第二十八章锐角三角函数随堂同步练习（含解析）人教版数学九年级下册

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第二十八章锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
4．在RtABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
5．在中，，，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
6．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，．将沿直线平移得到，为的中点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是( )
A． B．2 C．3 D．
10．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题
13．如图，在中，，，，则 ．
14．已知，则锐角 ．
15．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为 m．（结果保留根号）
16．中，，，，则 ．
17．在平面直角坐标内，⊙P的圆心P的坐标为（8，0），半径是6，那么直线y=x与⊙P的位置关系是 .
三、解答题
18．如图，在中，，，，求的值．
19．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）
(1)计算台阶的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=1，求∠A的三个三角函数值．
21．综合与实践．
【主题】探究化学实验中的数学问题．
【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．
【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角．
【问题解决】
(1)求的度数；
(2)铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，）
22．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．
23．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
24．一个长方体箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3ｍ，已知木箱高BE=，斜面坡角为300，求木箱端点E距地面AC的高度．

《第二十八章锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D C C C D B C
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握，求出，再根据勾股定理，即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
2．A
【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
3．C
【分析】在直角三角形BCM中，根据60°的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长．
【详解】解：在直角△BCM中，
tan60°＝＝，
得到BC＝＝2，
∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，
∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，
∴CD＝BC＝2．
故选C．
【点睛】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应用，是一道中档题．
4．D
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的正弦值等于对边与斜边的比值，判断即可；
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，在RtABC中，，则，
若各边长都扩大2倍，则的值不变．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，准确根据正弦的定义求解是解题的关键．
5．C
【分析】画出图形后，由正弦的定义即可求解．
【详解】解：如下图所示，
由，代入数据可得：，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的基本概念，熟练掌握正弦、余弦、正切的概念是解题的关键．
6．C
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，在中，，，米，
∴
故选：C
7．C
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、根据特殊角三角函数值求角的度数、弧长公式等知识，根据于点，垂径定理计算，根据勾股定理，结合，，，得出求解，计算出，推出，根据弧长公式求出的长即可，灵活运用知识点求出半径、的度数、运用弧长公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵于，，点是这段弧所在圆的圆心，
∴，，，
又∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．D
【分析】此题考查了解直角三角形的应用以及平移的性质，勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．过点作于点D，设，由中，，将沿直线平移得到，为的中点，可求得与的长，继而求得答案．
【详解】解：过点作于点D，
设，
中，，
，
，
为的中点，
∵将沿直线平移得到，
，
，，
，
，
故选：D
9．B
【分析】根据sin2α＋cos2α＝1，可得 sinα，根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义，可得答案．
【详解】由sin2α＋cos2α＝1，α是锐角，，得
，
，
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题关键是熟记sin2α＋cos2α＝1.
10．C
【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
所以AD=，
因为sin∠C=，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．
11．D
【分析】根据垂径定理得到＝，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，求不规则图形的面积，得出OD＝OA＝2，AD＝OA＝2是解题关键．
12．A
【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．
【详解】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴四边形DMNG是矩形，
∴DG=MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM=EM=DE，BN=CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH=DH=CD=3，
∴OH==4，
∴BH=9，
∴BC==3，
∴BN=BC=，
∴ON=，
∵sin∠BCH=，即，
∴DG=，
∴MN=DG=，
∴OM=MN-ON=，
∴DM==，
∴DE=2DM=．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
13．/0.5
【分析】本题考查求正弦函数值，由题中的，结合正弦函数的定义代值求解即可得到答案，熟记正弦函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
在中，，，，则，
故答案为：．
14．
【分析】先由变形为，即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．
15．（30+30）．
【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．
【详解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝30（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝30+30（m）
答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．
故答案为：（30+30）．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
16．
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，根据题意，利用锐角三角函数可以设，，然后根据勾股定理列方程即可求得的长．解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，，
设，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴．
故答案为：．
17．相交
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质求得圆心到直线的距离，再根据数量关系进行判断位置关系．如果圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，当d＞R时，直线与圆相离，d=R时，相切，d＜R时，相交．
【详解】如图，过P点作直线y=x的垂线，垂足为M．
∵∠MOP=45°，
∴在Rt△MOP中，PM=OP sin45°=8×=4＜6，
∴直线与圆相交．
故答案为相交.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解直角三角形，直线与圆的位置关系，求出点P到直线y=x的距离是解答本题的关键．
18．
【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得.
则
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可；
（2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为，
∴，
，
即台阶的高度为；
（2）解：如图所示，设的对边为，作于F，
∴由题意得，四边形是矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：孔子雕像的高度约．
20．sinA=，cosA=，tanA=2．
【分析】根据勾股定理，可得c，根据sinA=，cosA=，tanA=，可得答案．
【详解】∵∠C=90°，a=2，b=1，
∴c=，
∴sinA===，
cosA===，
tanA==2．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．
（1）利用角的和差和平行线的性质即可得到答案；
（2）过点作，交的延长线于点，求出，，即可求出．
【详解】（1）解：∵．．
∴
由题意可知，
∴
（2）过点作，交的延长线于点，
∵试管的长为，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴
∵
∴
即水槽的高度约为
22．b=；c=6.
【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．
【详解】解：如图，
∵a=2，，
∴c===6，
则b===4．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．
23．“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：过作于，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是．
24．木箱端点E距地面AC的高度是3ｍ．
【分析】连接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AF的长，利用三角函数即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函数求得的长．
【详解】解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，
∴根据勾股定理得．

又∵，∴．
在Rt△AEF中，，
∴．
答：木箱端点E距地面AC的高度是3ｍ．
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