人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 953.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 21:54:54 | ||
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文档简介
第二十一章《一元二次方程》单元测试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．用配方法解方程，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的根为（ ）
A． B．1 C．1或 D．0
6．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第（ ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
8．如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．14
10．已知实数，满足，记，则的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．方程的一次项系数是 ．
14．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
15．已知实数，满足．则 ．
16．如图，是学校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ．
17．如图，正方形的边长为 13，以为斜边向内作，，，于点 E，连接．若 ，则 的面积为 ．
18．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．用适当的方法解下列方程：
(1) (2) (3)
20．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
22．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
23．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
24．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，，，
，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程的两个根为，，则______；______；
(2)一元二次方程的两个根为，，求的值；
(3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值．
25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；
(2)当______时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
26．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点．
(1)判断与的数量关系为______；
(2)【应用】如图1，延长交于点．
①证明：；
②若，，，求的长度；
(3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值．
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：由方程得：，，，
，
方程有两个相等的实数根，
故选：Ｃ．
2．
【详解】解： 移项：将常数项移到方程右边
配方：取一次项系数4的一半（即2），平方得4，两边同时加上4：
化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数项：，
故选：B．
3．
【详解】选项A：，未知数的最高次数为3，不符合“二次”条件．
选项B：，含两个未知数和，不符合“一元”条件．
选项C：，仅含一个未知数，且最高次数为2，符合所有条件．
选项D：，未知数的最高次数为1，不符合“二次”条件．
故选C．
4．
【详解】解：∵1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为，
∴，
故选：A
5．
【详解】解：原方程可分解为，
解得或，
故选：C．
6．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，，
解得，，
又因为n为正整数，所以，
即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故选：D．
7．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
8．
【详解】解：设关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根为，
①，②，
则由①得，将其代入②得，
化简可得，
故选：C．
9．
【详解】解：∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B
10．
【详解】已知，则，
∴
设（），则
∴
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴的最小值是．
故选：C．
二、填空题
11．2
【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2，
∴，
解得：；
故答案为：2．
12．
【详解】解：，
要使该方程有实数根，则，
．
故答案为：．
13．
【详解】解：方程的一次项系数是．
故答案为：．
14．58
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：58．
15．4
【详解】解：∵实数，满足，
∴为关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴由根与系数的关系可得：，
故答案为：4．
16．
【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：所修道路的宽为．
故答案为：1
17．72
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可证明，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
18．，
【详解】解：方程可变为，
∵方程的解是，，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
三、解答题
19．（1）解：
，
∴，
∴，；
（2）解：，
这里，，
，
∴方程没有实数根，
（3）解：，
，
，
∴，
20．解：设每个支干长出个小分支，由题意可得，
．
解得：，（舍去），
∴．
21．（1）解：方程有两个实数根，．
，
．
当时，方程有两个实数根．
（2）解：由根与系数关系，得，．
，
．
，
．
解方程，得或．
∵，
．
22．解：设每台学习机售价为x元，
依题意得：，
解得：，，
∵减少库存，
∴；
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元．
23．（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
24．（1）解：根据根与系数的关系得；；
故答案为：6，；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
；
（3）解：根据题意得，
解得，
，，
而，
，
整理得，
解得，舍去，
的值为
25．（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下：
过Q作，交于M，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得；
（4）解：如图2，
根据折叠可知：，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，即：，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
26．（1）解：由折叠知，，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①证明：由折叠知，则；
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
∵，
∴；
②解：由（1）得；
由①知，
∴；
又；
∴，
解得：；
∴；
设正方形的边长为m，则，
∴，
在中，由勾股定理有，
即，
解得：（舍去），
则；
（3）解：设，正方形的边长为m；
当点H在线段上时，
与（2）②同理得：，
解得：，
同理在中，由勾股定理有，
即，
解得：（舍去），
则，
∴；
