20．见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，函数有最大值；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
二次函数的图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，函数有最小值0；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．
21．
【详解】分析：（1）根据抛物线经过A点时，可得抛物线中a的值最大，抛物线经过C点时，可得抛物线中a的值最小；（2）根据抛物线与正方形没有公共点，可得抛物线中a值大于抛物线经过A点时a的值，抛物线中a值小于抛物线经过点C时a的值．
本题解析：
由题意，得点A(1，2)，C(2，1)．
把x＝1，y＝2代入y＝ax2，得a＝2；
把x＝2，y＝1代入y＝ax2，得a＝ ，
∴a的取值范围是≤a≤2.
22．见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解本题的关键．用列表，描点，连线的方法，即可作出图象．
【详解】解：列表如下：
x 0 1 2 3 4
3 0 0 3
描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，则的图象如图所示．
23．（1）a=-1；（2）y1＜y2．
【详解】试题分析：(1)、将点(1，－2)，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先得出二次函数的对称轴，然后根据函数的性质求出大小.
试题解析：(1)、∵抛物线经过点（1，-2）， ∴，解得a=-1；
(2)、∵函数的对称轴为x=3，
∴ A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．
考点：二次函数的性质
24．（1）证明见解析；（2）.
【详解】分析：（1）联立两解析式，根据判别式即可求证；
（2）画出图象，求出A、B的坐标，再求出直线y=-2x+1与x轴的交点C，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．
详解：（1）联立
化简可得：x2-（4+k）x-1=0，
∴△=（4+k）2+4＞0，
故直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）当k=-2时，
∴y=-2x+1
过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，
∴联立
解得：或
∴A（1-，2-1），B（1+，-1-2）
∴AF=2-1，BE=1+2
易求得：直线y=-2x+1与x轴的交点C为（，0）
∴OC=
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=OC AF+OC BE
=OC（AF+BE）
=×（2-1+1+2）
=.
点睛：本题考查二次函数的综合问题，涉及解一元二次方程组，根的判别式，三角形的面积公式等知识，综合程度较高．
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