期末培优 反比例函数的图象与性质(专项练习·含解析)-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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期末培优 反比例函数的图象与性质
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 北京期中）已知反比例函数的图象在各自的象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m≠3 C．m＜3 D．m＝3
2．（2025秋 哈尔滨期中）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，﹣2）
B．其函数图象关于y轴对称
C．其图象位于第二、第四象限
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
3．（2025 浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
4．（2025 天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
5．（2025 宿迁）如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　）
A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13
6．（2025秋 太湖县期中）已知，P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数图象上，且a＜0＜b，则下列正确的为（　　）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
7．（2025秋 瑶海区校级期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．5 B．10 C．﹣5 D．﹣1
8．（2025春 海淀区校级期中）如图所示是反比例函数图象的一部分，已知点P（2，3），则k的值可能是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 苏仙区期中）若函数y＝kx与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），则另一个交点的坐标是　 　 ．
10．（2025秋 苏仙区期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线，与双曲线相交于P1，P2，P3，P4，P5，得△OP1A1，△A1P2A2，△A3P4A4，△A4P5A5，设它们的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，S5按此规律，则S2025＝　 　 ．
11．（2025秋 哈尔滨期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OACB的顶点C在双曲线上，已知点A坐标（1，0），点B坐标（0，3），点D为双曲线上一点，且点D的横坐标大于1，DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，有如下结论：①k＝3；②∠COA＝∠CDE；③S△COD＝S四边形CAFD；④若OC＝OD，点P为x轴上一点，当PC+PD取最小值时，则点P坐标为．
上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ．
12．（2025 南山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 长沙期中）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y的图象交于点A（1，4），B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求三角形AOB的面积；
（3）直接写出不等式﹣x+b的解集．
14．（2025秋 桥东区期中）一次函数y＝kx+b图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点．
（1）求出这个一次函数关系式；
（2）根据函数图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．
15．（2025 巴中）如图，直线y＝kx+b与双曲线交于A（﹣2，6），B（﹣6，a）两点．
（1）求m和直线的表达式；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）求△ABO的面积．
期末培优 反比例函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 北京期中）已知反比例函数的图象在各自的象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m≠3 C．m＜3 D．m＝3
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内y随x的增大而减小，得出m﹣3＞0，然后求解即可．
【解答】解：∵反比例函数在各自象限内y随x的增大而减小，
∴m﹣3＞0，
∴m＞3，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2025秋 哈尔滨期中）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，﹣2）
B．其函数图象关于y轴对称
C．其图象位于第二、第四象限
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数性质逐项分析判断即可．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝2，所以其图象经过点（1，2），故选项不符合题意；
B、其函数图象关于原点成中心对称，故选项不符合题意；
C、其图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
3．（2025 浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象和性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0，
∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．
4．（2025 天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A（﹣3，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
又∵1＜3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
5．（2025 宿迁）如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　）
A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF＝DH，证明△AHD≌△CFB（AAS），则AD＝BC，再证明△EKD≌△AHD（AAS），则S△EKD＝S△AHD，ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，则，由AG∥y轴，得到，则，则S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝1，则可求，即可求解k2的值．
