4.5相似三角形判定定理的证明(同步练习·含解析)-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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4.5 相似三角形判定定理的证明
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 碧江区 期中）如图，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．
2．（2025秋 兴庆区校级期中）每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
4．（2025 攀枝花）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（　　）
A．MN⊥BD B．MN＝2 C． D．△BAD∽△COD
5．（2025 芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
6．（2024秋 牧野区期末）如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（　　）
A．OA OC＝OD OB B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠D D．
7．（2025春 芝罘区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D．
8．（2025秋 瑶海区校级期中）如图，DE∥AB，∠1＝∠3，则图中相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二．填空题（共4小题）
9．（2024秋 鄞州区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，过点C作BC的垂线CD，点P在线段BC上运动，点Q在射线CD上运动，始终满足∠BAP＝∠CAQ，连结PQ，当△PCQ与△ABC相似时，线段BP的长是 　 　 ．
10．（2024秋 惠民县期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 　 　 秒钟，△PBQ与△ABC相似．
11．（2024秋 丰顺县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　 　 ．
12．（2024秋 秦都区期末）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　 　 ．（只写一个）
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 立山区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，点E，F分别在AC，BC上，且∠FAC＝∠EDA，∠ACD＝∠ADC，AF2＝BF CE．求证：△ABF∽△CDE．
14．（2024秋 紫金县期末）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
15．（2024秋 洪雅县期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
4.5 相似三角形判定定理的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 碧江区 期中）如图，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
A、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
B、C，由有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE，故B、C不符合题意；
D、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△ABC∽△ADE，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．（2025秋 兴庆区校级期中）每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AB，AC，BC＝2，
A、三边长分别为1，，，则，与△ABC相似，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，3，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为1，，2，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为2，，，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键．
3．（2025 河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进行判断；当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对B选项进行判断；当添加∠1＝∠4时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断；当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角相等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断．
【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，
当添加∠B+∠4＝180°时，
∵∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意；
当添加CD∥AB时，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意；
当添加∠1＝∠4时，
∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意；
当添加∠2＝∠3时，
∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，
∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质．
4．（2025 攀枝花）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（　　）
A．MN⊥BD B．MN＝2 C． D．△BAD∽△COD
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定定理对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：连接MD，MB，如图，
∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴BMAC，
∵∠ADC＝90°，N为BD的中点，
∴DM＝CMAC，
∴DM＝BM，
∵N为BD的中点，
∴MN⊥BD．
故A选项正确，不符合题意；
∵DM＝CMAC，
∴∠DMC＝∠ACD＝15°，
∴∠AMD＝∠DMC+∠ACD＝30°，
∵OD＝OM，
∴∠ODM＝∠AMD＝30°，
∵AC＝8，
∴DMAC＝4，
∵MN⊥BD，
∴∠DNM＝90°，
∴MNDM＝2，
故B选项正确，不符合题意；
∵∠BDC＝∠ODM+∠MDC＝45°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵MA＝MD＝MC＝MBAC＝4，
∴点A，B，C，D四点在以点M为圆心，半径为4的圆上，
∴∠BCA＝∠BDA＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BCAC＝4，
∴C选项错误，符合题意；
∵∠ABD＝∠ACD，∠ADB＝∠BDC＝45°，
∴△BAD∽△COD，
∴D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2025 芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．（2024秋 牧野区期末）如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（　　）
A．OA OC＝OD OB B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠D D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：A、能判定，利用两边成比例夹角相等；
B、能判定，两角对应相等的两个三角形相似；
C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似；
D、不能判定．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7．（2025春 芝罘区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】分别根据相似三角形的判定方法判断得出答案．
【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ADE∽△ABC，不合题意；
B、∵，∠B＝∠D，
∴△ADE∽△ABC，不合题意；
