主题十一 统计与概率 2026年中考数学专题复习考点解读
文档属性
| 名称 | 主题十一 统计与概率 2026年中考数学专题复习考点解读 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 22:04:13 | ||
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文档简介
对比维度 2022年版义务教育数学课程标准（2025修订） 2011年版义务教育数学课程标准
内容要求 1．抽样与数据分析 （1）体会抽样的必要性，通过实例认识简单随机抽样． （2）进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据． （3）会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据． （4）理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述． （5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差． （6）经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法． （7）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息． （8）体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差． （9）会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义． （10）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流． （11）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势． 1．抽样与数据分析 （1）经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据． （2）体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样． （3）会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据． （4）理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述． （5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差． （6）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息． （7）体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差． （8）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流． （9）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势．
2．随机事件的概率 （1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率． （2）知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 2．随机事件的概率 （1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率． （2）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率．
学业要求 1．抽样与数据分析：知道抽样调查的必要性和简单随机抽样的特点．能根据问题的需要，设计恰当的调查问卷并会用简单随机抽样收集数据；能绘制扇形统计图、频数直方图，能用扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数直方图等整理与描述收集到的数据，能读懂扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数直方图等反映的数据信息，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息；能计算一组数据的中位数、众数、加权平均数，知道计算加权平均数的分布式计算方法，知道中位数、众数、平均数都能刻画这组数据的集中趋势以及它们各自的特点；会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方差都能刻画这组数据的波动（离散）程度，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法；知道样本与总体的关系，能用样本平均数估计总体平均数，能用样本方差估计总体方差；知道百分位数和四分位数，能计算一组数据的四分位数，知道箱线图可以直观反映数据分布的信息；能根据问题的需要提取中位数、众数、平均数、四分位数、方差等数据的数字特征，能根据数据的数字特征解释或解决问题；能根据需要使用恰当的统计图表整理和表示数据，能根据统计图表分析随机现象的变化趋势；体会数据分析的重要性，感悟通过样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念． 2．随机事件的概率：能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等），能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果，能计算简单随机事件的概率；知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率；体会数据的随机性以及概率与统计的关系；能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题． 体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率．
教学目标 以现实生活实例为背景，引导学生理解抽样必要性，掌握简单随机抽样方法；理解数据数字特征的意义与功能，会用统计图表描述分析数据，推断总体变化趋势；感悟随机事件概率的意义，掌握简单随机事件概率计算方法，理解频率估计概率的道理，发展数据观念、模型观念和应用意识． 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题，侧重基础概念辨析与简单计算；解答题为主力题型，侧重以统计综合题形式出现．
考查形式 1．基础题型：考查全面调查与抽样调查的适用场景、总体与样本的辨析等，侧重概念本质理解． 2．数据处理题型：结合各类统计图，考查数据补全、统计量计算． 3．概率计算题型：以随机事件为背景，用列表法或树状图法计算概率． 4．综合应用题型：结合实际场景，考查用样本估计总体等．
核心素养考查 数据观念、数学运算、逻辑推理、模型观念
考点一 统计相关概念
1．全面调查与抽样调查
全面调查 抽样调查
定义 考查全体对象的调查叫做全面调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查
方法 问卷调查、访问调查、电话调查等 （1）简单随机抽样；（2）分层抽样
适用范围 当调查范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确全面时，一般采用全面调查 当调查对象涉及面大、范围广，受条件限制或具有破坏性时，一般采用抽样调查
优点 （1）结果准确；（2）能全面了解数据 （1）调查范围小；（2）节省时间、人力、物力；（3）受限制少
缺点 （1）调查范围广，工作量大；（2）受客观条件限制 （1）结果不如全面调查准确；（2）不能全面了解数据
2．总体、个体、样本与样本容量
概念 举例
总体 所考察对象的全体 为了了解一批节能灯的使用寿命，从中抽取8只节能灯进行调查，其中总体是这批节能灯的使用寿命，个体是这批节能灯中每只节能灯的使用寿命，样本是从中抽取的8只节能灯的使用寿命，样本容量是8
个体 组成总体的每一个考察对象
样本 从总体中所抽取的一部分个体
样本容量 样本中个体的数目
考点二 统计图表
1．条形图、扇形图、折线图的对比
统计图 相关概念 优点 图示
扇形统计图 各组百分比之和为1； 各组所在扇形的圆心角的度数=各组所占百分比×360° 可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量
条形统计图 各组数量之和=样本容量 未知组数量=样本容量已知组数量之和 能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化；易于比较数据之间的差别
折线统计图 各组频数之和=样本容量 能清楚地反映同一事物在不同时期的变化情况
2．频数分布表
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.