【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，
由条件可知，
∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴，
∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH，
由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等，
∴AB∥FH，
∴四边形DHFB为平行四边形，
∴BF＝DH，
∵AH∥x轴，
∴∠DAH＝∠BCF，
∵∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴AD＝BC，
在△EKD和△AHD中，
，
∴△EKD≌△AHD（AAS），
∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED，
∵AB＝3BC，
∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，
∴，
∴，
∵AG∥y轴，
∴，
∴，
∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1，
∴S△EKD＝S△AHD＝1，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴k2＝﹣12，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键．
6．（2025秋 太湖县期中）已知，P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数图象上，且a＜0＜b，则下列正确的为（　　）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质即可解答．
【解答】解：∵反比例函数，
∴k＝﹣4＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞0，
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0，
∴n＜0＜m，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（2025秋 瑶海区校级期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．5 B．10 C．﹣5 D．﹣1
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据2×2＝4，﹣3×（﹣3）＝9，且4＜k＜9，即可作答．
【解答】解：根据反比例函数的图象性质可知：
2×2＝4，﹣3×（﹣3）＝9，
结合图象得4＜k＜9，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025春 海淀区校级期中）如图所示是反比例函数图象的一部分，已知点P（2，3），则k的值可能是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图像确定k的可能值即可．
【解答】解：当反比例函数图象经过点P（2，3），k＝2×3＝6，
∵点P（2，3）在反比例函数图象的上方，
∴k的值可能是5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象，解题的关键是确定k的可能值，难度不大．
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 苏仙区期中）若函数y＝kx与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），则另一个交点的坐标是　（﹣1，﹣2026）　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（﹣1，﹣2026）．
【分析】正比例函数 y＝kx 和反比例函数 （k≠0）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可．
【解答】解：正比例函数 y＝kx 和反比例函数 （k≠0）的图象都关于原点对称，
∴它们的交点也关于原点对称，
∴另一个交点为 （﹣1，﹣2026）．
故答案为：（﹣1，﹣2026）．
【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．
10．（2025秋 苏仙区期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线，与双曲线相交于P1，P2，P3，P4，P5，得△OP1A1，△A1P2A2，△A3P4A4，△A4P5A5，设它们的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，S5按此规律，则S2025＝　　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：图形的变化类；反比例函数的性质．
【专题】规律型；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可．
【解答】解：由反比例函数k值的几何意义可知，
∴S1＝S＝2，，，
∵OA1＝A1A2，
∴，
∵OA1＝A1A2＝A2A3，
∴，
同理可得
以此类推，．
∴，
故答案为：．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．
11．（2025秋 哈尔滨期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OACB的顶点C在双曲线上，已知点A坐标（1，0），点B坐标（0，3），点D为双曲线上一点，且点D的横坐标大于1，DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，有如下结论：①k＝3；②∠COA＝∠CDE；③S△COD＝S四边形CAFD；④若OC＝OD，点P为x轴上一点，当PC+PD取最小值时，则点P坐标为．
上述结论中，所有正确结论的序号是 　①③④　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】①③④．
【分析】①依题意得点C的坐标（1，3），进而得k＝1×3＝3，据此可对该结论进行判断：
②设DE与AC相交于点P，由结论①正确得双曲线的表达为，设点D，其中a＞1，进而得CT＝AC﹣DF，DT＝DE﹣OA＝a﹣1，在Rt△CDT中，tan∠CDE3，在Rt△COA中，tan∠COA3，由此得∠COA＞∠CDE，据此可对该结论进行判断：
③根据反比例函数的比例系数k的几何意义得S△COA＝S△DOF，再根据S△OCD＝S△COA+S四边形CAFD﹣S△DOF得S△OCD＝S四边形CAFD，据此可对该结论进行判断：
④先求出点D的坐标为（3，1），延长DF到Q，使QF＝DF＝1，连接PQ，CQ，设CQ交x轴于点M，则x轴是DQ的垂直平分线，由此得PD＝PQ，则PC+PD＝PC+PQ，因此当PC+PQ为最小时，PC+PD为最小，再根据“两点之间线段最短”得PC+PD≥CQ，即当点P，C，Q共线时，PC+PD为最小，此时点P与点M重合，然后利用待定系数法求出直线CQ的表达为y＝﹣2x+5，由此得点P为，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵点A坐标（1，0），点B坐标（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
