主题七 圆 2026年中考数学专题复习考点解读

对比维度 2022年版义务教育数学课程标准（2025修订） 2011年版义务教育数学课程标准
内容要求 1．圆 （1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系． （2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． （3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． （4）了解三角形的内心与外心． （5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念． （6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形． （7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线． （8）探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等． （9）会计算圆的弧长、扇形的面积． （10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 1．圆 （1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系． （2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． （3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． （4）知道三角形的内心和外心． （5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线． （6）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． （7）会计算圆的弧长、扇形的面积． （8）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
无具体相关内容 2．尺规作图 （1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线． （2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形． （3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形． （4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．
学业要求 了解圆的概念，掌握圆的基本性质（如圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等）；探究并理解圆的对称性、垂径定理、圆周角定理及其推论；在直观理解图形与几何基本事实的基础上，经历圆相关结论的探究与验证过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力；经历与圆有关的尺规作图（如作圆、作弧）过程，理解作图基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力． 探索并掌握圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；能运用圆的知识解决简单问题．
教学目标 经历圆的概念与性质的形成过程，理解几何体系的基本框架；掌握圆的性质与判定，能够解释几何结论的意义，培养抽象能力、几何直观与推理能力． 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题聚焦圆的基础概念与性质，以计算和辨析为主；解答题分中档题和压轴题，覆盖全难度梯度．
考查形式 1．基础题型：考查圆的核心定义、圆心角与圆周角关系等，侧重公式应用与概念辨析，是必考题． 2．推理证明题型：以圆为载体，结合全等、勾股定理，考查切线判定、圆内接四边形性质等的演绎推理，强调逻辑严谨性． 3．动态综合题型：考查分类讨论与知识迁移能力． 4．实际应用题型：依托生活场景，将实际问题转化为圆的模型，考查建模能力与应用意识．
核心素养考查 直观想象、逻辑推理、数学运算、模型观念
考点一 圆的有关概念和性质
1．圆的有关概念和性质
圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合，其中定点为圆心，定长为半径
确定圆的条件 过不在同一直线上的三点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个
圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴； （2）圆是中心对称图形，圆心是对称中心； （3）圆具有旋转不变性
有关概念 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦（线段）
直径 经过圆心的弦叫做直径（线段），直径是圆中最长的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫圆弧
等弧 同圆或等圆中，能够互相重合的弧
圆心角 顶点在圆心的角（如）
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角（如）
2．圆心角、弧、弦之间的关系
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
3．垂径定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
4．圆周角定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 是所对的一个圆周角，是所对的圆心角，那么
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 都是所对的圆周角，那么
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 若为直径，则；若或，则为直径.
5．圆内接多边形
（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
考点二 点、直线与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
点和圆的位置关系分三种（设的半径为，点到圆心的距离）:
点和圆的位置关系 特点 性质及判定 图示
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点在圆外.
点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点在圆上.
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点在圆内.
2．直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
定义 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交. 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切. 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
图示
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
总结 直线与 相交. 直线与 相切. 直线与 相离.
考点三 切线的性质与判定
1．切线的判定定理
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，是的半径，若于点，则是的切线.
2．切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.如图，若切于点，则.
3．切线的判定方法
（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（2）数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4．切线长
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
5．切线长定理
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图所示，过点作的两条切线，则，
考点四 三角形的外接圆与内切圆
1．三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
2．三角形的外心
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，如图（1）所示；直角三角形的外心是斜边的中点，如图（2）所示；钝角三角形的外心在三角形的外部，如图（3）所示.
3．三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
4．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
5．三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
6．三角形内心的性质
三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
【拓展】三角形内切圆的作法：作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可.
考点五 与圆有关的计算
1．弧长公式
在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即.于是的圆心角所对的弧长为.
2．扇形及扇形的面积公式
（1）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，劣弧与半径围成的图形记作扇形；优弧与半径围成的图形记作扇形.
（2）扇形的面积公式
①，其中扇形的圆心角为，半径为.
推导过程：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是.于是圆心角为的扇形面积是.
②，其中扇形所对的弧长为，半径为.
推导过程：，其中为扇形的弧长，为半径.
3．圆锥的侧面积和全面积
（1）与圆锥有关的概念
①圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体（如图所示）.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.
②圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
③圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
（2）圆锥的基本特征
①圆锥的轴通过底面的圆心并垂直于底面；
②圆锥的母线有无数条，它们的长都相等；
③圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如上图所示），满足，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.
（3）圆锥的侧面积和全面积
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积，圆锥的全面积.
4．正多边形及其有关概念
（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
（2）圆内接正多边形：把圆分成等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正边形，这个圆就是这个正边形的外接圆.
（3）与正多边形有关的概念
名称 定义 图形
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
（4）正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心.为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
考点六 五种基本尺规作图
类型 作法 图示 原理
作一条线段等于已知线段（截取） （1）作射线； （2）在上截取，即为所求线段 圆弧上的点到圆心的距离等于半径
作一个角等于已知角（截取） （1）作射线； （2）在上以为圆心，以任意长为半径作弧，交的两边于点； （3）以为圆心，长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； （5）过点作射线，即为所求角 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
作一个角的平分线（平分） （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，； （2）分别以点,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点； （3）作射线即为所求
作线段的垂直平分线（平分） （1）分别以点为圆心，大于的长为半径向线段两侧作弧，两弧分别交于点； （2）过点作直线，所得直线即为所求 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
过一点作已知直线的垂线（截取+平分） 点在直线上 （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于两点； （2）分别以点为圆心，以大于长为半径向直线上方作弧，交点为； （3）作直线即为所求 等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线
点在直线外 （1）在直线另一侧取点； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线同侧交与点； （4）连接即为所求 圆弧上的点到圆心的距离等于半径；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
圆：
基础题为主，侧重圆的核心定义、垂径定理、圆心角与圆周角关系、切线性质等概念辨析与公式应用，题型集中在选择、填空题．
在此基础上延伸，结合推理证明、动态综合及实际应用，侧重逻辑推理与模型构建．
1．[2025年四川甘孜州中考真题]如图，点A，B，C在上，若，则( )