C、∵∠B＝∠D，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，不合题意；
D、无法得出△ABC与△ADE相似，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．
8．（2025秋 瑶海区校级期中）如图，DE∥AB，∠1＝∠3，则图中相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【考点】相似三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由DE∥AB，得△DEC∽△ABC，∠AED＝∠BAE，∠CED＝∠3，而∠1＝∠3，则∠CED＝∠1，可证明△AED∽△BAE，△DEC∽△EAC，△EAC∽△ABC，所以图中相似三角形共有4对，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，∠AED＝∠BAE，∠CED＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠CED＝∠1，
∵∠1＝∠3，∠AED＝∠BAE，
∴△AED∽△BAE，
∵∠CED＝∠1，∠C＝∠C，
∴△DEC∽△EAC，
∵∠1＝∠3，∠C＝∠C，
∴△EAC∽△ABC，
∴图中相似三角形共有4对，
故选：B．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理，不重复无遗漏地找出图中的相似三角形是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
9．（2024秋 鄞州区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，过点C作BC的垂线CD，点P在线段BC上运动，点Q在射线CD上运动，始终满足∠BAP＝∠CAQ，连结PQ，当△PCQ与△ABC相似时，线段BP的长是 　5或6.4　 ．
【考点】相似三角形的判定；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】5或6.4．
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB＝90°，根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB＝90°，所以可得∠ACD＝∠ABC，可证△ABP∽△ACQ，设BP＝x，则有PC＝10﹣x、，当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB．再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
由勾股定理得：，∠B+∠ACB＝90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC；
∵∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
∴，
设BP＝x，则有PC＝10﹣x，
∴，
∴；
∵过点C作BC的垂线CD，
∴CD⊥BC，∠BCD＝90°，
当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况讨论：
当△PCQ∽△BAC时，
∴，
∴，
解得：x＝5；
当△PCQ∽△CAB时，
∴，
∴，
解得：x＝6.4；
综上所述，线段BP的长是5或6.4．
故答案为：5或6.4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
10．（2024秋 惠民县期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 　2或5　 秒钟，△PBQ与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】2或5．
【分析】分△PBQ∽△ABC和△QBP∽△ABC两种情况解答即可．
【解答】解：设P、Q运动时间为t秒，
根据题意，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（10﹣t）cm，
当△PBQ∽△ABC时，则，
即，
解得：t＝5；
当△QBP∽△ABC时，则，
即，
解得：t＝2，
综上，当经过2或5秒钟，△PBQ与△ABC相似．
故答案为：2或5．
【点评】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键．
11．（2024秋 丰顺县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　或　 ．
【考点】相似三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】或．
【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
当△APD与△ABC相似时，
∵点D始终在边AC上，
根据折叠PB＝PD，
设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，
∴分两种情况：
①△APD∽△ABC，
此时∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
②△APD∽△ACB，
此时∠APD＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
综上，AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．
12．（2024秋 秦都区期末）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　 ．（只写一个）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【分析】由于△ABC和△AED有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【解答】解：根据题意，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴当∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
所以可添加的一个条件是∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 立山区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，点E，F分别在AC，BC上，且∠FAC＝∠EDA，∠ACD＝∠ADC，AF2＝BF CE．求证：△ABF∽△CDE．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】证明：∵∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACF，
在△ADE和△CAF中，
，
∴△ADE≌△CAF（ASA），
∴DE＝AF，
∵AF2＝BF CE，
∴，
∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC，∠CED＝∠DAE+∠EDA，
而∠ACF＝∠DAE，∠FAC＝∠EDA，
∴∠AFB＝∠CED，
而，
∴△ABF∽△CDE．
【分析】先由∠ACD＝∠ADC得到AD＝AC，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠ACF，再证明△ADE≌△CAF得到DE＝AF，接着根据比例的性质得到，然后证明∠AFB＝∠CED，从而根据相似三角形的判定方法得到结论．
【解答】证明：∵∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACF，
在△ADE和△CAF中，
，
∴△ADE≌△CAF（ASA），
∴DE＝AF，
∵AF2＝BF CE，
∴，
∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC，∠CED＝∠DAE+∠EDA，
而∠ACF＝∠DAE，∠FAC＝∠EDA，
∴∠AFB＝∠CED，
而，
∴△ABF∽△CDE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质．
14．（2024秋 紫金县期末）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CB＝9，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，
∴BC＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
15．（2024秋 洪雅县期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
【考点】相似三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【解答】解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则，t＝0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，t＝2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
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