《二次函数与一元二次方程》随堂检测
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )6
m，BC＝12
m，点P从点A出发沿AB边向B以1
m/s的速度运动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2
m/s的速度运动，P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止运动．设经过t
(s)时△PBQ的面积为S
m2，则刻画
S与
t之间关系的函数表达式是S＝－
t2＋
6t，则当
t＝1时，S＝________，它的实际意义是________________________；当t＝0和t＝6时，S＝0，这时，它的实际意义是________________________；当t＝________时，S＝5．
2．求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标，并作草图验证：
(1)
y＝x2－2x；
(2)
y＝－x2＋4；
(3)
y＝x2－2x－3；
(4)
y＝3x2－2x－1；
(5)
y＝6x2＋x－1．
3．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足．
(1)经过多长时间，炮弹到达它的最高点？最高点的高度是多少？
(2)经过多长时间，炮弹落到地上爆炸？
思考·探索·交流
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a
( http: / / www.21cnjy.com )≠0)的图象与x轴可能有两个交点、一个交点、没有交点三种情况．你能利用a，b，c之间的某种关系判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点情况吗？
参考答案：
1．5，运动1
s后，△PBQ的面积为5
m2；点P，B，Q在一条直线上
(表述方式不惟一)
；1或5．
2．
(1)
(0，0)
(2，0)
；
(2)
(2，0)
(－2，0)
；
(3)
(－1，0)
(3，0)
；
(4)
(1，0)
；
(5)．
3．
(1)
25
s，125
m；
(2)
50
s．
思考·探索·交流
答案：
1．当b2－4ac＞0时，有两个交点；
当b2－4ac＝0时，有一个交点；
当b2－4ac＜0时，没有交点．《二次函数与一元二次方程》同步练习
课堂学习检测
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝________．
2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．
3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．
4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．
6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．
二、选择题
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(
)
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A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
8．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点(
)
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点
9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是(
)
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A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是(
)
A．a＞0， ＞0
B．a＞0， ＜0
C．a＜0， ＞0
D．a＜0， ＜0
三、解答题
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．
12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为______．
14．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为
二、选择题
15．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是(
)
A．0
B．1
C．2
D．－1
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴(
)
A．有两个交点
B．有一个交点
C．没有交点
D．可能有一个交点
17．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为(
)
A．0
B．－1
C．2
D．
18．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是(
)
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A．无实根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
19．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)，与x轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)，若a＞0，则函数解析式为(
)
A．
B．
C．
D．
20．若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是(
)
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
三、解答题
21．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
－1
0
1
2
3
y
－2
1
2
1
－2
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个______．
①
②
③
④
22．m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点
23．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m
(1)有公共点；(2)没有公共点．
拓展、探究、思考
24．已知抛物线y＝－x2－(m－4)x＋3(m－1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求m的取值范围．
(2)若m＜0，直线y＝kx－1经过点A并与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式．
参考答案
1．≥0，y＝a(x－x1)(x－x2)．
2．
3．且m≠0．
4．0．
5．(－1，0)．
6．一．
7．D．
8．B．
9．C．
10．D．
11．y＝2x2＋2x－4．
12．或y＝2x2＋2x－4．
13．4，(1，9)．
14．
15．C．
16．A．
17．C．
18．D．
19．B．
20．A．
21．(1)开口向下，顶点(1，2)，(2)③．
22．
23．由x2－x－m＝0(1)当 ＝1＋4m≥0，即时两线有公共点．
(2)当 ＝1＋4m＜0，即时两线无公共点．
24．(1) ＝(m＋2)2＞0，∴m≠－2；
(2)m＝－1，∴y＝－x2＋5x－6．《二次函数与一元二次方程》同步习题
一、课前预习
1.二次函数y=－x2+4x－3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为（
）
A．6
B．
4
C．3
D．1
2．当a＞0，Δ=b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a__________0，Δ=
b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负．
3．已知一抛物线与x轴的交点为A（－
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0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=－1，mn=－12，则此抛物线关系式是__________．
二、课中强化
1．抛物线y=ax2+b
( http: / / www.21cnjy.com )x+c（a≠0）和直线y=kx+d（k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．
2．抛物线y=ax2+b
( http: / / www.21cnjy.com )x+c（a＞0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1
3．利用图象求下列一元二次方程的近似值.