组数：分成组的个数叫做组数.
频数：落在各个小组内的数据的个数叫做频数.
3．频数分布直方图
（1）为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表画出频数分布直方图.画频数分布直方图的基本步骤如下：
①计算最大值与最小值的差，确定数据值的变化范围；
②决定组距和组数，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组；
③列频数分布表；
④画频数分布直方图.
（2）频数分布直方图的构成
频数分布直方图由横轴、纵轴、小长方形三部分构成.
横轴表示分组情况，纵轴表示频数与组距的比值.因此，小长方形的面积=.
等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）.因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.
（3）等距分组的频数分布直方图的具体画法：
①画两条互相垂直的轴：横轴和纵轴；
②在横轴上划分一些相互衔接的线段，每条线段表示一组，在每条线段的左端点表明这组的下限，在线段的右端点标明其上限；
③在纵轴上划分刻度，并用自然数标记；
④以横轴上的每条线段为底各作一个长方形立于横轴上，使各长方形的高等于相应的频数.
考点三 统计量
1．算术平均数
算术平均数：一般地，如果有个数，那么我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作，则.
2．加权平均数
（1）一般地，若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，···，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫做这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
3．用样本平均数估计总体平均数
（1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值.
（2）用样本的平均数估计总体的平均数：当所要考查的对象很多，或者对考查对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数.
4．中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
5．众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
6．方差
（1）方差的概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动性的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
（2）方差的计算公式：若个数据的平均数为，
则方差.
（3）求方差的一般步骤：①求原始数据的平均数；②求原始数据中各数据与平均数的差；③将所得的差分别平方；④求③中所得数据的平均数.
（4）方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
7．极差、平均差、标准差
（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
（2）平均差：一组数据中各个数据与其平均数的差的绝对值的平均数叫做这组数据的平均差，即平均差.
（3）标准差：标准差是方差的算术平方根，即.
考点四 事件类型与概率计算
1．确定性事件与随机事件
事件类型 定义 举例
确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件. 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球.
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球.
随机事件 （不确定性事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球.
2．概率
（1）概率：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为.
（2）概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率.
（3）概率的取值范围：
①当为必然事件时，；
②当为随机事件时，；
③当为不可能事件时，.
（4）事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
3．用直接列举法（枚举法）求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式（在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中的种结果）求事件发生的概率.
4．用列表法求概率
（1）列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
（2）适用条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.
（3）具体步骤：
①选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖列，列出表格；
②运用概率公式计算概率.
5．用画树状图法求概率
（1）画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
（2）适用条件：当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法.
6．利用频率估计概率
（1）频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.
（2）用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件发生的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率.
计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数，那么估计事件发生的概率.
（3）频率与概率的区别与联系
频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
统计与概率：
题型覆盖选择、填空和解答题，其中解答题侧重统计图表分析、数据处理及概率计算．
在此基础上延伸，结合实际生活场景考查数据收集、整理、分析及用样本估计总体，同时涉及统计与概率的综合应用，强调数据观念与应用意识的培养．
1．[2025年山东淄博中考真题]某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据(单位：h)如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.5，6 B.5，7 C.6，6 D.6，7
2．[2025年山东东营中考真题]2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼.将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为( ).
A. B. C. D.
3．[2025年贵州中考真题]某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：( )
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为( )
A. B. C. D.
4．[2025年江西中考真题]某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是( )
A.随机抽取城区三分之一的学校 B.随机抽取乡村三分之一的学校
C.调查全体学校 D.随机抽取三分之一的学校
5．[2025年江苏徐州中考真题]一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A.至多有1个球是红球 B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球 D.至少有1个球是黑球
6．[2025年山东济南中考真题]某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是( )
A. B. C. D.
7．[2025年山西中考真题]下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是( )
2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高 12 6 10 9 8
最低 1 0 2
A.日最高气温的波动大 B.日最低气温的波动大
C.一样大 D.无法比较
8．[2025年江苏扬州中考真题]下列说法不正确的是( )
A.明天下雨是随机事件
B.调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C.描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
9．[2025年山东烟台中考真题]求一组数据方差的算式为：
.由算式提供的信息，下列说法错误的是( )
A.的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
10．[2025年浙江中考真题]某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是( )
A.科技类图书销售了60册 B.文艺类图书销售了120册
C.文艺类图书销售占比 D.其他类图书销售占比
11．[2025年江苏徐州中考真题]小明家月的电费(单位：元)分别为：137，140，140，117，104.该组数据的中位数是______.
