期末培优 概率的进一步认识(专项练习·含解析)-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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期末培优 概率的进一步认识
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 沁源县期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中S1，S2，S3，S4表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 神木市期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在0.4，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（　　）
A．18张 B．12张 C．10张 D．8张
3．（2024秋 海曙区期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
4．（2025秋 富锦市期中）一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（2024秋 莒南县期末）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（　　）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
6．（2025秋 昌图县期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 50 100 150 200 250 …
“有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 …
“有2个人同月过生日”的频率 0.94 0.95 0.953 0.955 0.952 …
通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　）
A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97
7．（2025秋 酒泉期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在2.5%左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（　　）
A．600条 B．1000条 C．1200条 D．2200条
8．（2025秋 怀宁县期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（　　）个
A．15 B．8 C．16 D．18
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 安福县期末）一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则估计红球的个数约为 　 　 个．
10．（2025秋 北镇市期中）在一个不透明的袋子中装有若干个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同．摇匀后每次随机从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数约为　 　 ．
11．（2025秋 白银期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数 200 500 800 2000 12000
成活的棵数 187 446 730 1790 10836
由此可以估计这种苹果树苗移植成活的概率为　 　 （精确到0.1）．
12．（2025秋 凌海市期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有　 　 个白球．
13．（2024秋 花都区期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 　 　 个．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 邯郸期中）将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　 　 ；
（2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
15．（2025 前郭县三模）剪纸传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念等．剪纸艺术遗产先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．为体验和传承剪纸艺术，小华利用假期去学习了剪纸艺术，在老师的帮助下小华剪了如图所示的“A．鹿鹤同春、B．连年有余、C．龙腾盛世、D．喜鹊登梅”四幅剪纸，他把这四幅剪纸分别装在四个相同的不透明的袋子里．（B、C是圆形剪纸，A、D不是圆形剪纸）
（1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C．龙腾盛世的概率是 　 　 ；
（2）小华从四个袋子中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个袋子中随机抽取一个，请用画树状图或列表法，求小华抽到的均是圆形剪纸的概率．
期末培优 概率的进一步认识
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 沁源县期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中S1，S2，S3，S4表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
S1 S2 S3 S4
S1 ﹣ （S1，S2） （S1，S3） （S1，S4）
S2 （S2，S1） ﹣ （S2，S3） （S2，S4）
S3 （S3，S1） （S3，S2） ﹣ （S3，S4）
S4 （S4，S1） （S4，S2） （S4，S3） ﹣
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，
∴灯泡发光的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2025秋 神木市期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在0.4，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（　　）
A．18张 B．12张 C．10张 D．8张
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用抽到“中秋”主题贺卡的频率估计抽到“中秋”的概率，再根据频率＝频数÷总数进行计算即可．
【解答】解：30×（1﹣0.4）＝18（张），
故选：A．
【点评】本题考查利用频率估计概率，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．
3．（2024秋 海曙区期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据抛硬币正面朝上的概率和总抛掷次数确定答案即可．
【解答】解：∵抛掷硬币实验中，正面朝上的概率为，
∴抛掷硬币24000次时，正面朝上约为2400012000次，
只有B选项最接近，
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．
4．（2025秋 富锦市期中）一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，求出摸到红球的概率，然后根据概率进行计算即可．
【解答】解：∵共试验100次，其中有60次摸到红球，
∴红球所占的比例为：，
∴（个），
∴袋中红球的个数约为6个．
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5．（2024秋 莒南县期末）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（　　）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是1000×0.620＝620，选项A符合题意；
当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，选项B不合题意；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．选项C符合题意；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
6．（2025秋 昌图县期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 50 100 150 200 250 …
“有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 …
“有2个人同月过生日”的频率 0.94 0.95 0.953 0.955 0.952 …
通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　）
A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】B
【分析】当试验次数大量增加时，频率稳定在概率附近，从表格数据看，频率在0.95附近波动，因此估计概率为0.95．
【解答】解：根据题意得：试验次数增加时，“有2个人同月过生日”的频率稳定在0.95附近，
∴估计该概率为0.95，
故选：B．
【点评】该题考查了用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．（2025秋 酒泉期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在2.5%左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（　　）
A．600条 B．1000条 C．1200条 D．2200条
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：30÷2.5%＝1200（条）．
答：估计鱼塘中鱼的条数为1200条；
故选：C．
【点评】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
8．（2025秋 怀宁县期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（　　）个
A．15 B．8 C．16 D．18
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】A
【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【解答】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，
∴，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 安福县期末）一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则估计红球的个数约为 　60　 个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】60．
【分析】根据部分的具体数目＝总体数目×相应频率直接计算即可求解．
【解答】解：估计红球的个数约为200×30%＝60个，
故答案为：60．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，理解实验次数较大时，事件发生的频率即为事件发生的概率是解题的关键．
10．（2025秋 北镇市期中）在一个不透明的袋子中装有若干个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同．摇匀后每次随机从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数约为　6　 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】6．
【分析】先用白球的个数除以摸到白球的频率稳定值求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.6左右，
∴摸到白球的频率稳定在0.4左右，
由题意知，袋中球的总个数约为4÷0.4＝10（个），
所以袋子中有红球10﹣4＝6（个）．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．（2025秋 白银期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数 200 500 800 2000 12000
成活的棵数 187 446 730 1790 10836
由此可以估计这种苹果树苗移植成活的概率为　0.9　 （精确到0.1）．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】0.9．
【分析】利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可得出答案．
【解答】解：由表格数据可得，0.935，0.892，0.9125，0.895，0.903，
∴这种树苗移植成活的概率稳定在0.9左右，
故这种苹果树苗移植成活的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
12．（2025秋 凌海市期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有　12　 个白球．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】用红球个数除以红球的频率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：由题意知，盒子中球的总个数约为3÷0.2＝15（个），
则盒子种白球个数约为15﹣3＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（2024秋 花都区期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 　16　 个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8，
∴发现摸到白球的频率稳定于0.8，
设白球的个数有x个，
根据题意，得：0.8，
解得x＝16，
经检验x＝16是分式方程的解，
∴估计箱子里白球的个数为16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 邯郸期中）将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　　 ；
（2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，
∴P（牌面是偶数）；
故答案为：；
（2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，作树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好是4的倍数的为：24，32，44，52，共有4种，
∴．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（2025 前郭县三模）剪纸传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念等．剪纸艺术遗产先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．为体验和传承剪纸艺术，小华利用假期去学习了剪纸艺术，在老师的帮助下小华剪了如图所示的“A．鹿鹤同春、B．连年有余、C．龙腾盛世、D．喜鹊登梅”四幅剪纸，他把这四幅剪纸分别装在四个相同的不透明的袋子里．（B、C是圆形剪纸，A、D不是圆形剪纸）
（1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C．龙腾盛世的概率是 　　 ；
（2）小华从四个袋子中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个袋子中随机抽取一个，请用画树状图或列表法，求小华抽到的均是圆形剪纸的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小华抽到的均是圆形剪纸的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C．龙腾盛世的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小华抽到的均是圆形剪纸的结果有2种，
∴小华抽到的均是圆形剪纸的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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