(1)x2+x－10=0;
(2)2x2－3x+1
4．已知抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过坐标原点O．
（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；
（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数的解析式．
5．已知抛物线y=x2－mx+与抛物线y=x2+mx－m2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x轴交于A、B两点．
（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．
（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式．
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图26－2－1
三、课后巩固
1．二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是（
）
A．y=2(x－4)(x+2)
B．y=2(x+4)(x－1)
C．y=2(x－4)(x－1)
D．y=2(x－4)(x+1)
2．已知抛物线的顶点到x轴的距离为3，且与x轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．
3．求下列二次函数与x轴的交点：
(1)
y=x2+4x－5;
(2)
y=－x2+x+2;
(3)
y=x2－3x;
(4)y=x2－6x+10.
4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.
5．如图26－2－2，抛物线y=(x+1)2－2，
（1）设此抛物线与x轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标；
（2）有一条直线y=x－1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；
（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使S△ABP=2 若存在,则有几个这样的点P 并写出它们的坐标．
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图26－2－2
6．已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；
（3）设A,B两点的距离d=·｜x1－x2｜,试用含a的代数式表示d.
7．画出函数y=x2－4x－3的图象，根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）方程x2－4x－3=0的解是什么？
（3）不等式x2－4x－3>0，x2－4x－3<0的解是什么？
8．某医药研究所进行某一新药研发，经
( http: / / www.21cnjy.com )过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10－3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．
（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．
（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）
9．已知二次函数y=x2+px+q(p
( http: / / www.21cnjy.com ),q为常数，Δ=p2－4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2－5x+6及图象(如图26－2－3)，可得出表中第2行的相关数据．
y=x2+px+q
p
q
Δ
x1
x2
d
y=x2－5x+6
－5
6
1
2
3
1
y=x2－x
y=x2+x－2
－2
－2
3
(1)在表内的空格中填上正确的数；
(2)根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)证明你的猜想.
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图26－2－3
10．已知m,n是方程x2－6x+5=0
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根，且m(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()〕
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2?3的两部分，请求出P点的坐标．
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图26－2－4
参考答案
一、课前预习
1．答案：C
解析：解方程－x2+4x－3=0,得A、B为（1，0）、（3，0），当x=0时，
y=
－3，所以C为（0，－3），所以△ABC的面积为×3(3－1)=3.
2．答案：<
<
<
解析：当a＞0时，二次函数y=ax2+
( http: / / www.21cnjy.com )bx+c的图象开口向上，若与x轴无交点，则其值恒为正；当a<0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与x轴无交点，则其值恒为负．
3．答案：y=x2－2x－3
解析：由题意，得m、n为方程x2+x－12=0的两根，∴
解得m=－4，n=3或m=3，n=－4．又∵(1，n)在第四象限，∴n<0．
∴m=3，n=－4，即B(3,0)，C（1，－4）．
设抛物线的关系式为y=a(x－3)(x+1)．把（1，－4）代入上式，得
－4＝a（1－3）（1+1），
∴－4a＝－4.∴a＝1．
∴y＝（x－3）(x+1)=x2－2x－3．
二、课中强化
1．
答案：（b－k）2－4a(c－d)>0；（b－k）2－4a(c－d)=0；（b－k）2－4a(c－d)<0
解析：图象有无交点或有几个交点，取决于两个方程组的解的情况．
2．
答案：x>x2或xx1解析：抛物线在x轴上方的范围是y>0，抛物线
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解：略．
解析：作图象要尽量精确一些，与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值．
4．
解:(1)∵抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过原点，∴n+1=0．
∴n=－1．
得y=x2－4x，即y=x2－4x=(x－2)2－4．
∴抛物线的顶点P的坐标为（2，－4）．
（2）根据题意，得点A的坐标为（4，0）．
设所求的一次函数解析式为y=kx+b．根据题意，得解得
∴所求的一次函数解析式为y=2x－8．
5．
解析：(1)经过A、B两点的抛物线的Δ＞：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.
