苏科版九年级数学上册 第1章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）

第1章《一元二次方程》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
3．用配方法解方程，配方后的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．已知是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．必有实数根
6．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．48或
7．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9．写出一个没有实数根的一元二次方程： ．
10．一元二次方程：的一次项系数是 ．
11．已知为方程的一个根，则的值为 ．
12．某药品原价每盒144元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒81元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
14．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ．
15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ．
16．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．用适当的方法解下列方程：
(1)． (2)．(3)． (4)．
18．已知关于的方程（为常数）．
(1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根、满足，求的值．
19．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程．
20．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
(1)若 ABC是等边三角形，求方程的根；
(2)若 ABC是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况．
21．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？
22．为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变．
(1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率；
(2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？
23．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，．
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围．
24．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用．
示例：用配方法求代数式的最小值，
解：原式
，，的最小值为．
(1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______；
(2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值．
(3)若实数，满足，求的最小值．
25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形；
(2)当__________时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除；
选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除；
选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义；
选项D：，含分式，非整式方程，排除；
故选：C．
2．
【详解】解：根据题意，将代入方程得：
化简得：
解得，
故选：B．
3．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
4．
【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得
．
故选：B．
5．
【详解】解：方程可化为，其中，，，
判别式，
，因此该方程没有实数根，
故选：C．
6．
【详解】解：方程可分解为，
解得或，
∴菱形的一条对角线可能为6或4，
设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：，
整理得．
当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为；
当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为．
∴菱形的面积可能为24或，
故选：C．
7．
【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，
∴方程的解满足或，
解得，，
故选：B．
8．
【详解】解：与是“同族二次方程”，
，
，解得：，
，
代数式取的最大值是，
故选：A．
二、填空题．
9．（答案不唯一）
【详解】解：在一元二次方程中，
∵，
∴方程没有实数根，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）
10．
【详解】解：先将化成一般形式，得，
∴一次项系数是．
故答案为：．
11．
【详解】解：∵m为方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
12．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是,
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该药品平均每次降价的百分率是．
故答案为： ．
13．
【详解】解：由题知，，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即
解得，
故答案为：．
14．
【详解】解∶对于一元二次方程，设，
∴，
而关于的一元二次方程有一根为，
∴有一个根为，
则，
解得，
∴一元二次方程有一根为．
故答案为∶
15．3
【详解】解：解方程可得：，
∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，
∴是一元二次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【详解】解：设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴，
故答案为：．
三、解答题.
17．解：（1）移项，得，开方，得，解得．
（2）配方，得，即，或，解得．
（3），
，解得．
（4）移项，得，
因式分解，得，
解得．
18．（1）证明：∵，
∴不论取何值时，该方程总有实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根、，
∴，又，
∴，即，
解得．
19．（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵中，，，，
∴，
故该方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴这个美妙方程是．
20．（1）解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴方程变为，即：，
解得：，；
（2）解：∵ ABC是直角三角形，为斜边，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
21．设长方体纸盒高为，则长为，宽为，
依题意得：，
解得：，（舍去）
答：长方体纸盒高为，则长为，宽为．
22．（1）解：设4，5这两个月月销售量的平均增长率为，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：4，5这两个月月销售量的平均增长率为；
（2）解：设当每袋降价元时，根据题意可得：
，
整理得，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当每千克降价4元时，6月份可获利75000元．
23．（1）解：
或，
∴，；
（2）解：
或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，，
∵方程有一个根大于，
∴，
∴．
24．（1）解：根据完全平方式的定义，即，
可知代数式中，，
则，
当时，，解得；
当时，，解得；
所以或．
（2）解：
，
，，
当，时，有最小值，最小值为，
此时，，解得：，．
所以．
（3）解：，
，，
，，的最小值为4．
25．（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形为矩形时，
，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
故答案为：3；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
故答案为：；
（3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下：
过Q作，交于M，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得；
（4）解：如图2，
根据折叠可知：，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即：，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．