∵四边形OACB的顶点C在双曲线上，
∴AC＝OB＝3，
∴点C的坐标（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故结论①正确：
②设DE与AC相交于点P，如图1所示：
∴结论①正确，
∴双曲线的表达为：y（x＞0），
∵点D为双曲线上一点，且点D的横坐标大于1，
∴设点D的坐标为，其中a＞1，
∵DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
∴DE＝a，DF，
∴CT＝AC﹣DF，DT＝DE﹣OA＝a﹣1，
在Rt△CDT中，tan∠CDE，
∵a＞1，
∴3，
∴tan∠CDE＜3，
在Rt△COA中，OA＝1，AC＝3，
∴tan∠COA3，
∴an∠COA＞tan∠CDE，
即∠COA＞∠CDE，
故结论②不正确；
③根据反比例函数的比例系数k的几何意义得：S△COA＝S△DOF，
∵S△OCD＝S△COA+S四边形CAFD﹣S△DOF，
∴S△OCD＝S四边形CAFD，
故结论③正确；
④∵点C的坐标为（1，3），
∴OC2＝12+32＝10，
设点D的坐标为，其中a＞1，
∴OD2，
∵OC＝OD，
∴，
整理得：a4﹣10a2+9＝0，
∴（a2﹣1）（a2﹣9）＝0，
∵a＞1，
∴a2﹣1＞0，
∴a2﹣9＝0，
解得：a＝3，a＝﹣3（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为（3，1），
延长DF到Q，使QF＝DF＝1，连接PQ，CQ，设CQ交x轴于点M，如图2所示：
∴点Q的坐标为（3，﹣1），
∵DF⊥x轴于点F，
∴x轴是DQ的垂直平分线，
∴PD＝PQ，
∴PC+PD＝PC+PQ，
∴当PC+PQ为最小时，PC+PD为最小，
根据“两点之间线段最短”得：PC+PD≥CQ，
∴当点P，C，Q共线时，PC+PD为最小，即PC+PD为最小，此时点P与点M重合，
设直线CQ的表达为：y＝mx+n，
将点C（1，3），点Q（3，﹣1）代入y＝mx+n之中得：，
解得：，
∴直线CQ的表达为：y＝﹣2x+5，
对于y＝﹣2x+5，当y＝0时，x，
∴点M的坐标为，
∴点P的坐标为，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的性质，待定系数法求函数的表达式，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
12．（2025 南山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】作高，由等腰三角形的性质可得S△AODS△AOC|k|，进而求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D，
∵AC＝AO，
∴CD＝DO，
∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵S△ABC＝12，
∴S△AOC6，
∴S△AODS△AOC|k|，
又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，理解正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称是解决问题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 长沙期中）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y的图象交于点A（1，4），B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求三角形AOB的面积；
（3）直接写出不等式﹣x+b的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）一次函数解析式为y＝﹣x+5，反比例函数解析式为；
（2）；
（3）x＜0或1＜x＜4．
【分析】（1）将A（1，4）代入一次函数和反比例函数，得到一次函数和反比例函数的解析式；
（2）先求出点B坐标，再求出三角形AOB的面积；
（3）根据图象，得出不等式的解集．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入一次函数y＝﹣x+b，
∴解得：b＝5，
把A（1，4）代入反比例函数，
∴解得：k＝4，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+5，反比例函数解析式为；
（2）联立
解得：
∴B（4，1）．
直线AB与y轴的交点坐标为（0，5），
∴；
（3）由图象可得，的解集为x＜0或1＜x＜4．
【点评】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，掌握一次函数和反比例函数的综合知识是解题的关键．
14．（2025秋 桥东区期中）一次函数y＝kx+b图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点．
（1）求出这个一次函数关系式；
（2）根据函数图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）一次函数为y＝﹣x+1；
（2）﹣1＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交点A（﹣1，2），B（2，﹣1），即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（﹣1，m），B（n，﹣1），
∴﹣1×m＝n×（﹣1）＝﹣2，
∴m＝n＝2，
∴A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴将A（﹣1，2）B（2，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+1；
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，
∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞2．
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．
15．（2025 巴中）如图，直线y＝kx+b与双曲线交于A（﹣2，6），B（﹣6，a）两点．
（1）求m和直线的表达式；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）求△ABO的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据图象直接写出不等式的解集即可；
（3）根据直线解析式求出点C坐标，再根据三角形面积公式代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6）在双曲线上，
∴m＝﹣2×6＝﹣12，
又∵B（﹣6，a）在双曲线上，
∴﹣6a＝﹣12，
解得a＝2，
A、B在直线y＝kx+b上，
∴代入，得，
解得，
∴y＝x+8；
（2）由图可知，，
不等式时，﹣6＜x＜﹣2；
（3）设直线AC与x轴交于点C，
当y＝0时．x+8＝0，
∴x＝﹣8，
∴点C的坐标为（﹣8，0），
∴
＝24﹣8
＝16，
故△ABO的面积为16．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
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