解法一：（1）y=x2－mx+,中Δ1=m2－2m2=－m2．
∵抛物线不过原点，∴m≠0.∴－m2<0.∴Δ1<0．
∴抛物线y=x2－mx+与x轴无交点．
∴y=x2+mx－
m2经过A、B两点．
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，
∴OA=－x1，OB=x2．
又∵,∴，
即3（x1+x2）=2x1x2．
又∵x1、x2是方程x2+mx－m2=0的两根，∴x1+x2=－m，x1x2=－m2．
∴－3m=
m2．∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2．
∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x－3．
解法二：（1）∵两条抛物线都不过原点，
∴m≠0．抛物线y=x2－mx+与y轴交于(0，)．
∵>0，∴抛物线y=x2－mx+不经过A、B点．
抛物线y＝x2+mx－m2与y轴交于（0，－m2），－m2<0，
∴抛物线y=x2+mx－m2经过A、B两点．
（2）同解法一中的（2）．
三、课后巩固
1．答案：C
解析：由二次函数两点式y=a(x－x1)(x－x2)，a=2,x1=1,x2=4即得.
2．答案：y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24
解析：已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(x－x1)(x－x2)或一般式求其解析式．
∵抛物线与x轴交于（4，0），（2，0），
∴设y=a(x－4)(x－2)=a(x2－6x+8)=ax2－6ax+8a．
顶点到x轴距离为3，即顶点纵坐标为3或－3，
∴=3或=－3.
解得a=－3或a=3．∴y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24．
注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.
3．解析：令y=0,求解关于x的一元二次方程．
答案：（1）（1，－5）;（2）（－1，2）;（3）（0，3）;（4）不存在.
注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况．
4．解:（1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入,得
所以，解析式为y=x2－x+m(m≠－1)．
（2）二次函数与x轴有两个相异的交点，即
Δ=b2－4ac=()2－4m()>0，
解得m≠1.又m≠－1,得m≠±1.
5．
解：（1）A（－3,0），B（1,0）．
（2）交点坐标为（1,0）和（－1，－2）．
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（3）设P点坐标为（a，b）,则△ABP中，AB边上的高为｜b｜，
又S△ABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=－1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为
P(－1,1);P(－1,1);P(－1,－1);P(－1,－1)．
6．解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2－ax－5=0,
∵Δ=(－a)2－4×2×(－5)=a2+40>0，∴方程有两个不相等的实数根．
∴不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点．
（2）∵x1、x2是方程2x2－ax－5=0的两个根,∴x1+x2=,x1x2=．
点P的纵坐标为(x1+x2)+5=·+5=+5．
（3）∵x1+x2=,x1x2=．
∴｜x1－x2｜=.
∴d==.
7．
解：图象如图所示．
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（1）x1≈4.6，x2≈－0.65，
∴抛物线与x轴交点坐标为（4.6，0），（－0.65，0）．
（2）x1≈4.6，x2≈－0.65．
（3）不等式x2－4x－3>0的解为x<－0.65或x>4.6；
不等式x2－4x－3<0的解为－0.658．
解：（1）由题意得，函数图象经过（0，0），（2，6），（3，7.5），将它们代入y=ax2+bx+c,
得
( http: / / www.21cnjy.com )解之,得所以y=－x2+4x．
（2）y=－x2+4xy=－（x－4）2+8，
所以x=4时，y最大=8．
（3）当y=0时,x1=8,x2=0（舍去）．
9．解：(1)第二行q=0,x1=0；d=；第三行p=1,△=9，x2=1；
(2)猜想：d2=Δ.
