2025-2026学年北师大版数学九年级上册-单元测试卷(一)特殊平行四边形 （含答案）

单元测试卷(一)特殊平行四边形
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.下列说法中，正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直且平分
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.如图，在矩形ABCD中，已知，垂足为E，，，则AB的长为( )
A. 3 B. 2 C. D.
3.如图，在边长为3的正方形ABCD中，，，则BF的长是( )
A. 1 B. C. D. 2
4.O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A. 5 B. C. D.
5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作，垂足为H，连接OH，若，，则OH的长为( )
A. 2 B. 3 C. D.
6.如图，下列选项中能使 ABCD是菱形的条件有( )
①②③④。
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③
7.如图，在菱形ABCD中，，，E是CD边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接FG，则FG的最小值为
A. B. 3 C. D. 4
8.如图，正方形ABCD的边长为，点P在边BC上，，连接AP，BD，过AP的中点E作，分别交AB，BD，CD于点M，F，N，则线段EF的长度为( )
A. B. 2 C. D.
二、填空题：本大题共7小题，共61分。
9.正方形的对称轴有 条．
10.如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB，AD的长度分别为15cm和25cm，的平分线与BC相交于点E，则 cm， cm。
11.如图，在菱形ABCD中，若，，则菱形ABCD的高为
12.如图，将矩形ABCD边AD沿直线AE对折，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知，，则图中阴影部分的面积为 。
13.如图，在等腰直角中，，O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，，，，则 。
三、解答题：本大题共14小题，共54.5分。
14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，，，求菱形ABCD的周长和面积。
15.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，交AB的延长线于点
求证：
16.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC上的点，且。求证：。
17.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，OE与AB交于点F。
在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由;
若，，，求 ABCD的面积。
18.如图，在中，，AD是的中线，，O是AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E。
求证：四边形ADCE是矩形;
若，，求AE的长;
当满足条件 时，四边形ADCE是正方形。
19.垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”。
如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想，与，之间的数量关系： ，并说明理由;
如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BG，CE，BE，若，，求EG的长;
如图3，在中，，点P是外一点，连接BP，，已知，若以A，B，C，P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出AP的长。
20.对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P，Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为。
【理解】如图1，在平面直角坐标系中， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是 ABCD边上任意一点。
当点G在边AD上时，OG的最小值是 ，因此点O，线段 ;
当点G在任意边上时，OG的最小值是 ，因此点O， ;
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线AC上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线BD上与点B，D，O不重合的一点。
当线段EF， 时，则n的取值范围为 ;
当时， 结果用含n的式子表示
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6m、宽4m的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为，请直接写出所需彩绳的长度。
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
【解析】连接OE，四边形ABCD是菱形，，，，由勾股定理得，又，，四边形OFEG为矩形，，当时，OE值最小，此时，，，的最小值为故选
8.【答案】B
9.【答案】4
10.【答案】15
10

11.【答案】
12.【答案】30
13.【答案】
14.【答案】解：四边形ABCD是菱形，，，
，，，。
在中，，由勾股定理得，
周长
菱形是轴对称图形，，
面积。
综上可得菱形的周长为、面积为40。
15.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，，
，
又，
四边形CDBE是平行四边形，
，

16.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，，
在和中，
，
，，即。
17.【答案】【小题1】
解：添加：答案不唯一。
理由：，，
四边形AOBE是平行四边形。
，，四边形AOBE是矩形。
故答案为：答案不唯一。
【小题2】
由可知，四边形AOBE是矩形，
。
四边形ABCD是平行四边形，。
，，
，
四边形ABCD的面积。

18.【答案】【小题1】
证明：点O是AC的中点，
。
，，
在和中，
，，
四边形ADCE是平行四边形。
，AD是的中线，，四边形ADCE是矩形。
【小题2】
解：四边形ADCE是矩形，
。
，是等边三角形，。
【小题3】

【解析】

解：。
证明：，是等腰直角三角形。
又，。
由知四边形ADCE是矩形，四边形ADCE是正方形。
故答案为：。
19.【答案】【小题1】
解：数量关系为：。
，
在，中，由勾股定理得
，，
，
同理可得，
。
故答案为：。
【小题2】
解：如图1，四边形ACFG，ABDE是正方形，为直角三角形，
，，，
，
，
。
，
。
，，，
四边形BCGE为“垂美四边形”，
，
在中，由勾股定理得，
，同理可得，，
，
解得。
【小题3】
①当时，则，
在中，由勾股定理得，
，解得舍负，
。
如图2，过点P作BA延长线的垂线，垂足为D。
由题意得，，
。而，，
，
，，
。
在中，由勾股定理得
②当时，
同上可得此时，。
如图3，过点P作于点D。
同上可证，
，，
，在中，由勾股定理得。
综上所述，或。

20.【答案】【小题1】
4
4
3
3
【小题2】
或
【小题3】
由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为，则所需彩绳的长度为。

【解析】 ，，四边形ABCD是平行四边形，
根据题意可知，当点G在边AD上时，即时，OG最小，
的最小值是4，因此点O，线段。故答案为：4，4。
，，四边形ABCD是平行四边形，
根据题意可知，当点G在任意边上时，即或时，OG最小，的最小值是3，因此点O， 。故答案为：3，3。
如图1，
图1
四边形ABCD是平行四边形，
，，
。
平分，
，
，
，
四边形ABCD是菱形，
平分和，
线段EF到四边形ABCD的距离为，线段EF， ，
，解得或。
故答案为：或。
图2
由得四边形ABCD是菱形，过点F作于点G，
交CD于点P，作于点H，如图2，则有，
，
。
故答案为：。
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