江苏省淮安市淮阴区2015-2016学年高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高二（下）期中数学试卷（文科）
　
一．填空题（每题5分，计70分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}， UB={1，2，4}，则A∩B=______．
2．设lg2=a，lg3=b，则log512=______．
3．已知复数z满足z i=2﹣i，i为虚数单位，则|z|的值为______．
4．函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是______．
5．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是______．
6．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则a、b、c从小到大的顺序是______．
7．幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=______．
8．设函数，若f（a）＞2，则a的取值范围是______．
9．f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=______．
10．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为______．
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x﹣3）=f（x+2），当﹣＜x＜0时，f（x）=x，则f已知函数f（x）=的值域为R，且在（﹣∞，1﹣）上是增函数，则a的取值范围是______．
13．十六进制与十进制的对应如表：
十六进制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
F
十进制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
例如：A+B=11+12=16+7=F+7=17，所以A+B的值用十六进制表示就等于17．
试计算：A×B+D=______（用十六进制表示）
14．已知f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2016|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2016|（x∈R），且f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则满足条件的所有整数a的和是______．
　
二．解答题（计90分）
15．已知函数f（x）=（x﹣2）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（1）求A∪B；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．
16．（1）已知，求实数x，y的值；
（2）已知z1，z2∈C，若z1=3+4i，|z2|=5，z1 z2是纯虚数，求z2．
17．已知函数（a为常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．
18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据
（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．
19．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中a：b=1：2
（1）试用x，y表示S
（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？
20．在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1﹣．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）﹣f（x1）|＜；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，求实数a，b的取值范围．
　
2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一．填空题（每题5分，计70分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}， UB={1，2，4}，则A∩B=　{3，5}　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先利用补集的补集性质B= U（ UB）求出B，再计算A∩B即可．
【解答】解：根据补集的定义可知，B∩（ UB）= ，B∪（ UB）=U，B= U（ UB）
∵全集U={1，2，3，4，5，6}， UB={1，2，4}，
∴B={3，5，6}，
又集合A={1，3，5}，
∴A∩B={3，5}．
故答案为：{3，5}．
　
2．设lg2=a，lg3=b，则log512=　　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为2，3的乘积的形式进行代入计算出结果．
【解答】解：log512==．
故答案为：．
　
3．已知复数z满足z i=2﹣i，i为虚数单位，则|z|的值为　　．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，最后代入复数模的公式求模．
【解答】解：由z i=2﹣i，得．
∴．
故答案为：．
　
4．函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是　（﹣1，﹣1）　．
【考点】指数函数的图象变换．
【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
　
5．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是　{a|a＞}　．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在
（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，
再根据f（x）在
（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在
（﹣2，+∞）为增函数，
∴1﹣2a＜0，解得a＞，
故答案为：{a|a＞}．
　
6．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则a、b、c从小到大的顺序是　c＜b＜a　．
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接比较．
【解答】解：∵a=20.5=≈1.414，
0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，
c=log2sin＜log2sin=log21=0，
∴c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．
　
7．幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=　0　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2=1，得m=0，或m=2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m=0时，2＞0成立，
