28.2解直角三角形及其应用随堂同步练习（含解析）人教版数学九年级下册

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28.解直角三角形及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（　　）
A．1：3 B．1： C．1： D．1：
2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则∠CDM等于
A． B． C． D．
3．小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（ ）（参考数据：，，）

A． B． C． D．
4．在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（　　）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α=45°时，S=
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
5．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（　　）
A．56米 B．66米 C．（56+20）米 D．（50+20）米
6．在中，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
7．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，梯形护坝的斜坡 AB 的坡度 i ＝1∶3，坝高 BC 为2米，则斜坡 AB 的长是（　　）
A．2米 B．2米 C．4米 D．6米
11．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（ ）
A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3
12．如图，将两张宽度都为1的纸条叠放成如图所示的图形，如果所成四边形的锐角为α，那么这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．中，若，，，则的面积为 .
14．为斜边上的高，已知，那么 ．
15．如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 （结果精确到）．
16．如图，小明在楼AB顶部的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为37°，已知楼AB高为18m，楼与树的水平距离BD为8.5m，则树CD的高约为 m（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于 ．
三、解答题
18．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，）
（1）求、之间的距离；
（2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．
19．已知在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）求的值．
20．如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．
21．盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224 m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB.( 取1.73，结果精确到0.1 m)
22．崛围山位于山西省太原市尖草坪区，从山顶向下俯视，四周群山如涛似浪，宛转盘旋，形成一个巨大的漩涡，像倒立的喇叭，又如硕大的圆盘，“崛围山”之名由此而来．在山顶处建有舍利塔，做工精巧别致，立于崛围山之巅．某校“综合与实践”小组的同学把“测量崛围山舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查、并形成了如下活动报告．
课题 崛围山舍利塔的调研与计算
调查方式 资料查阅、文物部门走访、实地查看了解
调查内容 结构 舍利塔位于多福寺东南的山顶，原是宋代建筑，共7层，塔基呈6角6面、平台用砖石砌成，塔身为砖木结构……
塔高测量设计图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E、F均在同一竖直平面内，与地面平行，斜坡的坡角，塔顶端E的仰角，从点A出发沿着坡面前行36米到达点D处，测得塔顶点E的仰角为．
计算结果 …
交流展示 …
请根据活动报告计算舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
23．如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高，坝顶宽．求大坝横截面的面积和周长（周长精确到）．
24．如图，点A表示一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，且．如果在B，C两村庄之间修一条长的笔直公路将两村连通，那么该公路是否会穿过该森林公园？
《28.解直角三角形及其应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D C A C D B B
题号 11 12
答案 A D
1．A
【详解】根据斜坡的长度和高度可以得出斜坡的水平距离为3米，则坡比=垂直高度：水平距离=1：3．
故选A．
2．A
【分析】根据正方形的特点可知∠CDM=∠DEA,利用勾股定理求出DE，根据余弦的定义即可求解.
【详解】∵CD∥AB，∴∠CDM=∠DEA,
∵E是AB中点，
∴AE=AB=1
∴DE=
∴∠CDM=∠DEA==
故选A.
【点睛】此题主要考查余弦的求解，解题的关键是熟知余弦的定义.
3．D
【分析】根据正切函数定义求出的高度即可．
【详解】解：∵，，，
∴，故D正确
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．
4．D
【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义、共圆的条件判断即可．
【详解】A、错误．菱形的周长=8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α=45°时，菱形的面积=2×2×sin45°=2；
C、错误，∵0°＜∠α＜90°，∴对角不互补，∴A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S=菱形的面积=2×2×sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义、共圆的条件，熟练掌握有关知识点是解答本题的关键.
