28.1锐角三角函数随堂同步练习（含解析）人教版数学九年级下册

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28.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算其按键顺序如下： ，若显示的结果为4，则的数字为（ ）
A． B． C． D．
2．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）

A． B． C．0 D．
4．在中，．若，，则的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
5．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．
A．10 B．10﹣12 C．12 D．10+12
8．在△ABC中,∠C=90°,若把AB,BC都扩大为原来的m倍,则cos B的值是(　　)
A．mcosB B．cos B C． D．不变
9．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
10．如图，在菱形中，，，以顶点A为圆心画弧，恰好与边、相切，分别交、于点E、F．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知sin·sin45°＝，则锐角为(　 　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
12．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上一点，过作轴的垂线，垂足为点，现将绕点顺时针旋转得到．线段与反比例函数在同一象限交于点，若，则点的横坐标（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．比较大小： （填“>”或“=”或“<”）．
14．已知，则锐角 ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝
16．如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ．
17．如图，矩形的对角线相交于点于点，且，则的正弦值为 ．
三、解答题
18．计算：．
19．计算：
20．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tanA的值．
21．如图，在矩形中，，且．
(1)在边上求作一点，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，平分，，连接．求证：点 D，M， N三点共线．
22．在中，，，，的对边分别为a，b，c，，，求c的值.
23．已知x=cos α(α为锐角)满足方程2x2-5x+2=0,求cos α的值.
24．如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
《28.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D B B B D D D
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】根据输出结果和输入过程，可知×sin30°=4，可得结果.
【详解】解：，
当显示结果为时，的数字为.
【点睛】本题考查了计算器的应用，涉及到特殊角的三角函数值，难度不大.
2．C
【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．
【详解】解：∵sin60°＝，cos30°＝，
∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
3．D
【分析】此题考查了立方根，零指数幂，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用立方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义求出各自的值，判断即可．
【详解】解：，，，
根据题意得：，即，
解得：，
，
可以是1．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦是解题的关键．
如图，由题意知，，求，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，
∴，
解得，，
由勾股定理得，，
故选：D．
5．B
【详解】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
详解：cos30°=．
故选B．
点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
6．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值．
利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，
由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．
设BE＝x，CE＝2x．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12）2，
解得x＝12（米），
∴BE＝12（米），CE＝24（米），
DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），
由tan30°＝，得
，
解得AE＝10．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），
故选：B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．
8．D
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，
∴，的值不变.
又∵,
∴当把AB和BC都扩大为原来的m倍后，的值不变.
故选D.
9．D
【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】解：由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，
∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键．
10．D
【分析】设与圆相切于点，连接，由切线的性质定理可得，在中，利用特殊角的三角函数可得，利用菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：如图，设与圆相切于点，连接，
则，
在中，，，
，
四边形为菱形，
，，
，
则图中阴影部分的面积为：
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，特殊角的三角函数，已知正弦值求边长，菱形的性质，两直线平行同旁内角互补，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
11．C
【分析】把sin45°＝ 代入已知,解出sinα的值,根据特殊角的三角函数值即可解答.
【详解】解：∵sin45°＝， sinα·sin45°＝
∴sinα·＝，解得sinα=
∴α=45°
故选C.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
12．A
【分析】先根据反比例函数的解析式、正切三角函数求出点M的坐标，从而可得直线OM的解析式，再根据等边三角形的判定与性质、旋转的性质可得点的坐标，然后根据平行线的判定可得，从而可得出直线的解析式，最后联立直线的解析式和反比例函数的解析式即可得．
【详解】设点M的坐标为，则，
轴，，
，，即，
解得或（舍去），
，
设OM所在直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则OM所在直线的解析式为，
绕点顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
则设所在直线的解析式为，
将点代入得：，
则所在直线的解析式为，
联立，解得或，
点N在第一象限内，
点N的横坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了正切三角函数、等边三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质和待定系数法是解题关键．
13．=
【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值解答即可，这也是解题关键．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：=．
14．
【分析】利用计算器求正切值．
【详解】解：根据已知一个角的正切值求这个角的算法：先按，选择模式；再键入数字，最后按和；得到这三个角的度数．
答案为．
【点睛】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行三角函数计算．
15．
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA=，
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
16．或
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，正弦函数，能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键；解方程求出两根，①当直角边为2，3时，②当斜边为3，由正弦函数即可求解.注意：最小的角A所对的边为最短边.
【详解】解：，
，
，，
，，
①当直角边为2，3时，斜边为，；
②当斜边为3，另一直角边为，；
故答案为：或．
17．
【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
由矩形的性质和已知条件证得是等边三角形，得的度数即可求得结果。
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
即是等边三角形，
，
的正弦值，
故答案为：
18．
【分析】本题考查了二次根式的乘法、负整数指数幂和锐角三角函数值，熟练掌握这些知识是本题的关键．根据法则及运算顺序依次求出即可．
【详解】解：原式
．
19．2
【分析】由特殊角的三角函数值解题，最后根据无理数的混合运算计算即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂；熟记特殊三角函数值并掌握实数的运算法则是解题关键．
20．sinA＝；cosA＝；tanA＝．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度为4；然后利用锐角三角函数的定义解答．
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA
【详解】
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝4，
∴sinA＝＝；
cosA＝＝；
tanA＝＝．
【点睛】本题关键考查了勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，能正确运用定义写出三角比是解决本题的关键．
21．(1)图见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点为圆心，长为半径，画弧，交于点，连接，即为所求；
（2）根据题意画出图形，易证为等腰三角形，根据矩形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，推出，即可得证．
【详解】（1）解：以点为圆心，长为半径，画弧，交于点，连接，即为所求；如图所示，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴点 D，M， N三点共线；
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形．解题的关键是掌握矩形的性质，利用特殊角的三角函数值，构造特殊图形．
22．20
【分析】将的结果用a，b，c来表示，然后再根据，可以得到关于c的方程，即可得到答案
【详解】解：∵，且，
∴．
故答案为20
【点睛】本题考查三角函数的写法，关键把的结果用边长表示出来
23．cos α=.
【详解】试题分析：
首先解方程2x2-5x+2=0求得x的值，再根据“锐角的余弦函数值大于0而小于1”可得的值.
试题解析：
∵解方程2x2-5x+2=0得x1=2，x2=，
又∵ 0∴ cos α=.
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OA，然后证明，即可得到，从而得证；
（2）设的半径为，则，先利用勾股定理求出r，然后利用三角函数求出，再利用求解即可.
【详解】解：（1）证明：连接OA．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）设的半径为，则，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
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