当m=2时，4﹣8+2=﹣2＞0，不成立，
故答案为：0．
　
8．设函数，若f（a）＞2，则a的取值范围是　（1，2）∪（4，+∞）　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．
【分析】利用分段函数，讨论a＜2时通过指数函数得到不等式组解答；a≥2时通过对数函数，得到不等式组，求出a的范围即可．
【解答】解：由题意得或
∴1＜a＜2或a＞4．
f（a）＞2，则a的取值范围是：（1，2）∪（4，+∞）
故答案为：（1，2）∪（4，+∞）
　
9．f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=　x3﹣ln（1﹣x）　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的对称性进行求解即可．
【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，
∵f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣x3+ln（1﹣x）=﹣f（x），
则f（x）=x3﹣ln（1﹣x），
故答案为：x3﹣ln（1﹣x）；
　
10．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为　1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1 n2=（﹣1）n+1 （1+2+3+…+n）　．
【考点】归纳推理．
【分析】本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案．
【解答】解：∵1=1=（﹣1）1+1 1
1﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1 （1+2）
1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1 （1+2+3）
1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1 （1+2+3+4）
…
所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1 n2=（﹣1）n+1 （1+2+3+…+n）
故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1 n2=（﹣1）n+1 （1+2+3+…+n）
　
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x﹣3）=f（x+2），当﹣＜x＜0时，f（x）=x，则f=f（x），将x换为x+3，可得f=f（1）=f（﹣1）．由已知解析式，计算即可得到所求值．
【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，可得
f（﹣x）=f（x），
由f（x﹣3）=f（x+2），即为f（x）=f（x+5），
则f（x）为最小正周期为5的函数，
即有f=f（1）=f（﹣1）．
当﹣＜x＜0时，f（x）=x，
则f（﹣1）=﹣1．
故答案为：﹣1．
　
12．已知函数f（x）=的值域为R，且在（﹣∞，1﹣）上是增函数，则a的取值范围是　[0，2]　．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】由题意可得，函数t（x）=x2﹣ax﹣a能取遍所有的正数，由△≥0，解得a的范围．再根据得≥1﹣且t（1﹣）≥0，求得a的范围．再把这2个a的范围取交集，即得所求．
【解答】解：∵函数f（x）=的值域为R，故函数t（x）=x2﹣ax﹣a能取遍所有的正数，
故有△=a2+4a≥0，解得
a≤﹣4，或a≥0．
再根据f（x）在（﹣∞，1﹣）上是增函数，
可得函数t（x）=x2﹣ax﹣a
在（﹣∞，1﹣）上是减函数，
可得≥1﹣且t（1﹣）=4﹣2+a﹣2≥0，
求得a≤2．
综上可得，0≤a≤2，
故答案为：[0，2]．
　
13．十六进制与十进制的对应如表：
十六进制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
F
十进制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
例如：A+B=11+12=16+7=F+7=17，所以A+B的值用十六进制表示就等于17．
试计算：A×B+D=　92　（用十六进制表示）
【考点】进位制．
【分析】首先计算出A×B+D的值，再根据十六进制的含义表示出结果．
【解答】解：∵A×B+D=11×12+14=146，
146÷16=9余2，
9÷16=0余9，
∴用十六进制表示146为92．
故选：92．
　
14．已知f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2016|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2016|（x∈R），且f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则满足条件的所有整数a的和是　6　．
【考点】数列与函数的综合；函数奇偶性的性质．
【分析】根据已知中函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2011|结合函数奇偶性的定义，我们可以求出函数为一个偶函数，则f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），可以转化为|a2﹣3a+2|=|a﹣1|，又由绝对值的几何意义，我们可得f（0）=f（1）=f（﹣1），可知a=2也满足要求，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2011|（x∈R），
∴f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x+2|+…+|﹣x+2011|+|﹣x﹣1|+|﹣x﹣2|+…+|﹣x﹣2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2011|=f（x）
即函数f（x）为偶函数
若f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），
则a2﹣3a+2=a﹣1，或a2﹣3a+2=﹣（a﹣1）
即a2﹣4a+3=0，或a2﹣2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（﹣1）
∴当a=2时，也满足要求
故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6
故答案为：6．
　
二．解答题（计90分）
15．已知函数f（x）=（x﹣2）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（1）求A∪B；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质；交集及其运算．
【分析】（1）先求出集合A={x|2＜x≤4}，B={x|﹣2≤x≤3}，再直接取它们的并集；
（2）问题等价为C B，再对集合C分类讨论，得出实数a的取值范围．
【解答】解（1）函数f（x）的自变量x需满足条件，
解得，2＜x≤4，所以，A={x|2＜x≤4}，
对于函数g（x），因为≤x≤8，
