二次根式与二次方程教案
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二次根式与二次方程
教学目标：理解最简二次根式，掌握二次根式的化简及计算。
掌握一元二次方程的解法，理解方程解的意义，会用根的判别式判别方程根的情况；会用一元二次方程解决实际问题。
重视课本中的例题，习题及其变式。
教学过程：
例1、（见课本P23，N17）如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD之比为：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF，现计划在四边形DEBF区域内种植花草，求四边形DEBF与长方形ABCD的面积比。
变式1：求证四边形DEBF是平行四边形。
变式2：BF的延长线交DC于点G，求证：点G是DC的中点。
例2、（见课本P19，N5）从一张等腰直
( http: / / www.21cnjy.com )角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，可怎样剪？画图说明你的剪法，如果这张纸的斜边长为30cm，能剪出最大的正方形面积是多少平方厘米？
我们知道有两种裁剪法如图，请你计算这两种裁剪得到的正方形面积。
变式1：能否裁剪出一个矩形，使矩形面积是原三角形面积的一半？如果能，求出矩形的宽。如果不能，说明理由。
变式2：如何裁剪出二条等宽的矩形，使二条等宽矩形的面积和最大，最大是多少？有几种不同的裁剪法？
例3、（课本P44，N5）如图，在△ABC中，∠B=90O，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动。
①
与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2。
变式1：②与此同时，点Q从点C开始沿CB边
( http: / / www.21cnjy.com )向点B以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，经过几秒，四边形APCQ的面积等于21cm2。
例4、方程x2+px+q=0与qx2+px+1=0的根之间有何联系？当p=1,q=-1时，验证你的猜想。
例5、已知如图，矩形ABCD中的AD=4cm,AB=8cm,
将矩形按EF对折，使点B落在点D上，求折痕EF的长。
例6、某人将2000元按一年期存入银行，到
( http: / / www.21cnjy.com )期后支取1000元，剩下1000元连同利息又全部按一年定期存入。若存款年利率不变，到期后可得本息共1320元，求这种存款年利率。
课堂练习：
一、选一选
1、下列各式中，不满足二次根式成立条件的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、若
，，则两数的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．
D．
3、下列各数分别与（2－）相乘，结果为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空
1、当时，的值是 ．
2、已知，则
。
3、直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么=___________。
三、计算（不能用计算器）
（1）
（2）
（4）
四、综合练习
11、已知：，分别求下列代数式的值：（共8分）
（1）
（2）
13、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成。求一块方砖的边长。（6分）
18、在Rt
ΔABC中，∠C＝Rt∠，BC:AC＝1:2，AB＝5，则斜边上的高长为几？
19、用尺规下面的在数轴上作出的点A，并作出点A关于1的对称点A1，写出点A1的坐标
。
20、计算在直角坐标系内，点P（-2，2）到原点的距离
五、应用问题：一．数字问题
1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
二．面积问题
3、用一块长80cm，宽6
( http: / / www.21cnjy.com )0cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然
后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。
三．增长率问题
6、某校2003年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2005年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
四．销售问题
9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可
( http: / / www.21cnjy.com )售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
五．繁殖问题
10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
六.相互问题
11．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？
七．边框问题
14．在一幅长为80cm，宽为50
( http: / / www.21cnjy.com )cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？
八.工程问题
15．甲、乙两建筑队完成一项工程，
( http: / / www.21cnjy.com )若两队同时开工，12天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天？
教学目标：理解最简二次根式，掌握二次根式的化简及计算。
掌握一元二次方程的解法，理解方程解的意义，会用根的判别式判别方程根的情况；会用一元二次方程解决实际问题。
重视课本中的例题，习题及其变式。
教学过程：
例1、（见课本P23，N17）如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD之比为：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF，现计划在四边形DEBF区域内种植花草，求四边形DEBF与长方形ABCD的面积比。
变式1：求证四边形DEBF是平行四边形。
变式2：BF的延长线交DC于点G，求证：点G是DC的中点。
例2、（见课本P19，N5）从一张等腰直
( http: / / www.21cnjy.com )角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，可怎样剪？画图说明你的剪法，如果这张纸的斜边长为30cm，能剪出最大的正方形面积是多少平方厘米？
我们知道有两种裁剪法如图，请你计算这两种裁剪得到的正方形面积。
变式1：能否裁剪出一个矩形，使矩形面积是原三角形面积的一半？如果能，求出矩形的宽。如果不能，说明理由。
变式2：如何裁剪出二条等宽的矩形，使二条等宽矩形的面积和最大，最大是多少？有几种不同的裁剪法？
例3、（课本P44，N5）如图，在△ABC中，∠B=90O，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动。
①
与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2。
变式1：②与此同时，点Q从点C开始沿CB边
( http: / / www.21cnjy.com )向点B以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，经过几秒，四边形APCQ的面积等于21cm2。
例4、方程x2+px+q=0与qx2+px+1=0的根之间有何联系？当p=1,q=-1时，验证你的猜想。
例5、已知如图，矩形ABCD中的AD=4cm,AB=8cm,
将矩形按EF对折，使点B落在点D上，求折痕EF的长。
例6、某人将2000元按一年期存入银行，到
( http: / / www.21cnjy.com )期后支取1000元，剩下1000元连同利息又全部按一年定期存入。若存款年利率不变，到期后可得本息共1320元，求这种存款年利率。
课堂练习：
一、选一选
1、下列各式中，不满足二次根式成立条件的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、若
，，则两数的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．
D．
3、下列各数分别与（2－）相乘，结果为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空
1、当时，的值是 ．
2、已知，则
。
3、直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么=___________。
三、计算（不能用计算器）
（1）
（2）
（4）
四、综合练习
11、已知：，分别求下列代数式的值：（共8分）
（1）
（2）
13、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成。求一块方砖的边长。（6分）
18、在Rt
ΔABC中，∠C＝Rt∠，BC:AC＝1:2，AB＝5，则斜边上的高长为几？
19、用尺规下面的在数轴上作出的点A，并作出点A关于1的对称点A1，写出点A1的坐标
。
20、计算在直角坐标系内，点P（-2，2）到原点的距离
五、应用问题：一．数字问题
1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
二．面积问题
3、用一块长80cm，宽6
( http: / / www.21cnjy.com )0cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然
后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。
三．增长率问题
6、某校2003年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2005年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
四．销售问题
9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可
( http: / / www.21cnjy.com )售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
五．繁殖问题
10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
六.相互问题
11．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？
七．边框问题
14．在一幅长为80cm，宽为50
( http: / / www.21cnjy.com )cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？
八.工程问题
15．甲、乙两建筑队完成一项工程，
( http: / / www.21cnjy.com )若两队同时开工，12天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天？