27.2相似三角形随堂同步练习（含解析）人教版数学九年级下册

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27.2相似三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的重心，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．且
2．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在 ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则 ABCD的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
4．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
5．在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组．
①； ②； ③；④．
A． B． C． D．
7．如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
9．如图是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C．此时，她与左边较低的树的水平距离（ ）

A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m
11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，，，于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为　　
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB=5，OA=2，点C是y轴上一动点，连接，将绕点A顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为．在同一时刻，高为的建筑物的影长为 m．
14．如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．
15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
16．如图一组平行线，每相邻两条平行线间的距离都相等，的三个顶点都在平行线上，则图中一定等于的线段是 ．

17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC．已知AE=6，，则EC的长等于 ．
三、解答题
18．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得米，米，米，试求河的宽度．
19．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离三点共线，则旗杆的高度为多少？
20．已知和相似，并且点A与、点B与点、点C与点是对应顶点，其中AB、BC、CA的长分别为6厘米、8厘米、10厘米，的长为4厘米，求、的长．
21．如图，在△ABC和△BED中，．
(1)若△ABC与△BED的周长差为10cm，求△ABC的周长；
(2)若△ABC与△BED的面积之和为170，求△BED的面积．
22．如图，，，，，．
(1)问：与相似吗？说明理由；
(2)在图中标出点关于轴的对称点，连接、，判断的形状，并说明理由；
(3)求的度数．
23．如图，梯形中，，且，、分别是、的中点，与相交于点.
（1）求证：；
（2）若，求.
24．如图，在中，点、分别在边、上，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
《27.2相似三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D C A B A A
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点．
【详解】解：∵三角形的重心是三角形三条中线的交点
∴是的中线
故有：
故选：B
【点睛】本题考查重心的性质．熟记重心的定义即可．
2．D
【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.
【详解】
（1）如图1，作PE平行于BC，则△APE△ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则△BPE△BAC,（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE△ACB,（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角，△PEB△ACB
所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D．
【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.
3．D
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB∥BC，DE=DC=AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴=，=（）2，即，
∴S△BOA=8，S△AOD=4，
∴S△BAD=12，
∴ ABCD的面积=24，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
5．D
【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定方法，由相似三角形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、，，
，故选项A不符合题意；
B、，，
，故选项B不符合题意；
、∵， ，
，故选项C不符合题意；
D、与，与不是对应边，无法判断，故符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可．
【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．
7．A
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的性质和判定．
先根据折叠的性质得，，，，证明，列出成比例的线段，所以．
【详解】解：，
．
根据折叠前后的图形全等得到，
，，，
，，
，
，
，
∴，
，
（负值舍去）.
故选：A.
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，延长交轴于点，则轴．连接．证明，得出，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出的最大与最小值，进而求出的取值范围．
【详解】解：如图，延长交轴于点，则轴．连接．
在与中，
，
，
，
设，则，设，
，
，
，，
时，有最大值，此时，
时，有最小值，此时，
的取值范围是．
故选：B．
9．A
