22.2二次函数与一元二次方程随堂同步练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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22.2二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线与轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
3．点均在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知点，，且，在抛物线：上，则抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线重合，现有一直线与抛物线相交，当时，利用图象写出此时x的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，当函数值y＜0时，x的取值范围为 （ ）
A．x＜—1或x＞3 B．—1＜x＜3 C．x≤—1或x≥3 D．—1≤x≤3
11．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．小兰画了一个函数的图象如图，则关于x的方程的解是 ．

14．若抛物线与x轴只有一个公共点，则 ．
15．二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
16．已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是 ．
17．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是 ．

三、解答题
18．如图，抛物线y＝ax2-5x＋4a与x轴相交于点A，B， 且过点C（5,4）．

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．
19．已知二次函数．
求函数图象的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图象与轴的交点坐标．
20．如图，二次函数的图象与轴交于点，，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点，，的坐标；
(2)根据图象，请直接写出：当时，的取值范围．
21．设二次函数 （m、n是常数，）.
（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象经过点，求该二次函数图象与x轴的交点坐标.
22．画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．
甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；
乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
23．已知二次函数的表达式为．
(1)将其化成的形式；
(2)求图象与两坐标轴交点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中画出图象；
(4)观察图象，当_________时，随的增大而减小；
(5)观察图象，当时，直接写出的取值范围：_________．
24．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；
（4）若方程没有实数根，求取值范围．
《22.2二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B D C C D B B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】令代入求得y，即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】当时，，所以抛物线与y轴的交点坐标为：．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，令，求得y是解题的关键．
2．A
【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可．
【详解】由解得，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
3．B
【分析】本题主要考查了求二次函数的值，
分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，．
∴
故选：B．
4．B
【分析】方程有两个相等实数根，即与只有一个交点，即经过顶点，代入即可求解．
【详解】解：∵方程有两个相等实数根，
∴与只有一个交点，
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．
5．D
【分析】根据点，的纵坐标相等，求得抛物线的对称轴，列式得，求得，再根据根的判别式即可求解．
【详解】解：∵点，的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为，
∴，即，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∴抛物线与坐标轴的交点个数为3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
6．C
【分析】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点；设，在抛物线上，在直线上，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，根据一次函数的性质可得，据此即可求得答案．
【详解】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点．
设，在抛物线上，在直线上．
根据题意，得
．
移项，得
．
可得
．
根据题意，得
．
可得
．
则
．
可得
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数，牢记二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
7．C
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用抛物线的变换规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程组得或，然后利用函数图象写出一次函数图象在抛物线上方（含交点）所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：，则它的顶点坐标为，
∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为，即，
解方程组得：
或，