5．C
【分析】根据题意可得：BE=CF=20米，根据斜坡AB的坡比为1：2.5可得：AE=50米；根据∠D=30°，CF=20可得：DF=米，则AD=AE+EF+DF=(56+)米，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
根据题意得：BE=CF=20米，EF=BC=6米，∠D=30°，
∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，
∴，解得：AE=50米，
∵∠D=30°，
∴，
∴米，
∴米．
故选：C
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
6．A
【分析】先利用正切的定义得到，则设，，利用勾股定理表示出，然后利用正弦的定义求解．
【详解】解：如图：
，
，
设，则，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．
7．C
【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：设与交于点E，连接．
在与中，，
，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
8．D
【分析】要使△ABC的面积S=BC h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
9．B
【分析】先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．
10．B
【分析】坡度即为垂直距离：水平距离=1：3，可得到BC和AC之间的关系式，然后根据勾股定理即可求得AB．
【详解】因为i＝1∶3，所以tanA=，
又tanA=，
所以=，即AC=6，
由勾股定理得AB==2米，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及勾股定理的应用，熟练掌握坡度的定义是解答本题的关键．
11．A
【详解】试题分析：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB sinB，A′D′=A′B′ sinB′，BC=2BD=2AB cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′ cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD BC=AB sinB 2AB cosB=25sinB cosB，S△A′B′C′=A′D′ B′C′=A′B′ cosB′ 2A′B′ sinB′=9sinB′ cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．
考点：互余两角三角函数的关系．
12．D
【分析】首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数求出BC的长，最后根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】如图，过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB，
∵=sin，
∴BC=AB=，
∴四边形ABCD的面积为：BC×AE=1×=.
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质和菱形的面积公式，熟练掌握其知识点是解此题的关键.
13．
【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】解：如图，作于点D，则，
在中，
所以的面积为
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.
14．
【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：如图所示：
∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠CAB=90°，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
15．4.4m/4.4米
【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵，
∴，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴，
即的长度为4.4m．
故答案为：4.4m.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
16．11.6
【分析】作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△AEC中，AE=CE tan37 =BD tan37 ≈8.5×0.75=6.375米；用AB-AE即可得到BE的长．
【详解】解：作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△AEC中，AE=CE tan37 =BD tan37 ≈8.5×0.75=6.375米；
BE=AB-AE≈18-6.375=11.625≈11.6米．
故答案为11.6．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
17．acosα＋bsinβ
【分析】过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，可得四边形DFCE是矩形，从而利用三角函数表示出AE,DF的长，即可求出AC的长.
【详解】解：过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵AC⊥BC,
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE,
∵AE=AD× cosα= acosα,
CE=DF=BD× sinβ= bsinβ,
∴AC=AE+EC= acosα＋bsinβ.
故答案为acosα＋bsinβ.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和矩形的性质和判定，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键.
18．（1）27m；（2）这辆汽车超速，见解析
【分析】（1）根据AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【详解】（1）在中，∵,
，
在中，,
,
，
（2）结论：这辆汽车超速.
理由：，
∴汽车速度.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）；（2）
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
中，，
，，
，，
过点C作的垂线交其延长线于点E，
，
中，，
．
21．电视塔的高度AB约为195.3 m.
【详解】试题分析:本题主要考查三角函数,设AG=x,分别在Rt△ACG和Rt△Rt△AFG中
设AG＝x，根据正切三角函数公式,用x表示出CG,FG的长度,根据DE=224m列出方程,解方程可求出x的值,从而求出AB的长.
在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，∴FG＝，
在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x，
∴x－＝224，解得x≈193.8，
∴AB＝193.8＋1.5＝195.3(m)，
答：电视塔的高度AB约为195.3 m.
22．舍利塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用——仰角、俯角，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作的垂线，交延长线于点，易求，，进而求出，证明，再根据直角三角形的性质求出，求出，解直角三角形求出，即可解答．
【详解】解：过点D作的垂线，交延长线于点，则，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：舍利塔的高度约为．
23．横截面的面积为：，周长为
【分析】根据，结合斜坡的坡比，在和中分别求出和的长，进而得出答案，根据勾股定理得出，的长度，继而可求得大坝的截面周长．
【详解】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
∵背水坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
根据题意可知，
故，
则大坝横截面的面积：；
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
则周长，
答：横截面的面积为：，周长为．
【点睛】本题考查了坡比，勾股定理以及二次根式的运算的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长以及勾股定理的应用．
24．该公路会穿过森林公园．
【分析】根据特殊角的三角函数值求出BH=AH和HC=，再根据BC=BH+HC，求出AH的值，再与300进行比较即可得出答案．
【详解】解：∵∠B=45°，
∴tan45°=，
∴BH=AH，
∵∠C=30°，
∴tan30°=，
∴，
∴BC=BH+HC=，
∵BC=500，
∴，
∴，
∵＜300，
∴该公路会穿过该森林公园．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数的定义求出BH=AH是解答此题的关键．
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