广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题（11.23）（PDF版，含答案）

2026届高三数学周测（11.23）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1.若等差数列{ }的前 项和为 ，则“ 2024 > 0 且 2025 < 0”是“ 1012 1013 < 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.记 为等差数列{ }的前 项和.若 5 = 10， 5 = 1，则 1 =( )
A. 72 B.
7
3 C.
1
3 D.
7
11
3 2 +i.若复数 满足 = 3 + i，则 =( )
A. 1 + i B. 1 i C. 1 + i D. 1 i
4 .已知函数 ( ) = tan 在[0, 4 ]上单调递增，则实数 的最小值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5 .将函数 ( ) = 2tan( + 6 )( > 0)的图象向左平移3个单位，得到函数 ( )的图象，若 ( )为奇函数，
则 的最小值是( )
A. 12 B. 1 C. 2 D.
5
2
6 1 4.设 为正项等差数列 的前 项和，若 2025 = 2025，则 + 的最小值为( )6 2020
A. 52 B.
9
2 C. 9 D. 5
7
2 2 1
.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为3， 1， 2分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点.若
1· 2 =
1，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2
A. 18+

16 = 1 B.
+ 9 8 = 1 C.

3 + 2 = 1 D. 2 +
2 = 1
8.若过点( , )可以作曲线 = e 的两条切线，则( )
A. e < B. e < C. 0 < < e D. 0 < < e
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。
9 1 13.已知数列 2 的前 项和为 = 2 2 + 6，则下列说法正确的是
A. = 7 B. 1 + 1 1 1 4 2 3
+ +
3 4 4 5 5
=
6 5
C.使 > 0

的最小正整数 为 13 D. 的最小值为 3
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10.已知点 在圆( 5)2 + ( 5)2 = 16 上，点 (4, 0)， (0, 2)，则( )
A.点 到直线 的距离小于 10 B.点 到直线 的距离大于 2
C.当∠ 最小时，| | = 3 2 D.当∠ 最大时，| | = 3 2
11.在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则下列结论成立的是( )
A.若 > ，则 >
B.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
C. 若 = = ，则 = =
D.若 = 30°， = 4， = 3，则△ 只有一解
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 cos = 1 < < 0 cos ( )sin (2 + )tan (2 ).已知 5，且 2 ，则 = ．sin (3 2 )cos (

2+ )
13.已知函数 ( ) = 2 + ( 3) + 3， ∈ [ 2 2, ]是偶函数，则 + = ．
14.已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，且平面内另一向量 满足(3 + ) (4 ) = 0，且均能
使| | ≤ 成立，则 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 3小题，共 47分。
15.(本小题 15 分) 中，sin2 sin2 sin2 = ．
(1)求 ；
(2)若 = 3，求 周长的最大值．
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16.(本小题15 分)在等差数列 中， 3 = 8, 8 = 1 + 2 + 3；记 为数列 的前 项和，且 = 2 + 1．
(1)分别求数列 , 的通项公式；
(2) 求数列 的前 项和．
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17.(本小题 17 分)已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到准线 的距离为 2，点 ( , 0)，过 的直线交
于 ， 两点，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 1， 1，直线 1 ， 1 与直线 分别交于点 ， ．
(1)求 的方程；
(2)记 ， 1 1的纵坐标分别为 ， ，当 + = 1 时，求直线 的斜率；
(3) 设 为 轴上一点，记 1， 2分别为直线 ， 的斜率．若 1 为定值，求点 的坐标．2
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答案和解析
1.【答案】
< 0 2025 < 0 ∴ < 0 = 2024( + )解： 且 2025 则 1013 ， 1013 ， 1 20242024 2 > 0，∴ 1 + 2024 > 0，
即 1013 + 1012 > 0，∴ 1012 > 0，∴ 1012 1013 < 0，充分.也有可能 且 2025 > 0，不必要，故选 A．
2.【答案】
解：因为 5 = 10，{ }为等差数列，则 10 5 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5 8 = 0，解得 8 = 0，
又 5 = 1，所以等差数列{ }的公差 =
1 7
3，故 1 = 8 7 = 3．故选： ．
3.【答案】
2 +i = 3 + i = 2i = 2i 1 i 2+2i解：由 ，得 1+i 1+i 1 i = 2 = 1 + i，故选：
4.【答案】
1 1
解：由题意可知， ′( ) = cos2 ≥ 0 在[0, 4 ]上恒成立，所以 ≥ cos2 在[0, 4 ]上恒成立，
又 ∈ [0, 14 ]时，2 ≤ cos
2 ≤ 1，所以 ≥ 2.故选 C．
5.【答案】
解：函数 ( ) = 2tan( + 6 )( > 0)的图象向左平移3个单位长度后，得到函数 ( )的图象，由题意， ( ) =
2tan[( ( + 3 ) + 6 ] = 2tan( +