由图象可得，当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数（a、b、c是常数，）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与几何变换．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题．
【详解】解：，
二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值，
，且，，离对称轴越远，函数值越大，
当时，二次函数的最大值为，
在时，关于x的方程有解，
即可以看在与在时有交点，
，
故选：D．
9．B
【分析】先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x1+x2＝4，x1 x2＝3，即可解答
【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，
得到m＝3，
所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，
设A(x1，y1)，b(x2，y2)
∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝3，
∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝2；
故选B．
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.
10．B
【分析】根据题意，y＜0时即图象在x轴下方时，观察图象可得答案．
【详解】根据题意，要求当y＜0时即图象在x轴下方时自变量x的取值范围，
观察图象易得，当-1＜x＜3时，二次函数的图象在x轴下方，
故选B．
11．C
【分析】根据二次函数的图像得，；根据抛物线与x轴有两个交点得，即；根据当时，得，又因为则；根据抛物线对称轴是直线得，根据当时，，即可得，则，可得；综上，即可得．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即；
∵当时，，
∴，
∵，
∴；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
则，
；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图像与性质．
12．C
【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④．
【详解】解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键．
13．或/，
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用二次函数的图象与x轴的交点坐标即可求解，熟练掌握用二次函数的图象解一元二次方程．
【详解】解：由图得：
函数的图象与x轴的交点坐标为：，，
关于x的方程的解为：或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，结合抛物线与x轴只有一个交点，得出，解出，即可作答．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴令，则，
∴，
解得．
故答案为：．
15．或
【分析】观察图象，x轴上方的图象所对应的x轴上的部分即是的解集．
【详解】二次函数的图象在x轴上方的部分所对应的x轴上的部分为，点-3以左的部分和点1以右的部分，所以的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】考查二涵数的图象和性质，其关键是领会x轴上方的图象其y值大于0，x轴下方的图象其y小于0．
16．
【分析】设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系解答即可．
【详解】解：由于抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，
故设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），
则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=－m， x1·x2=m－2，
由题意，得：即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解得的关键．
17．x＜－1或x＞5
【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞5，
故答案为：x＜－1或x＞5．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
18．（1），P；（2）方法见解析，
【分析】（1） 把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a即可求得的值，利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）根据原点坐标(0，0)以及平移规律确定出抛物线解析式即可．
【详解】（1） 把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a得：a=1，
所以y=x2-5x＋4，
所以点P的坐标为：；
（2）将抛物线y=x2-5x＋4向下平移４个单位，得：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；
（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．
试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，
对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）
（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，
∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．
20．(1)，，
(2)
【分析】（1）令，得到一个一元二次方程，解方程后，随即可得到A、B的坐标；令，则有，即可得到C点坐标，问题得解；
（2）运用数形结合思想，可知时自变量取值范围为：二次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围，据此即可作答．
【详解】（1）令，则有，
解得：，，
根据点在点的左侧，可得：，，
令，则有，
则C点坐标为：
（2）可知时自变量取值范围为：二次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围，
∵，，
∴的解集为：．
【点睛】本题主要考查了求解二次函数与坐标交点的问题，根据图象求解自变量取值范围的知识，注重数形结合的思想是解答本题的关键．
21．（1）二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由见解析；（2）二次函数图象与x轴的交点坐标为，
【分析】（1）首先求出△＝b2 4ac的值，进而得出答案；
（2）利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】（1）二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：
∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个；
（2）把点，代入中，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为.
当时，，
解得，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为，.
【点睛】错因分析：第（1）问，没搞懂二次函数与x轴交点的个数就是由二次函数解析式所组成的一元二次方程的根的个数；第（2）问，二次函数解析式的确定的方法和一元二次方程的解法掌握不熟练
22．见解析
【分析】利用函数图象求一元二次方程的解的方法，从画图角度比较两种方法即可．
【详解】解：甲、乙两同学的解法都可行，但是乙的方法更简单，因为画抛物线远比画直线困难，
所以只要事先画好抛物线y=x2的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
【点睛】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合画图方法分析是解题关键．
23．(1)；
(2)图象与两坐标轴交点的坐标为；
(3)图象见解析；
(4)；
(5)．
【分析】（1）利用配方法化顶点式即可得解；
（2）求与x轴的交点，把 代入函数解析即可求出与x轴的交点，把代入函数解析式即可求出与y轴的交点；
（3）先列出表表格，再画出函数图象即可；
（4）观察图象，即可求解；
（5）观察图象，即可求解．
【详解】（1）解： ；
∴将化为顶点式为；
（2）解：对于，令 ，则，
∴ ，
∴方程没有实数解，
∴二次函数的图象与x轴没有交点；
令 ，则 ，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∴图象与两坐标轴交点的坐标为；
（3）解：列表得，
0 1
3 1 3
描点并连线得，
（4）解：由图象可知，当 时， y随x的增大而减小，
故答案为∶；
（5）解：观察图象，当 时，直接写出y的取值范围，
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
24．（1）x1=1,x2=3；（2）x<1或x>3；（3）x＜2；（4）k>2；
【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时x的取值范围即可；
（3）结合图形可写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围；
（4）根据图象可以看出k取值范围．
【详解】(1)由图象可得：x1=1,x2=3；
(2)结合图象可得：x<1或x>3时，y<0，
即当x<1或x>3时,ax2+bx+c<0；
(3)根据图象可得当x＜2时，y随x的增大而增大；
(4)根据图象可得,k>2时,方程ax2+bx+c=k没有实数根.
【点睛】此题考查二次函数与不等式（组），解题关键在于结合函数图象进行解答.
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