【分析】本题考査三角形中位线定理和全等三角形的性质，由中点构造全等三角形，从而将求解同一直线上的两条线段的比值问题转化为不共线的两条线段的比值问题．
过E作与交于点M，证明得到，再利用是的中位线和，得到，则比值可求．
【详解】解：过E作与交于点M，
∴，
∵F是的中点，
∴,
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
10．A
【分析】连接并延长交于点N，过N作于点M，设，证明，由相似三角形的性质即可求得x的值，从而确定答案．
【详解】解：如图，连接并延长交于点N，过N作于点M，
∵，均垂直于直线，
∴，
∴，；
由题意知，四边形是矩形，则；
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
当王红刚好看到右边较高的树的顶端C时，她与左边较低的树的水平距离为，当她看不到较高的树的顶端C时，则她与左边较低的树的水平距离应小于；
故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，灵活利用相似三角形的性质是解题的关键．
11．B
【详解】试题解析：在菱形中，，，所以，，在中，，
因为，所以，则，在中，由勾股定理得，，由可得，，即，所以．故选B.
12．A
【分析】构造等边三角形OAE，过点E作AE⊥EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,证明△AOC≌△AED，得到AC=AD，且∠CAD=60°，从而得到点D在直线EF上，过点B作BD⊥EF，此时BD最小．
【详解】构造等边三角形OAE，过点E作AE⊥EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,
∵等边三角形OAE，
∴AO=AE，∠OAE=∠AOE=60°，
∵ED=OC, ∠AED=∠AOC=90°，
∴△AOC≌△AED，
∴AC=AD，且∠CAD=60°，
∴点D在直线EF上，过点B作BD⊥EF，此时BD最小，
∵OB=5，OA=2，
∴AE∥BD，∠OEF=∠OFE=30°，
∴OF=OE=OA=AE=2，AB=3，
∴FA=4，FB=7，，
∴，
解得BD=，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形相似的判定，垂线段最短原理是解题的关键．
13．24
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻，同一地点，物体的高度与影长成正比列式求解即可．
【详解】解：设高为的建筑物的影长为，
根据题意，得，
解得，
即高为的建筑物的影长为，
故答案为：24．
14．
【分析】根据题意，画出示意图，可得，进而可得，代入数据可得答案．
【详解】解：如图，根据题意得：，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
即，
解得： ，
答：树的高度为米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．5m/米
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得，
故答案为：．
16．DE
【分析】根据平行线等分线段定理得到AD=DF=FH=HB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵DE∥FG∥HI∥BC，且每相邻两条平行线间的距离都相等，
∴AD=DF=FH=HB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
故答案为DE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
17．8
【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 解得：EC=8．
18．40米
【分析】证得△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即，
∴米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
19．旗杆的高度为．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用，即可求得，最后根据即可解题．
【详解】解：设与交于点G，
由题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴．
答：旗杆的高度为．
20．
【分析】因为和相似，所以相似比等于=,根据相似比以及BC和CA的长度，分别算出、的长，即可解决．
【详解】解：∵和相似
∴相似比为：=
∴==,==
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练相似比的运用以及准确的计算是解决本题的关键．
21．(1)25cm
(2)
【分析】（1）先证，利用相似三角形周长比等于相似比得，设△ABC的周长为5kcm，△BED的周长为3kcm．再根据两三我周长差为10cm，列方程求解得出k值，即可求解；
（2）根据，得，设，，再根据两三角形面积之和为170，列方程求解得出p值，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
设△ABC的周长为5kcm，△BED的周长为3kcm．
∴，解得，
∴△ABC的周长为．
（2）解：由（1）知：，
∴，
设，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
22．(1)相似
(2)的是等腰直角三角形
(3)45°
【分析】此题主要考查学生对相似三角形的判定及关于x轴、y轴、原点对称点的坐标等知识点的理解及运用．
（1）根据坐标可求得、、、、、的长，从而求得对应边成比例且比例相等，所以，
（2）根据已知画出图形，求出、、的长且，三边符合勾股定理，所以的是等腰直角三角形；
（3）因为，而△是等腰直角三角形，所以．
【详解】（1）解：相似．理由如下：
由已知得：，，，，，，
∴，，，
∴．
∴．
（2）如图所示，
是等腰直角三角形．理由如下：
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）∵D与关于y轴对称，是等腰直角三角形，
∴．
23．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后得出即可证的；
（2）根据（1）中得出的得出，得出再根据相似得出，再根据已知条件即可求解.
【详解】证明：是的中点，
，
，
.又，
四边形是平行四边形，
，
，，
；
解：，
，
是的中点，
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握判定定理及性质是关键.
24．(1)证明过程见详解．
(2)的面积为2．
【分析】（1）利用先判定，得到从而证明，结合，证明，得到即可．
（2）利用及面积比值得到，通过得到，最后利用求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相似的性质得到线段的比值是解题关键．
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