江西省赣州市十八县（市、区）二十四校2025-2026学年高二上学期第54次期中联考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西省赣州市十八县（市、区）二十四校2025-2026学年高二上学期第54次期中联考数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 858.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-01 13:47:36 | ||
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文档简介
江西省赣州市十八（市、区）二十四校2025-2026学年高二上学期第54次期中联考数学试题
一、单选题
1．已知空间四点，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．已知分别是双曲线的左 右焦点，是上一点，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为1，到平面的距离为2，到平面的距离为3.则以为直径的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别是椭圆的左 右顶点，点满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线，则下列判断正确的是（ ）
A．在轴上的截距为3
B．若，则
C．若，则
D．若相交于一点，则
10．在正四棱台中，，则（ ）
A．和是相等向量
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影数量为2
11．如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（ ）
A． B． C．2 D．
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，点为整数，则的最小值为 .
13．某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条橫线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为.底部的宽度为.则该镜子的高度为 .
14．在三棱柱中，的外心为,则的长为 .
四、解答题
15．已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求圆与圆的公共弦长.
16．已知双曲线.
(1)求的取值范围.
(2)已知的渐近线方程为.
①求的值；
②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率.
17．已知直线，圆.
(1)证明：过定点.
(2)若与圆相切，求的方程.
(3)若点在圆上，求的取值范围.
18．已知是抛物线的焦点，为上一个动点，且的最小值为2.
(1)求；
(2)若为坐标原点，.求；
(3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为均经过与交于两点，与交于两点，且，求的方程.
19．以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆的焦距为，短轴长为2.
(1)求及的辅助圆的方程.
(2)已知与轴平行，且不经过原点的直线与及的辅助圆分别交于两点（均在同一个象限），过作的辅助圆的切线与轴交于点，且直线的斜率为，记的面积为，证明：.
(3)已知斜率不为0，且不经过原点的直线与交于两点，判断在的辅助圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形.若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B C D C B BC BCD
题号 11
答案 BCD
12．4
13．9
14．
15．（1）设圆，
由题意得
得
所以圆的标准方程为.
（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，所以两圆相交.
由，两式相减得，
则圆与圆的公共弦所在直线的方程为.
因为点到直线的距离，
所以圆与圆的公共弦长为.
16．（1）由题意得，
得，所以的取值范围为.
（2）①由，得，则，
所以的渐近线方程为，得.
②由①得.设，则.
由
得，得，
得，所以的斜率为.
因为在上支的上侧，的斜率，所以与必定相交于两点.
第（2）②问还可以这样解答：
由①得.易知的斜率必定存在，设，）.
由得，
得，解得.
此时，所以的斜率为.
17．（1）由题意得.
由
得所以过定点.
（2）法一：
由题意得圆的圆心为，半径为1.
由，得或1.
故的方程为或.
法二：
由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1.
当的斜率不存在时，直线与圆相切.
当的斜率存在时，设，即.
由，得，则.
故的方程为或.
（3）由题意得，
表示点到点的距离的平方.
因为，
所以1.
故，
即的取值范围为.
18．（1）由抛物线的性质可知，当点与点重合时，取得最小值，即，解得；
（2）由（1）得抛物线的准线方程为.
过点作，垂足为.设，因，则,得，
则点的纵坐标为，由抛物线定义得，解得，所以.
（3）设的倾斜角为，易得，斜率，则的倾斜角为，
其斜率.
设点易得.
由消元得，则有
于是，.
以代，得.
由，可得，解得或.
当时，，又，所以不符合题意，
故的方程为，即.
19．（1）设的焦距为，则得
所以的方程为，
的辅助圆的方程为.
（2）方法一：证明：设，直线与轴交于点，则.
由得.
易证，则，得，
所以.
方法二：证明：不妨假设均在第一象限或第二象限，设直线的方程为或0），
由，得，得.
直线，令，得.
故.
同理可证在第三象限或第四象限时，.故.
（3）设点.
由得，
由，得，
得
假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形，则，
得.