例如：y=x2－x－2中,p=－1,q=－2,Δ=9;
由x2－x－2=0得x1=2，x2=－1,d=3,d2=9,
∴d2=Δ．
(3)证明:令y=0，得x2+px+q=0，∵Δ>0，
设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=－p,x1·x2=q．
d2=(｜x1－x2｜)2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=(－p)2－4q=p2－4q=Δ.
10．解:（1）解方程x2－6
( http: / / www.21cnjy.com )x+5=0，得x1=5,x2=1.由m得解这个方程组得
所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,
所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．
（3）设P点的坐标为（a,0），
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．
由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.
②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，
解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），P点的坐标为(－,0)或(－,0)．《二次函数与一元二次方程》同步练习
●基础巩固
1.如果抛物线y=－2x2+mx－3的顶点在x轴正半轴上，则m=______.
2.二次函数y=－2x2+x－，当x=______时，y有最______值，为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示.
①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.
图1
图2
4.某一元二次方程的两个根分别为x1=－
( http: / / www.21cnjy.com )2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)
5.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2
( http: / / www.21cnjy.com )x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).
6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则
( http: / / www.21cnjy.com )具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
7.如图2，一小孩将一只皮
( http: / / www.21cnjy.com )球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1
m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1
m).
8.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(
( http: / / www.21cnjy.com )a≠0)的图象如图所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).
( http: / / www.21cnjy.com )
10.等腰梯形的周长为60
cm，底角为60°，当梯形腰x=______
时，梯形面积最大，等于______.
11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.
(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.
(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.
(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.
(4)在220
V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.
( http: / / www.21cnjy.com )12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.
13.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（
）
①当c=0时，函数的图象经过原点;
②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;
③函数的图象最高点的纵坐标是;
④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
14.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c－8=0的根的情况是（
）
A.有两个不相等的正实数根
;
B.有两个异号实数根;
C.有两个相等的实数根
;
D.没有实数根.
15.抛物线y=kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A.k>－;
B.k≥－且k≠0;
C.k≥－;
D.k>－且k≠0
16.如图6所示，在一个直角三角形
( http: / / www.21cnjy.com )的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x
m，长方形的面积为y
m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（
）
A.
m
B.6
m
C.15
m
D.
m
图4
图5
图6
17.二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为（
）
A.1
B.3
C.4
D.6
18.无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2－m)x+m的图象总过的点是（
）
A.(－1，0);
B.(1，0)
C.(－1，3)
;
D.(1，3)
19.为了备战2008奥运会，中国
( http: / / www.21cnjy.com )足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是（
）
①a<－
②－③a－b+c>0
④0A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
20.把一个小球以20
m/s的速度竖直向上
( http: / / www.21cnjy.com )弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t－5t2.当h=20
m时，小球的运动时间为（
）
A.20
s
B.2
s
C.(2+2)
s
D.(2－2)
s
21.如果抛物线y=－x2
( http: / / www.21cnjy.com )+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是（
）
A.m>1
B.m>－1
C.m<－1
D.m<1
22.如图7，一次函数y
( http: / / www.21cnjy.com )=－2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象过点c且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（
）
A.(－，)
B.(－，)
C.(，)
D.(，－)
23.某乡镇企业现在年产值是15万元，
( http: / / www.21cnjy.com )如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为（
）
A.y=25x+15
B.y=2.5x+1.5
C.y=2.5x+15
D.y=25x+1.5
24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（
）
A.6
m
B.12
m
C.8
m
D.10
m
图7
图8
图9
25.某幢建筑物，从10
m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M离墙1
m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（
）
A.2
m
B.3
m
C.4m
D.5
m
26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.
(1)y=x2+x+1;
(2)y=4x2-8x+4;
(3)y=-3x2-6x-3;
(4)y=-3x2-x+4
27.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图像有什么关系
试把方程的根在图像上表示出来.
28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.
(1)4x2-8x+1=0;
(2)x2-2x-5=0;
(3)2x2-6x+3=0;
(3)x2-x-1=0.