6 +

3 )

，它是奇函数，则6 + 3 = 2， =
1
2 +
3
2， ∈ ，又 > 0，
则其最小值是当 = 1 时， = 1．故选： ．
6.【答案】
+ ×2025
解：因为数列 为正项等差数列，所以 > 0， > 0， = 2025，可得 1 20256 2020 2025 2 = 2025，
+ = 2 1 4 1 1 4即 1 2025 ，由等差数列性质可得 6 + 2020 = 1 + 2025 = 2，所以 + =6 2020 2
+
6
6 +
2020
= 1 5 + 2020 4 62020 2 + ，因为 6 > 0， 2020 > 0
2020 > 0 4 ，故 ， 6 > 0，
6 2020 6 2020

2020
4 6
则 2020 + 4 6 ≥ 2 2020 × 4 6
=
= 4

，当且仅当 2020
4 6
= 时等号成立．由 6 20206 2020 6 2020 6 2020 6 + 2020 = 2
2
解得 6 = 3， 2020 =
4 2 4 1 4 1 9
3，即当 6 = 3， 2020 = 3时， + 取得最小值为2 (5 + 4) = 2，故选： ．6 2020
7.【答案】
解：由题意， 1( , 0)， 2( , 0)， (0, )，所以 1 = ( , )， 2 = ( , )，
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1
2
= 2 + 22 = 1
1 8
①.又 1 2 = 9，即
2 = 9
2，代入 ①式解得 2 = 9， 2 = 8，
8.【答案】
解：设切点为 0, 0 , ’ = .根据两点之间斜率和导数的几何意义，
0
易知 0 0 = ，整理得：

0 0 + 0 = 0 有两解，
0
令 ( ) = + ， ’( ) = ( ) ，易知 ( )最大值为 ( )．
即 = + > 0，解得 > ，
又因为当 趋近正无穷时 ( ) < 0，当 趋近负无穷时， ( )趋近 < 0，则 > 0．
综上，0 < < 故选 D．
9.【答案】
= 1解： 2 2
13
2 + 6 =
0, = 1,
7, ≥ 2, ∴A 错误;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4选项， 2
+
3 3
+ +4 4 5
= +
5 6 4 5 3
4+ 2 3 + 1 2 = 1 5 = 5，∴B 正确;
选项，由 > 0 解得 > 12，正确;
选项， 11 = 0， ≥ 2
1 6 13 1 12 13
时， = 2 + 2 = 2 ( + ) 2，∴当 = 3 或 4 时， 取最小值为 3，正确．
10.【答案】
解：由点 (4,0)， (0,2)，可得直线 的方程为 + 2 4 = 0．
(5,5) |5×1+5×2 4| = 11 5则圆心 到直线的距离为 5 5 ，
11 5 11 5故 到直线 的最大距离为 5 + 4 < 10，最小距离 5 4 < 2，所以 A 正确，B 错误．
由题意可知，当直线 与圆相切时，∠ 最大或最小，由于圆心到 的距离为 5 2 2 + 5 0 2 = 34，
此时 = 34 16 = 3 2，故 C， 都正确．故选 ACD．
11.【答案】
解：由 > > 2 > 2 ( 为△ 外接圆半径) > ，A 正确；
锐角△ 中， + > 2 2 > > 2 > 0 > sin( 2 ) = ，B 正确；

若 = = ，则 = = ，即 = = ，即 = = ，即 = = ，C 正确；
4×1
若 = 30°， = 4， = 3 ，则 = =
2 = 23 3，因为 < ，所以 < ，则 为锐角或钝角，即△
有两解，D 错误．故选： ．
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12.【答案】 2 6
2
解：∵ cos = 15，且

