5.1 投影(同步练习·含解析)-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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5.1 投影
一．选择题（共6小题）
1．（2025 永昌县校级三模）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点坐标为（0，3），则表示“天权”的点的坐标为（　　）
A．（5，﹣1） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5）
2．（2024秋 山东校级期末）有两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（　　）
A．平行投影
B．中心投影
C．既不是平行投影也不是中心投影
D．可能是平行投影也可能是中心投影
3．（2025 薛城区三模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 文登区期末）线段CD是线段AB的正投影，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB≥CD D．AB≤CD
5．（2024秋 运城期末）如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
6．（2025 乾安县模拟）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝0.3（dm），点光源到胶片的距离OE长为6（dm），CD长为4.3（dm），则胶片与屏幕的距离EF为（　　）dm．
A．86 B．84 C．80 D．78
二．填空题（共5小题）
7．（2024秋 揭西县期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 　 　 米．
8．（2025 景德镇模拟）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 　 　 投影．（填“平行”或“中心”）
9．（2024秋 运城期末）如图，灯光下有一个标语牌，小马同学在晚上用如下方法测量这个标语牌的高度：先量出标语牌在灯光下的影长，再找一根长度已知的竹竿，任意选定一个位置测量竹竿在这同一灯光下的影长，然后由标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比即可求出标语牌的高度，他的方法 　 　 正确的．（填“是”或“不是”）
10．（2024秋 赫章县期末）如图，皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．皮影戏中的“影”是　 　 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
11．（2024秋 榕城区期末）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置 　 　 （填“A”或“B”）的影子长一些．
三．解答题（共2小题）
12．（2024秋 张店区期末）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长．
13．（2024秋 横山区期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m，车宽AF＝1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，求汽车盲区EB的长度．
5.1 投影
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025 永昌县校级三模）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点坐标为（0，3），则表示“天权”的点的坐标为（　　）
A．（5，﹣1） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5）
【考点】平行投影；坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可．
【解答】解：由表示“摇光”的点的坐标为（﹣4，2）与表示“开阳”的点的坐标为（0，3）得：平面直角坐标系，如图：
可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（5，﹣1）；
故选：A．
【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．
2．（2024秋 山东校级期末）有两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（　　）
A．平行投影
B．中心投影
C．既不是平行投影也不是中心投影
D．可能是平行投影也可能是中心投影
【考点】中心投影；平行投影．
【答案】D
【分析】根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况．
【解答】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影．故选D．
【点评】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3．（2025 薛城区三模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心投影．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断．
【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点评】本题考查中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
4．（2024秋 文登区期末）线段CD是线段AB的正投影，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB≥CD D．AB≤CD
【考点】平行投影；比较线段的长短．
【专题】投影与视图；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正投影的概念即可解答．
【解答】解：当AB与投影面平行时，AB＝CD；
当AB与投影面不平行时，AB＞CD；
∴AB≥CD．
故选：C．
【点评】本题考查了正投影，熟练掌握正投影的概念是解题的关键．
5（2024秋 运城期末）如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【考点】平行投影；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行，即可得出结果．
【解答】解：∵太阳光是平行光，
∴投影后，矩形的影子的两组对应边仍然平行，
∵题中没说明阳光是从哪个角度射入，
∴影子为平行四边形；
故选：A．
【点评】本题考查平行投影，掌握其性质是解题的关键．
6（2025 乾安县模拟）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝0.3（dm），点光源到胶片的距离OE长为6（dm），CD长为4.3（dm），则胶片与屏幕的距离EF为（　　）dm．
A．86 B．84 C．80 D．78
【考点】中心投影．
【专题】图形的相似；投影与视图；运算能力．
【答案】C
【分析】证明△OAB∽△OCD，推出，构建方程求出EF即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∵OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴，
∴，
∴EF＝80（dm），
故选：C．
【点评】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．
二．填空题（共5小题）
7．（2024秋 揭西县期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 　5　 米．
【考点】中心投影．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用中心投影的性质得到AB∥OP，则可判断△CAB∽△CPO，然后利用相似三角形的性质求OP的长即可．
【解答】解：∵AB在路灯O的照射下形成投影AC，
∴AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴，
∵AB＝2m，AC＝3m，AP＝4.5m，
∴，
解得OP＝5，
即路灯的高度PO长是5米．
故答案为：5．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
8．（2025 景德镇模拟）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 　平行　 投影．（填“平行”或“中心”）
【考点】平行投影；平行线的判定．
【专题】数形结合；线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
【解答】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
9．（2024秋 运城期末）如图，灯光下有一个标语牌，小马同学在晚上用如下方法测量这个标语牌的高度：先量出标语牌在灯光下的影长，再找一根长度已知的竹竿，任意选定一个位置测量竹竿在这同一灯光下的影长，然后由标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比即可求出标语牌的高度，他的方法 　不是　 正确的．（填“是”或“不是”）
【考点】中心投影．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】不是．
【分析】根据平行投影，同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，中心投影，不存在这个性质，即可得出结论．
【解答】解：因为灯光是中心投影，
所以标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比不一定相等，
故他的方法不正确；
故答案为：不是．
【点评】本题考查投影，掌握其性质是解题的关键．
10．（2024秋 赫章县期末）如图，皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．皮影戏中的“影”是　中心投影　 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
【考点】中心投影；平行投影．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】中心投影．
【分析】中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影，据此求解即可．
【解答】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影．
故答案为：中心投影．
【点评】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型．
11．（2024秋 榕城区期末）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置 B （填“A”或“B”）的影子长一些．
【考点】中心投影．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】B．
【分析】根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可．
【解答】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长，
由图可知：位置B离路灯比位置A离路灯远，
∴在位置B的影子长些；
故答案为：B．
【点评】本题考查投影，解题的关键是掌握同一物体，离光源越远，影子越长．
三．解答题（共2小题）
12．（2024秋 张店区期末）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长．
【考点】平行投影．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；
（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系AB：DE＝BC：EF．计算可得DE＝14（m）．
【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∵∠ABC＝∠DEF＝90°
∴△ABC∽△DEF．
∴AB：DE＝BC：EF，
∵AB＝7m，BC＝4m，EF＝8
∴7：4＝DE：8
∴DE＝14（m）．
【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题．
13．（2024秋 横山区期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m，车宽AF＝1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，求汽车盲区EB的长度．
【考点】视点、视角和盲区；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形；运算能力．
【答案】12.6m．
【分析】过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M．理由相似三角形的性质求解．
【解答】解：如图2，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M．
∵3DF＝2AF，AF＝1.8m，
∴DF＝1.2m，
∵∠FDC＝90°，AF∥CD，
∴DF⊥DC
∵MN⊥DC，
∴DF＝MN＝1.2m，
∵PN＝1.4m，
∴PM＝PN﹣MN＝1.4﹣1.2＝0.2m
∵AF∥EB，
∴∠PFA＝∠E，∠PAF＝∠B，
∴△PAF∽△PBE，
根据相似三角形的性质可得：
，
∴，
∴EB＝12.6m
答：汽车盲区EB的长度为12.6m．
【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题．
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