12．[2025年上海中考真题]为了解乘客到达高铁站后离开的方式.某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，调查结果如图所示.如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为______.
13．[2025年福建中考真题]某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B.(填“>”“=”或“<”)
14．[2025年山东济南中考真题]在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为______.
15．[2025年黑龙江大庆中考真题]2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为______.
16．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.
A组学生跳绳次数(单位：次)如下：65，70，73，80，85，95，96，96，98
组别 次数x(单位：次) 频数
A组 9
B组 m
C组 12
D组 3
根据以上信息回答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，m的值是_____；
(3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名.
17．[2025年四川甘孜州中考真题]为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数.
18．[2025年江苏南通中考真题]为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表.
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 a 10 9 8 5
(1)表格中a的值为_____________；
(2)若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数；
(3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队.已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩(每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩)如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由.
19．[2025年江苏徐州中考真题]如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母.转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次.
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.
20．[2025年湖南中考真题]为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数(单位：次)的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查.已知这两个年级的学生人数均为200人.
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析.
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9，8，6，10，8，8，7，3，6，7
7，5，8，4，8，5，7，6，8，6
【整理数据】结果如表：
画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
【分析数据】数据的平均数是，方差是.
【解决问题】答下列问题：
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况.
21．[2025年青海西宁中考真题]近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以"雪豹"为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A.玩偶 B.冰箱贴 C.创意摆件 D.手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中"玩偶"对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以"雪豹"为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
22．[2025年北京中考真题]校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9；
c.四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056(填“>”“=”或“<”)；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______.
参考答案
1．答案：C
解析：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为；
在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6，
故选：C.
2．答案：D
解析：∵总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张.
∴抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为.
故选：D.
3．答案：B
解析：当抛掷次数较小时(如20次、60次等)，频率波动较大(、等)，当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为.
故选：B.
4．答案：D
解析：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意；
D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
故选：D.
5．答案：C
解析：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A.至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B.至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C.至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D.至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C.
6．答案：A
解析：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，
∴恰好选到同一种营养套餐的概率是.
故选：A.
7．答案：A
解析：最高气温数据：12，6，10，9，8，
∴平均数：，
各数据与平均数的差的平方：，，，，，
∴方差：，
∵最低气温数据：1，，，0，2，
∴平均数：，
各数据与平均数的差的平方：，，，，，
∴方差：，
∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确；
故选：A.
8．答案：B
解析：A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意.
故选：B.
9．答案：C
解析：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确.
选项B、平均数，正确.
选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误.
选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确.
综上，错误的说法是C.
故选C.
10．答案：D
解析：总销售量为：(册)，
∴科技类图书销售了(册)，
∴文艺类图书销售了(册)，
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D.
11．答案：137
解析：将该组数据从小到大排列为：104，117，137，140，140.其中位于中间位置的数为137，
所以该组数据的中位数是137，
故答案为：137.
12．答案：1800人
解析：(万人)(人)；
故答案为：1800人.
13．答案：>
解析：∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
故答案为：>.
14．答案：
解析：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，
所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，
故答案为：.
15．答案：
解析：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，
根据题意可列出表格如下：
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为.
故答案为：.
16．答案：(1)60
(2)85，36
(3)900
解析：(1)由题意得：(名).
答：一共抽取60名学生.
(2)由A组学生跳绳次数(单位：次)如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85，
；
故答案为85，36.
(3)由题意得：(名).
答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名.
17．答案：(1)①40；②见解析；③90
(2)280人
解析：(1)①∵科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，
∴调查总人数为(名).
故答案为：40；
②数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即(人).
补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条(与其他条形宽度一致)；
③扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为
故答案为：90；
(2)样本中喜欢计算思维课程的人数占比为，
∵该校共有800名学生参加课程，
∴估计喜欢计算思维课程的学生人数为(人).
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人.
18．答案：(1)
(2)人
(3)选拔甲同学，理由见解析
解析：(1)，
故答案为：.
(2)(人)
答：估计该校参加足球活动的学生人数约为人.
(3)选择甲，理由：
由图知，，，
∴，
又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定，
∴选拔甲同学.