所以，g（x）=log2x∈[﹣2，3]，
因此，B={x|﹣2≤x≤3}，
所以，A∪B={x|﹣2≤x≤4}；
（2）由B∩C=C得，C B，对集合C讨论如下：
①当C= 时，a＞3a﹣1，解得a＜，
因为空集是任何集合的子集，故符合题意；
②当C≠ 时，需要满足下列条件：
，解得，≤a≤，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（﹣∞，]．
　
16．（1）已知，求实数x，y的值；
（2）已知z1，z2∈C，若z1=3+4i，|z2|=5，z1 z2是纯虚数，求z2．
【考点】复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．
【分析】（1）化简，利用复数相等，求出x、y的值；
（2）设z2=a+bi，a、b∈R，根据题意列出方程组，求出a、b的值．
【解答】解：（1）∵，
∴（1+i）+（2﹣3i）=x+yi，
整理，得+i=xi+yi，
∴x=，y=；…
（2）设z2=a+bi，a、b∈R，
∴z1z2=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i，…
∴，…
解得或，
∴z2=4+3i或z2=﹣4﹣3i．
…
　
17．已知函数（a为常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；函数单调性的性质．
【分析】（1）由对数函数的性质知其真数必须大于0，对字母a进行分类讨论：当0＜a＜2时，当a＜0时，即可求得求f（x）的定义域；
（2）由题意知函数f（x）是由y=和复合而来，由复合函数单调性结论，只要u（x）在区间在（2，4）上为增且为正即可．
【解答】解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，
当a＜0时，解得．
故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}
当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．
（2）令，因为为减函数，
故要使f（x）在（2，4）上是减函数，
则在（2，4）上为增且为正．
故有．
故a∈[1，2）．
　
18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据
（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．
【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；
（2）令x＞0，则﹣x＜0，根据条件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，从而可得函数f（x）的解析式；
（3）先求出抛物线对称轴x=a﹣1，然后分当a﹣1≤1时，当1＜a﹣1≤2时，当a﹣1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，，
则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；
（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x
∴解析式为f（x）=
（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，
当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；
当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；
当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；
∴g（x）=．
　
19．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中a：b=1：2
（1）试用x，y表示S
（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）由题可得：xy=1800，b=2a，从而y=a+b+3=3a+3，因而可求大棚所占地面积；
（2）方法一：，利用基本不等式可求S最大；
方法二：设（x＞0），利用导数法，可求S的最大值．
【解答】解：（1）由题可得：xy=1800，b=2a，
则y=a+b+3=3a+3…
∴=．…
（2）方法一：（x＞0），…，…
当且仅当，即x=40时取等号，S取得最大值．此时．
所以当x=40，y=45时，S取得最大值
…
方法二：设（x＞0），…
，…
令f′（x）=0得x=40，
当0＜x＜40时，f′（x）＞0，当x＞40时，f′（x）＜0．
∴当x=40时，S取得最大值．此时y=45
所以当x=40，y=45时，S取得最大值．…
　
20．在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1﹣．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）﹣f（x1）|＜；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，求实数a，b的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
【分析】（1）根据弱增函数的定义，只需证明函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，而函数为减函数，即可；
（2）证法1：要证|f（x2）﹣f（x1）|＜，不妨设0≤x1＜x2，构造函数g（x）=f（x）﹣，利用导数证明该函数在（0，+∞）单调递减即可证明结论；
证法2：把f（x）=1﹣代入|f（x2）﹣f（x1）|，利用分母有理化，即可证明结论；
（3）要解）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，利用分离参数转化为当x∈（0，1]时，等价于恒成立，即可求得实数a，b的取值范围．
【解答】解：（1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，
因为=====，
所以在区间（0，1]上为减函数．
所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”．
（2）证法1：要证|f（x2）﹣f（x1）|＜，不妨设0≤x1＜x2，
由f（x）=1﹣在[0，+∞）单调递增，
得f（x2）＞f（x1），
那么只要证f（x2）﹣f（x1）＜，
即证f（x2）﹣＜f（x1）﹣．
令g（x）=f（x）﹣，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）﹣在[0，+∞）单调递减即可．
事实上，g（x）=f（x）﹣=1﹣﹣，
当x∈[0，+∞）时，g′（x）=﹣≤0，
所以g（x）=f（x）﹣在[0，+∞）单调递减，
故命题成立．
证法2：|f（x2）﹣f（x1）|==
=，
因为x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，＞2，
所以|f（x2）﹣f（x1）|＜．
（3）当x∈[0，1]时，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立．
当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时，等价于恒成立．
由（1）知为减函数，1﹣≤＜，
所以a≥且b≤1﹣．
　
2016年9月30日