A. B. C. D.
2．[2025年云南中考真题]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
3．[2025年山西中考真题]如图，为的直径，点C、D是上位于异侧的两点，连接、.若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4．[2025年四川自贡中考真题]，分别与相切于A，B两点.点C在上，不与点A，B重合.若，则的度数为( )
A. B. C. D.或
5．[2025年山东中考真题]在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
6．[2025年江苏镇江中考真题]如图，直线，直线m分别交，于点A，B，以A为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线m同侧的点C、D，，，则的长等于( )
A. B. C. D.
7．[2025年上海中考真题]在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为D，如果以D为圆心的圆与相交，那么的半径可以为( )
A.2 B.5 C.8 D.9
8．[2025年福建中考真题]如图，与相切于点A，的延长线交于点C.，且交于点B.若，则的大小为( )
A. B. C. D.
9．[2025年山西中考真题]如图，在中，，，分别以点B、C为圆心、的长为半径画弧，与、的延长线分别交于点D、E.若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10．[2025年湖北武汉中考真题]如图，四边形内接于，.若，，则的半径是( )
A. B. C. D.5
11．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______.
12．[2025年宁夏中考真题]如图，是的内切圆，，则______°.
13．[2025年青海西宁中考真题]如图，四边形是的外切四边形，，.则四边形的周长为______.
14．[2025年山东东营中考真题]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积(弦矢+矢)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______.
15．[2025年四川成都中考真题]如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点.若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为______.
16．[2025年湖南中考真题]如图，的顶点A，C在上，圆心O在边上，，与相切与点C，连接.
(1)求的度数；
(2)求证：.
17．[2025年安徽中考真题]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，.
(1)求证：；
(2)若，，求AB的长.
18．[2025年黑龙江齐齐哈尔中考真题]如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E.
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径.
19．[2025年湖北中考真题]如图，是的外接圆，.过点O作，垂足为E，交于点D，交于点F.过点F作的切线，交的延长线于点G.
(1)求证：；
(2)若，，求的半径.
20．[2025年江苏徐州中考真题]如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，.
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
21．[2025年内蒙古中考真题]如图，是的直径，半径，垂足为O，，P是延长线上一点，连接，交于点D，连接，.过点P作的切线，切点为E，交的延长线于点F.
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求的值.
22．[2025年天津中考真题]已知与相切于点C，，，与相交于点D，E为上一点.
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点F，延长与相交于点G，若的半径为3，求和的长.
参考答案
1．答案：B
解析：∵，
∴.
故选：B.
2．答案：B
解析：设圆锥底面圆半径为r，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B.
3．答案：B
解析：连接、，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
4．答案：D
解析：如图，连接，，
∵，分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选：D.
5．答案：D
解析：如图：连接、相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是.
故选D.
6．答案：C
解析：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为.
故选：C.
7．答案：B
解析：如图，连接并延长交于点E，
∵，D为中点，
∴，；
∵锐角三角形中，，
∴外接圆心O在上，
连接，由勾股定理得：；
设以D为圆心的圆的半径为，，相交应满足：，
即，解得：；
在此范围的半径只有选项B；
故选：B.
8．答案：C
解析：连接，，则：，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故选C.
9．答案：D
解析：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D.
10．答案：A
解析：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接，，
则，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设半径为R，
在中，，，，
由勾股定理得，，即，
解得.
故选：A.
11．答案：/70度
解析：设扇形的圆心角为.
由题意得：，
解得：.
故答案为：.
12．答案：
解析：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：.
13．答案：48
解析：如图，令与边，，，的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形是的外切四边形，
∴，，，，
∴
∴，
∴四边形的周长为
.
故答案为：48.
14．答案：/
解析：如图，作交于H，交圆弧于C，
由题意：，
设，由，
∴，
∵，为半径，
∴，
在中，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
15．答案：
解析：连接，交于点D，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)∵与相切与点C，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
17．答案：(1)见解析
(2)6
解析：(1)证明：由圆心角和圆周角的关系知，.
由条件知，，故.
(2)连接BD，交OC于点E.由题意知，，O是AB的中点.
又因为，所以，
且OE是的中位线，从而.
设半圆的半径为r，则.
由勾股定理知，，
即，解得，(舍去).
故.
18．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
.
为的半径，
是的切线.
(2)点B是的中点，
.
，
.
，
.
又，
.
.
在中.
.
即半径为.
19．答案：(1)证明过程见解析
(2)的半径
解析：(1)∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
(2)∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由(1)得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径.
20．答案：(1)直线与相切，理由见解析
(2)
解析：(1)直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
(2)如图，连接，作于点H，
，
，
.
，，
，，
，
，
.
图中阴影部分的面积为：.
21．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长；
(2)∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
(3)如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接.
与相切于点C，
.又，
平分.
∴.
，
.
在中，，
.
(2)由(1)知：.
，
.
为的一个外角，
.
由题意，为的直径，
.
又的半径为3，则：.
在中，，，
，.