29.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A,
C
两点.
求△ABC的周长和面积.
●能力提升
30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
31.已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y=x+1上，求这个二次函数的表达式.
32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50
m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x
m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所
( http: / / www.21cnjy.com )受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;
(1)列表表示I与v的关系.
(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？
34.如图7，一位运动员在距篮下4
( http: / / www.21cnjy.com )米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.
35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品
( http: / / www.21cnjy.com )，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)
(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.
36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？
●综合探究
37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养
( http: / / www.21cnjy.com )，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000
kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10
kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000
kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
38.图中a是棱长为a的小正方体，图b
( http: / / www.21cnjy.com )、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
S
1
3
6
…
(2)写出当n=10时，S=______;
(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;
(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.
参考答案
1.2
2.
大
－
没有
3.①x2－2x
②3或－1
③<0或>2
4.
y=x2－3x－10
5.
m>?
无解
6.y=－x2+x－1
最大
7.y=－x2+2x+1
16.5
8.
2
9.b2－4ac>0(不唯一)
10
.
15
cm
cm2
11.(1)A
(2)D
(3)C
(4)B
12.
5
625
13.B
14.C
15.B
16.D
17.B
18.D
19.B
20.B
21.B
22.A
23.C
24.D
25.B〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)2+k,
∴A(0，10)，M(1，).
∴y=a(x－1)2+，10=a+.
∴a=－.
∴y=－(x－1)2+.
令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),
即B点离墙的距离OB是3
m
26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点(
1,0),(,0),草图略.
27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.
28.(1)x1≈1.
( http: / / www.21cnjy.com )9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0
.6
29.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=,BC=,
OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
30．(1)y=－2x2+180x－2800.
(2)y=－2x2+180x－2800
=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
当x=45时，y最大=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
31．∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上.
∴y=×2+1=2.
∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2，2).
∴－=2.∴－=2.
解得m=－1或m=2.
∵最高点在直线上，∴a<0,
∴m=－1.
∴y=－x2+4x+n顶点为(2，2).
∴2=－4+8+n.∴n=－2.
则y=－x2+4x+2.
32(1)依题意得
鸡场面积y=－
∵y=－x2+x=(x2－50x)
=－(x－25)2+,
∴当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25
m时，其面积最大为m2.
(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.
∴y=·x=－x2+x
=－(x2－50x)
=－(x－25)2+,
当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25
m时，鸡场面积为
m2.
结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25
m.
33(1)如下表
v
…
－2
－1
－
0
1
2
3
…
I
…
8
2
0
2
8
18
…
(2)I=2·(2v)2=4×2v2 .
当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.
34(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).
∴抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h
m，则球出手时，球的高度为
h+1.8+0.25=(h+2.05)
m,
∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).
35
(1)信息：
①1、2月份亏损最多达2万元.
②前4月份亏盈吃平.
③前5月份盈利2.5万元.
④1~2月份呈亏损增加趋势.
⑤2月份以后开始回升.(盈利)
⑥4月份以后纯获利.
……
(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为
y=(x－2)2－2,
当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).
36．设m=a+b
y=a·b,
∴y=a(m－a)=－a2+ma=－(a－)2+,
当a=时，y最大值为.
结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.
37．(1)由题意知：p=30+x,
(2)由题意知
活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,
死蟹的销售额为200x元.
∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.
(3)设总利润为
L=Q－30000－400x=－10x2+500x
=－10(x2－50x)
=－10(x－25)2+6250.
当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.
38．(1)10
(2)55
(3)(略).
(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.
设函数的解析式为S=an2+bn+c.