当点H在线段延长线上时，如图；
则，
与（2）①同理，，
则；
∴，
∴；
∵，，
在中，由勾股定理有，
即，
解得：（舍去），
则，
∴；
综上，的值为或．
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．用配方法解方程，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的根为（ ）
A． B．1 C．1或 D．0
6．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第（ ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
8．如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．14
10．已知实数，满足，记，则的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．方程的一次项系数是 ．
14．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
15．已知实数，满足．则 ．
16．如图，是学校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ．
17．如图，正方形的边长为 13，以为斜边向内作，，，于点 E，连接．若 ，则 的面积为 ．
18．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．用适当的方法解下列方程：
(1) (2) (3)
20．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
22．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
23．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
24．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，，，
，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程的两个根为，，则______；______；
(2)一元二次方程的两个根为，，求的值；
(3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值．
25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；
(2)当______时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
26．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点．
(1)判断与的数量关系为______；
(2)【应用】如图1，延长交于点．
①证明：；
②若，，，求的长度；
(3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值．
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：由方程得：，，，
，
方程有两个相等的实数根，
故选：Ｃ．
2．
【详解】解： 移项：将常数项移到方程右边
配方：取一次项系数4的一半（即2），平方得4，两边同时加上4：
化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数项：，
故选：B．
3．
【详解】选项A：，未知数的最高次数为3，不符合“二次”条件．
选项B：，含两个未知数和，不符合“一元”条件．
选项C：，仅含一个未知数，且最高次数为2，符合所有条件．
选项D：，未知数的最高次数为1，不符合“二次”条件．
故选C．
4．
【详解】解：∵1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为，
∴，
故选：A
5．
【详解】解：原方程可分解为，
解得或，
故选：C．
6．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，，
解得，，
又因为n为正整数，所以，
即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故选：D．
7．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
8．
【详解】解：设关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根为，
①，②，
则由①得，将其代入②得，
化简可得，
故选：C．
9．
【详解】解：∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B
10．
【详解】已知，则，
∴
设（），则
∴
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴的最小值是．
故选：C．
二、填空题
11．2
【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2，
∴，
解得：；
故答案为：2．
12．
【详解】解：，
要使该方程有实数根，则，
．
故答案为：．
13．
【详解】解：方程的一次项系数是．
故答案为：．
14．58
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：58．
15．4
【详解】解：∵实数，满足，
∴为关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴由根与系数的关系可得：，
故答案为：4．
16．
【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：所修道路的宽为．
故答案为：1
17．72
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可证明，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
18．，
【详解】解：方程可变为，
∵方程的解是，，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
三、解答题
19．（1）解：
，
∴，
∴，；
（2）解：，
这里，，
，
∴方程没有实数根，
（3）解：，
，
，
∴，
20．解：设每个支干长出个小分支，由题意可得，
．
解得：，（舍去），
∴．
21．（1）解：方程有两个实数根，．
，
．
当时，方程有两个实数根．
（2）解：由根与系数关系，得，．
，
．
，
．
解方程，得或．
∵，
．
22．解：设每台学习机售价为x元，
依题意得：，
解得：，，
∵减少库存，
∴；
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元．
23．（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
24．（1）解：根据根与系数的关系得；；
故答案为：6，；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
；
（3）解：根据题意得，
解得，
，，
而，
，
整理得，
解得，舍去，
的值为
25．（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下：
过Q作，交于M，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得；
（4）解：如图2，
根据折叠可知：，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，即：，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
26．（1）解：由折叠知，，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①证明：由折叠知，则；
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
∵，
∴；
②解：由（1）得；
由①知，
∴；
又；
∴，
解得：；
∴；
设正方形的边长为m，则，
∴，
在中，由勾股定理有，
即，
解得：（舍去），
则；
（3）解：设，正方形的边长为m；
当点H在线段上时，
与（2）②同理得：，
解得：，
同理在中，由勾股定理有，
即，
解得：（舍去），
则，
∴；
当点H在线段延长线上时，如图；
则，
与（2）①同理，，
则；
∴，
∴；
∵，，
在中，由勾股定理有，
即，
解得：（舍去），
则，
∴；
综上，的值为或．
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