19．答案：(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
解析：(1)旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是.
(2)列表如下：
A B C D
P
Q
R
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为.
20．答案：(1)见解析
(2)120人
(3)见解析
解析：(1)由题意得，这一组的频数为，
补全统计图与统计表如下：
画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
T 2
(2)人，
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人；
(3)由题意得，七年级的平均数为，八年级的平均数为，
∵，
∴七年级学生在此段时间内参加公益活动次数比八年级学生的少.
21．答案：(1)120
(2)
(3)600人
(4).
解析：(1)，
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
，
故答案为：；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即，，，.
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品).
22．答案：(1)
(2)<
(3)乙、丁、甲、丙
解析：(1)甲的10次测试成绩排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9，
∴中位数，
故答案为：；
(2)乙的10次测试成绩平均数为：
，
∴方差为：
∴，
故答案为：<；
(3)丙的平均数，
∴丙的平均数最大，则实力最弱，
∵方差，
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为，
∴第5，6次成绩和为，
∴前5次测试成绩小于平均数，
∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，
故答案为：乙、丁、甲、丙.
内容要求 1．抽样与数据分析 （1）体会抽样的必要性，通过实例认识简单随机抽样． （2）进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据． （3）会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据． （4）理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述． （5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差． （6）经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法． （7）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息． （8）体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差． （9）会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义． （10）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流． （11）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势． 1．抽样与数据分析 （1）经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据． （2）体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样． （3）会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据． （4）理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述． （5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差． （6）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息． （7）体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差． （8）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流． （9）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势．
2．随机事件的概率 （1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率． （2）知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 2．随机事件的概率 （1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率． （2）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率．
学业要求 1．抽样与数据分析：知道抽样调查的必要性和简单随机抽样的特点．能根据问题的需要，设计恰当的调查问卷并会用简单随机抽样收集数据；能绘制扇形统计图、频数直方图，能用扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数直方图等整理与描述收集到的数据，能读懂扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数直方图等反映的数据信息，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息；能计算一组数据的中位数、众数、加权平均数，知道计算加权平均数的分布式计算方法，知道中位数、众数、平均数都能刻画这组数据的集中趋势以及它们各自的特点；会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方差都能刻画这组数据的波动（离散）程度，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法；知道样本与总体的关系，能用样本平均数估计总体平均数，能用样本方差估计总体方差；知道百分位数和四分位数，能计算一组数据的四分位数，知道箱线图可以直观反映数据分布的信息；能根据问题的需要提取中位数、众数、平均数、四分位数、方差等数据的数字特征，能根据数据的数字特征解释或解决问题；能根据需要使用恰当的统计图表整理和表示数据，能根据统计图表分析随机现象的变化趋势；体会数据分析的重要性，感悟通过样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念． 2．随机事件的概率：能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等），能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果，能计算简单随机事件的概率；知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率；体会数据的随机性以及概率与统计的关系；能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题． 体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率．
教学目标 以现实生活实例为背景，引导学生理解抽样必要性，掌握简单随机抽样方法；理解数据数字特征的意义与功能，会用统计图表描述分析数据，推断总体变化趋势；感悟随机事件概率的意义，掌握简单随机事件概率计算方法，理解频率估计概率的道理，发展数据观念、模型观念和应用意识． 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题，侧重基础概念辨析与简单计算；解答题为主力题型，侧重以统计综合题形式出现．
考查形式 1．基础题型：考查全面调查与抽样调查的适用场景、总体与样本的辨析等，侧重概念本质理解． 2．数据处理题型：结合各类统计图，考查数据补全、统计量计算． 3．概率计算题型：以随机事件为背景，用列表法或树状图法计算概率． 4．综合应用题型：结合实际场景，考查用样本估计总体等．
核心素养考查 数据观念、数学运算、逻辑推理、模型观念
考点一 统计相关概念
1．全面调查与抽样调查
全面调查 抽样调查
定义 考查全体对象的调查叫做全面调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查
方法 问卷调查、访问调查、电话调查等 （1）简单随机抽样；（2）分层抽样
适用范围 当调查范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确全面时，一般采用全面调查 当调查对象涉及面大、范围广，受条件限制或具有破坏性时，一般采用抽样调查
优点 （1）结果准确；（2）能全面了解数据 （1）调查范围小；（2）节省时间、人力、物力；（3）受限制少
缺点 （1）调查范围广，工作量大；（2）受客观条件限制 （1）结果不如全面调查准确；（2）不能全面了解数据
2．总体、个体、样本与样本容量
概念 举例
总体 所考察对象的全体 为了了解一批节能灯的使用寿命，从中抽取8只节能灯进行调查，其中总体是这批节能灯的使用寿命，个体是这批节能灯中每只节能灯的使用寿命，样本是从中抽取的8只节能灯的使用寿命，样本容量是8
个体 组成总体的每一个考察对象
样本 从总体中所抽取的一部分个体
样本容量 样本中个体的数目
考点二 统计图表
1．条形图、扇形图、折线图的对比
统计图 相关概念 优点 图示
扇形统计图 各组百分比之和为1； 各组所在扇形的圆心角的度数=各组所占百分比×360° 可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量
条形统计图 各组数量之和=样本容量 未知组数量=样本容量已知组数量之和 能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化；易于比较数据之间的差别
折线统计图 各组频数之和=样本容量 能清楚地反映同一事物在不同时期的变化情况
2．频数分布表
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.