由题意知
∴S=《二次函数与一元二次方程》随堂检测
一、选择题：
1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（
）
A、－2
B、12
C、24
D、－2或24
2、已知二次函数（≠0）与一次函数（≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、或
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3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①；②；③；④其中正确的有（
）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则的值为（
）
A、或2
B、
C、1
D、2
二、填空题：
1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则＝
。
2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为
。
3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且∠ACB＝900，则＝
。
4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：①当时，；②当时，；③方程＝0有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是
（只填写顺号）。
三、解答题：
1、已知二次函数（≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，，若点A关于轴的对称点是点D。
（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；
3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：CDBD
二、填空题：1、2；2、；3、3；4、①③④
三、解答题：
1、（1）；（2）存在，P（，－9）或（，－9）
2、（1）；（2）
3、（1）；
（2）当时∠APB为锐角，当或时∠APB为钝角。《二次函数与一元二次方程》同步练习
●基础探究
1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
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(1)
a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小.
当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;
与y轴交点C
的坐标为_______;
=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
2.已知下表:
x
0
1
2
ax2
1
ax2+bx+c
3
3
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0 若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+
bx+c>0
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.
4.若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移 向右还是向左 或者是向上还是向下 应该平移向个单位
5.已知某型汽车在干燥的路面上,
汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度V(km/h)
48
64
80
96
112
…
刹车距离s(m)
22.5
36
52.5
72
94.5
…
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数,
在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
( http: / / www.21cnjy.com )
●能力提升
6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x
轴上,点C
在直线y=x-2上.
(1)求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
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7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离
( http: / / www.21cnjy.com )为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高
9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元,
已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多 这时获利多少元
这时每吨的价格又是多少元
10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
11.如图,在Rt△ABC中
( http: / / www.21cnjy.com ),∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB
所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=
17,
且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E
三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等 若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
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●综合探究
12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),
它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3,
则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)
的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交
( http: / / www.21cnjy.com )于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x
轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
13已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0中定点的直线L;y=x+k交y轴于点D,且AB=4,圆心在直线L上的⊙M为A、B两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB与弧围成的弓形面积.
参考答案
1.(1)a=1;c=4
(2)直线x=,
(3)小;
;
(4)
(5)(1,0);(4,0);(0,4);
6;
;
(6)x<1或x>4;1(7)正号;x1=1;x2=4
(8)>;>
2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.
∴,∴,
∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0.
②函数y=x2-2x+3的图象示意图如答图所示,
观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0.
3.:在同一坐标系中如答图所示,
画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3
的图象,
这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标和2
就是方程x2=x+3的解.
4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得
∴,,
∴y=.
(2)∵y==
∴顶点坐标为(-3,2),
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.
5.:(1)函数的图象如答图所示.
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得,
解得.
∴
(4)当v=80时,
∵s=52.5,
∴
当v=112时,
∵s=94.5,∴
经检验,所得结论是正确的.
6.:(1)如答图所示.
∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0)
三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴,
解得
∴y=.
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y=,
∴顶点为.
∵,
∴顶点
在矩形ABCD内部.
7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.
∴,
解得
∴y=.
(2)证明:令y=0,得=0,
∴
∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E
(0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=,∴y=x-3
.
由
x-3=0,得x=
.
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE<
BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC若D与C重合,则AC+BC=AD+BD.
∴AC+BC≤AD+BD.
8:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5,
3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0.
2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=-
0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).
9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)=
.
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.
当x=150吨,Q=-+45=40(元).
10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数,
抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2>
2,
∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1·x2=-,
∴,∴k>.
∴k的取值范围为k>.
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>.
11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0
的两个根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3)
=17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则
,解之,得
∴所求抛物线关系式为y=.
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0
)在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴,
∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+
x2=
->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得
=2,
整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
13.(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m-
5)2.
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得
mx2-(m+5)x+
5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=或x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)解:如答图所示,∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,
得0=1+k,∴k=-1,∴y=x-1.
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0∵x1x2>0,∴x1=1,
x2=5,∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.
∴m=1,∴y=x2-6x+5.
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+=1+.
把x=3代入y=x-1,得y=2.
∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB=
,
∴MA2=MB2=8.
又AB2=42=
16,∴MA2+MB2=AB2,
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB-
S△ABM=.