2 < < 0，∴ sin = 1
1 2 6
5 = 5 ，
cos ( )sin (2 + )tan (2 ) cos sin ( tan ) sin
∴
sin ( 3
= = tan = = 2 6
)cos ( + ) cos ( sin ) cos 2 2
13.【答案】4
解：∵函数 ( ) = 2 + ( 3) + 3， ∈ [ 2 2, ]是偶函数，∴ 2 2 + = 0，∴ = 2 或 1，∵ 2 2 < ，
∴ = 1 ∵ 3． 偶函数的图象关于 轴对称，∴ 2 = 0，∴ = 3．∴ + = 4．
14. 5+ 13【答案】 2
解：根据题意设 = (1,0)， = (0,1)， = ( , )；
∴ 3 + = ( + 3, )，4 = ( , 4 )；又(3 + ) (4 ) = 0，
∴ ( + 3) + (4 ) = 0，即( + 3 )2 + ( 2)2 = 25 3 5
2 4
；它表示圆心为 ( , 2)，半径为2的圆； 2
= , 1 ， = 2 + 1 2，可表示为圆上的点到点 (0,1)的距离，
(0,1) = 13 ∴ | | 5 + 13 = 5+ 13则圆心 到点 的距离为 ， 的最大值为
2 2 2 2
；
| | ≤ ≥ 5+ 13 5+ 13要使 恒成立，则 2 ，则 的最小值是 2 ．
2 2 2
15.【答案】解：(1)由正弦定理可得： 2 2 2 = ，∴ = + = 12 2，
∵ ∈ (0, )，∴ = 2 3；
(2)方法一：余弦+不等式．
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，即( + )2 = 9．
∵ ( + 22 ) (当且仅当 = 时取等号)，
∴ 9 = ( + )2 ( + )2 ( + )2 = 32 4 ( + )
2，解得： + ≤ 2 3(当且仅当
= 时取等号)，∴△ 周长 = + + 3 + 2 3，∴△ 周长的最大值为 3 + 2 3．
方法二：正弦化角．
设 = 6 + , = 6 ，则 6 < < 6，根据正弦定理可知 = = = 2 3，sin sin sin
所以 + = 2 3(sin + sin ) = 2 3[sin( 6 + ) + sin(

6 )] = 2 3cos 2 3，

当且仅当 = 0，即 = = 6时，等号成立，此时 周长的最大值为 3 + 2 3．
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16. = + 2 = 8【答案】(1)解：设数列 的首项为 ，公差为 ， 3 11 + 7 = 3 + 3 ，则 1 = 4, = 2，1 1
所以数列 的通项公式为 = 1 + 1 = 4 + 1 × 2 = 2 + 2．
因为 = 2 + 1，所以当 = 1 时， 1 = 2 1 + 1，则 1 = 1．
当 ≥ 2 时， = 1 = 2 + 1 2 1 + 1 = 2 2 1，则 = 2 1，
所以 是以首项为 1 = 1，公比为 2 的等比数列，所以 = 2 1 ．
1
(2) = 2 +2 1 2 1 = 2 + 2 2 ，设数列


的前 项和为 ，

1 0 1 1 1 2 1 2 1 1
= 4 × 2 + 6 × 2 + 8 × 2 + + 2 2 + 2 + 2 2 ①
1 1 1 1 2 1 3 1 1 1
2 = 4 × 2 + 6 × 2 + 8 × 2 + + 2 2 + 2 + 2 2 ②
1 1 1 1 2 1 1
① ②得， 2 = 4 + 2 2 + 2 + + 2 2 + 2
1
2
1
1 × [1 (
1 ) 1] 1
∴ 2
2 2
= 4 + 2 1 (2 + 2) ( )

1 22
1 2 = 4 + 2 4
1 1
2 2 + 2 2 = 6 2 + 6
1
2 ，
2
则 = + 3
1
2 12．
17.【答案】解：(1)由题意知 = 2，所以抛物线方程为 2 = 4 ．
(2)设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1( 1, 1)， 1( 1, 2)， (2,0)，
2 = 4 ,
所以 = + 1，得
2 4 4 = 0，所以 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，

所以直线 11 的方程为： = 3 ( 2)，与直线 的方程 = + 1

联立，解得 1 = ，1+3
同理 =
2
2+3
，
1 + 1 = 1+3 + 2+3所以 = 2 + 3( 1+ 2)
= = 1，所以 = 1，
1 2 1 1
1所以直线 的斜率为 = 1．
1 2
(3) ( , 0) 1 = 2 = +3 +3
+1 2
1 2 3 设 ，因为 1 2

1
· 2 = (2 ) +(3 3 ) ．
1+3
+1 +3 1 2 22
+ = 4 = 4 1 = 3 1 3 因为 1 2 ， 1 2 ，所以 1 2 (2 ) ( 4)+(3 3 )(4 1)
= (3 3) 1 (8 4)
，
= 1 当 时， 1 12 = 2 为定值．所以 (2 2
, 0)．
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