九年级数学上册试题 第二十二章 《二次函数》单元测试卷--人教版（含解析）

第二十二章 《二次函数》单元测试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列函数属于二次函数的是（　）
A． B． C． D．
2．函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
4．将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．点在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
6．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过原点 B．开口向上
C．对称轴是直线 D．最高点是
7．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．下面是某数学小组利用软件绘制的函数的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为
D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知二次函数，当时，函数值 ．
12．某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
13．二次函数的最小值是 ．
14．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米．
15．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ；
16．如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ．
18．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在这个新抛物线上．
20．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
21．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标；
23．明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为时，距离地面，当火箭距离发射点水平距离为时，距离地面．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当火箭距离发射点的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？
24．八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价x/元 10 12 14 16
日销售量y/朵 36 32 28 24
小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式：
(2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润；
(3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______．
25．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值．
26．如图，抛物线与x轴交于点两点，抛物线的顶点为点C．点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围；
(3)当时，抛物线上最高点的纵坐标为，求n的值；
(4)点Q在抛物线上，横坐标为，平面内有一点，作P，Q关于点R的对称点M，N，顺次连接P，Q，M，N，得到．当轴，直接写出此时点C到直线QN的距离d．
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：A、是一次函数，故不合题意；
B、中未知数的最高次数为3，不是二次函数，故不合题意；
C、是二次函数，故符合题意；
D、是反比例函数，故不合题意；
故选：C．
2．
【详解】解：∵，
∴其图象的顶点坐标为，
故选：D
3．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴，
∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴上方），对称轴为直线（即为y轴），
∴只有A选项符合题意．
故选A．
4．
【详解】解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是，
故选；D．
5．
【详解】解：抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
，，点在抛物线上，抛物线开口向下，
，
故选：B．
6．
【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意；
因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意；
C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意；
D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意；
故选：D
7．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴，，
解得且，
故选：D．
8．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故A选项不符合题意；
∵当时，，
∴，故B选项不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故C选项不符合题意；
对称轴为直线，
，
，
将代入，
得：，故D选项符合题意，
故选D．
9．
【详解】解：
由图象可得，当时，，
又当时，，
∴，
∴．
故选：C
10．
【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意；
B. 当弹簧被压缩了时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意；
C.抛物线的对称轴为直线，
所以的对称点为，
假设抛物线的解析式为，
将代入解析式得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，函数值最大，最大值为，
所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，
该选项正确，符合题意；
D.当弹簧的长度为9cm时，被压缩了，此时，小球速度为0，与刚接触弹簧时的速度不相同，该选项错误，故不符合题意；
故选：C．
二、填空题
11．0
【详解】解：依题意，把代入，
得，
故答案为：0
12．（答案不唯一）
【详解】解：根据题意设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的解析式可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
13．3
【详解】解：∵，
∴当时，有最小值3，
故答案为：3．
14．
【详解】解：由抛物线得，
∵，
∴当时，烟花可以达到的最大高度是米，
故答案为：．
15．
【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为：，
故当函数值时，自变量的取值范围是：．
故答案为：．
16．
【详解】解：由题意得，点的坐标分别为：，则点，点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
，
则的值为，
故答案为：．
17．
【详解】解：令，由解得，，
令，则，
∴，，
∵当时，，
∴直线经过定点，
如图，
当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点，
当直线与抛物线相切时，
由得，
由解得，，
当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点，
由图可知，当，直线与图象G有两个交点，
故答案为：．
18．
【详解】解：∵对于抛物线，令，
则，即，
解得或，所以．则，
令，则，所以．则，
∵
∴ AOB是等腰直角三角形，
如图，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，
∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则
∴
∴当在上时，取得最小值
∴
即的最小值为．
三、解答题
19．（1）解：根据二次函数的平移规律可得：
的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为；
（2）解：将代入新抛物线解析式可得，
即点在抛物线上．
20．（1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
21．（1）解：由表格可知，二次函数经过点，
所以该抛物线的对称轴为，
所以该抛物线的顶点坐标为，
设该二次函数表达式为
将代入得：；
即
将代入得：
（2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得
，
即．
22．（1）解：∵，
∴当时，，当时，；
∴；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点，
∵，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：；
∴，
∴当时，；
∴．
23.（1）解：根据题意可知抛物线经过，
设抛物线解析式为，
代入可得，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）解：由（1）知，，
当时，，
∴此时火箭距离地面千米．
24．（1）解：y与x是一次函数关系，设，
∴，
解得，，
∴y关于x的函数解析式为：
（2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元，
设销售利润为，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为元；
（3）解：∵，
∴当时，，
整理得，，
解得，，即，
∵，函数图象开口向下，
∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为．
25．（1）解：把代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵直线经过点，
∴直线的表达式为．
由，
解得或，
∴．
∵直线交轴于点，在中，令，则，
∴．
∴．
（3）∵为定点，
∴线段的长为定值，
∴当的和最小时，四边形的周长最小．
如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，
∵三点共线，
∴，
此时的值最小．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵，，
∴直线的表达式为．
∵点为直线与的交点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴四边形周长的最小值为．
26．（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，即最高点的纵坐标为4，
∵当时，抛物线上最高点的纵坐标为，
∴它必在对称轴的左侧或右侧，
∵，
∴，
当时，由增减性质得，当时，有最高点，
∴，
∴与矛盾，
∴它不可能在对称轴的左侧，
当它在对称轴右侧时，由增减性质得，当时，有最高点，
∴，
解方程得：，（舍去），
∴n的值为2；
（4）解：∵点Q在抛物线上，横坐标为，
∴点Q的纵坐标为，
∵点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m，
∴点P的纵坐标为，
∵平面内有一点，P、Q关于点R的对称点M、N，
∴,,
即,，
∵轴，
∴，
∴，，
当时，，，如图，此时与x轴重合，
∴此时点C到直线的距离，
当时，，，如图，
此时点C到直线的距离，
∴当轴，此时点C到直线的距离或；