因为在的辅助圆上，所以，得，
满足，所以在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形.
直线在轴上的截距为，
则
，
将，
得
，
当且仅当，即时，等号成立.
故面积的最大值为1.
一、单选题
1．已知空间四点，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．已知分别是双曲线的左 右焦点，是上一点，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为1，到平面的距离为2，到平面的距离为3.则以为直径的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别是椭圆的左 右顶点，点满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线，则下列判断正确的是（ ）
A．在轴上的截距为3
B．若，则
C．若，则
D．若相交于一点，则
10．在正四棱台中，，则（ ）
A．和是相等向量
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影数量为2
11．如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（ ）
A． B． C．2 D．
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，点为整数，则的最小值为 .
13．某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条橫线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为.底部的宽度为.则该镜子的高度为 .
14．在三棱柱中，的外心为,则的长为 .
四、解答题
15．已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求圆与圆的公共弦长.
16．已知双曲线.
(1)求的取值范围.
(2)已知的渐近线方程为.
①求的值；
②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率.
17．已知直线，圆.
(1)证明：过定点.
(2)若与圆相切，求的方程.
(3)若点在圆上，求的取值范围.
18．已知是抛物线的焦点，为上一个动点，且的最小值为2.
(1)求；
(2)若为坐标原点，.求；
(3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为均经过与交于两点，与交于两点，且，求的方程.
19．以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆的焦距为，短轴长为2.
(1)求及的辅助圆的方程.
(2)已知与轴平行，且不经过原点的直线与及的辅助圆分别交于两点（均在同一个象限），过作的辅助圆的切线与轴交于点，且直线的斜率为，记的面积为，证明：.
(3)已知斜率不为0，且不经过原点的直线与交于两点，判断在的辅助圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形.若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B C D C B BC BCD
题号 11
答案 BCD
12．4
13．9
14．
15．（1）设圆，
由题意得
得
所以圆的标准方程为.
（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，所以两圆相交.
由，两式相减得，
则圆与圆的公共弦所在直线的方程为.
因为点到直线的距离，
所以圆与圆的公共弦长为.
16．（1）由题意得，
得，所以的取值范围为.
（2）①由，得，则，
所以的渐近线方程为，得.
②由①得.设，则.
由
得，得，
得，所以的斜率为.
因为在上支的上侧，的斜率，所以与必定相交于两点.
第（2）②问还可以这样解答：
由①得.易知的斜率必定存在，设，）.
由得，
得，解得.
此时，所以的斜率为.
17．（1）由题意得.
由
得所以过定点.
（2）法一：
由题意得圆的圆心为，半径为1.
由，得或1.
故的方程为或.
法二：
由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1.
当的斜率不存在时，直线与圆相切.
当的斜率存在时，设，即.
由，得，则.
故的方程为或.
（3）由题意得，
表示点到点的距离的平方.
因为，
所以1.
故，
即的取值范围为.
18．（1）由抛物线的性质可知，当点与点重合时，取得最小值，即，解得；
（2）由（1）得抛物线的准线方程为.
过点作，垂足为.设，因，则,得，
则点的纵坐标为，由抛物线定义得，解得，所以.
（3）设的倾斜角为，易得，斜率，则的倾斜角为，
其斜率.
设点易得.
由消元得，则有
于是，.
以代，得.
由，可得，解得或.
当时，，又，所以不符合题意，
故的方程为，即.
19．（1）设的焦距为，则得
所以的方程为，
的辅助圆的方程为.
（2）方法一：证明：设，直线与轴交于点，则.
由得.
易证，则，得，
所以.
方法二：证明：不妨假设均在第一象限或第二象限，设直线的方程为或0），
由，得，得.
直线，令，得.
故.
同理可证在第三象限或第四象限时，.故.
（3）设点.
由得，
由，得，
得
假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形，则，
得.
因为在的辅助圆上，所以，得，
满足，所以在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形.
直线在轴上的截距为，
则
，
将，
得
，
当且仅当，即时，等号成立.
故面积的最大值为1.
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