2026年高考数学一轮复习专题课件：数列的综合应用(共35张PPT)

(共35张PPT)
　数列的综合应用
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
题型一　 数列的实际应用
(人教A版选修二P38例11)去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)．
【答案】　见解析
【思路】　由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．
【解析】　设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则
an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)
＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…＋6＋1.5n)
当n＝5时，S5≈63.5.
所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
状元笔记
在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型，或等差数列、等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理．
思考题1　(2025·重庆一中模拟)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，In表示第n周的虫害指数，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列{In}满足In＋1＝1.02In－0.20；
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列{In}满足In＋1＝1.08In－0.46.
当某周的虫害指数小于1时，危机就在这周解除．
(1)设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更低？
【答案】　(1)见解析　
【解析】　(1)由题意可知，使用策略A时，I2＝1.02I1－0.20.使用策略B时，I2＝1.08I1－0.46.
(2)设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？
【答案】　(2)第9周
题型二　 等差、等比数列的综合运算
(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令
记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
【答案】　(1)an＝3n
【解析】　方法一：(1)3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d.
方法二：(1)3a2＝3a1＋a3 3(a1＋d)＝3a1＋a1＋2d，可得a1＝d，则an＝nd，
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
【解析】　方法一：(2)a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴12(a1＋2d)a1＝2(a1＋d)(a1＋2d)＋12a1(a1＋d)，
∴a12－3a1d＋2d2＝0，∴a1＝2d或d.
下面进行验证：
整理可得(a1－d)(a1－2d)＝0，故a1＝d或a1＝2d，
状元笔记
高考命制数列综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，两者之间相互联系、相互转化，破解这类问题的关键是寻找通项公式．
思考题2　(人教A版选修二P56T11)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式．
【答案】　(1)an＝2×3n－1
【解析】　(1)由an＋1＝2Sn＋2，可得an＝2Sn－1＋2(n≥2)，
两式相减可得an＋1＝3an(n≥2)，
由于{an}为等比数列，可得a2＝3a1＝2S1＋2＝2a1＋2，
解得a1＝2，所以an＝2×3n－1.
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】　(2)不存在，理由见解析
【解析】　(2)由(1)可知an＝2×3n－1，an＋1＝2×3n.
因为an＋1＝an＋(n＋1)dn，
所以 ，
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则dk2＝dmdp，
因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k，
从而(*)可以化简为k2＝mp.
可得k＝m＝p，这与题设矛盾．
所以数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．
题型三　 数列与不等式的综合应用
　 (2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，

记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
【答案】　(1)an＝2n＋3
设{an}的公差为d，
∴an＝5＋2(n－1)＝2n＋3.
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【答案】　(2)证明见解析
∴当n>5时，Tn>Sn.
综上，当n>5时，Tn>Sn.
状元笔记
已知数列不等式恒成立求参数范围的综合问题的解题策略有：①分离参数法：对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题，优先考虑分离参数，再转化为最值问题处理；②单调性法：对于与数列单调性有关的不等式恒成立问题，可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式，再求参数范围；③最值(有界性)法：对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题，一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界)，进而求出参数范围．
【答案】　(1)证明见解析
(2)求{an}的通项公式；
【答案】　(3)证明见解析
题型四　 数列中的新定义问题
(2024·新课标Ⅰ卷，节选)设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj(i(1)写出所有的(i，j)，1≤i【答案】　(1)(1，2)，(1，6)，(5，6)
【解析】　(1)满足题意的(i，j)为(1，2)，(1，6)，(5，6)．
(2)当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是(2，13)－可分数列．
【答案】　(2)证明见解析
【解析】　(2)证明：当m＝3时，删去a2，a13，其余项可分为以下3组：a1，a4，a7，a10为第1组，a3，a6，a9，a12为第2组，a5，a8，a11，a14为第3组．
当m>3时，删去a2，a13后，a15，a16，…，a4m＋2中每连续4项可分为一组，
而a1，a4，a7，a10可作为一组，a3，a6，a9，a12可作为一组，a5，a8，a11，a14也可作为一组，所以当m≥3时，数列a1，a2，…，a4m＋2是(2，13)－可分数列．
状元笔记
数列中的新定义问题的解题步骤：①读懂定义，理解新定义数列的含义；②通过特例列举(一般是前面一些项)寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系进行求解．
√
思考题4　【多选题】(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，则(　　)
A．ω(2n)＝ω(n) B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1
C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3) D．ω(2n－1)＝n
√
√
【解析】　因为2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以ω(2n)＝ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，A正确；
当n＝2时，2n＋3＝7＝1×20＋1×21＋1×22，所以ω(7)＝3.因为2＝0×20＋1×21，所以ω(2)＝0＋1＝1，所以ω(7)≠ω(2)＋1，B错误；
因为8n＋5＝a0×23＋a1×24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1×20＋1×22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以ω(8n＋5)＝a0＋a1＋…＋ak＋2，
因为4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1×20＋1×21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2，所以ω(4n＋3)＝a0＋a1＋…＋ak＋2＝ω(8n＋5)，C正确；
因为2n－1＝1×20＋1×21＋…＋1×2n－1，所以ω(2n－1)＝n，D正确．