组数：分成组的个数叫做组数.
频数：落在各个小组内的数据的个数叫做频数.
3．频数分布直方图
（1）为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表画出频数分布直方图.画频数分布直方图的基本步骤如下：
①计算最大值与最小值的差，确定数据值的变化范围；
②决定组距和组数，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组；
③列频数分布表；
④画频数分布直方图.
（2）频数分布直方图的构成
频数分布直方图由横轴、纵轴、小长方形三部分构成.
横轴表示分组情况，纵轴表示频数与组距的比值.因此，小长方形的面积=.
等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）.因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.
（3）等距分组的频数分布直方图的具体画法：
①画两条互相垂直的轴：横轴和纵轴；
②在横轴上划分一些相互衔接的线段，每条线段表示一组，在每条线段的左端点表明这组的下限，在线段的右端点标明其上限；
③在纵轴上划分刻度，并用自然数标记；
④以横轴上的每条线段为底各作一个长方形立于横轴上，使各长方形的高等于相应的频数.
考点三 统计量
1．算术平均数
算术平均数：一般地，如果有个数，那么我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作，则.
2．加权平均数
（1）一般地，若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，···，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫做这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
3．用样本平均数估计总体平均数
（1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值.
（2）用样本的平均数估计总体的平均数：当所要考查的对象很多，或者对考查对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数.
4．中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
5．众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
6．方差
（1）方差的概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动性的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
（2）方差的计算公式：若个数据的平均数为，
则方差.
（3）求方差的一般步骤：①求原始数据的平均数；②求原始数据中各数据与平均数的差；③将所得的差分别平方；④求③中所得数据的平均数.
（4）方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
7．极差、平均差、标准差
（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
（2）平均差：一组数据中各个数据与其平均数的差的绝对值的平均数叫做这组数据的平均差，即平均差.
（3）标准差：标准差是方差的算术平方根，即.
考点四 事件类型与概率计算
1．确定性事件与随机事件
事件类型 定义 举例
确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件. 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球.
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球.
随机事件 （不确定性事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球.
2．概率
（1）概率：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为.
（2）概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率.
（3）概率的取值范围：
①当为必然事件时，；
②当为随机事件时，；
③当为不可能事件时，.
（4）事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
3．用直接列举法（枚举法）求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式（在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中的种结果）求事件发生的概率.
4．用列表法求概率
（1）列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
（2）适用条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.
（3）具体步骤：
①选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖列，列出表格；
②运用概率公式计算概率.
5．用画树状图法求概率
（1）画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
（2）适用条件：当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法.
6．利用频率估计概率
（1）频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.
（2）用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件发生的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率.
计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数，那么估计事件发生的概率.
（3）频率与概率的区别与联系
频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
统计与概率：
题型覆盖选择、填空和解答题，其中解答题侧重统计图表分析、数据处理及概率计算．
在此基础上延伸，结合实际生活场景考查数据收集、整理、分析及用样本估计总体，同时涉及统计与概率的综合应用，强调数据观念与应用意识的培养．
1．[2025年山东淄博中考真题]某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据(单位：h)如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.5，6 B.5，7 C.6，6 D.6，7
2．[2025年山东东营中考真题]2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼.将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为( ).
A. B. C. D.
3．[2025年贵州中考真题]某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：( )
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为( )
A. B. C. D.
4．[2025年江西中考真题]某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是( )
A.随机抽取城区三分之一的学校 B.随机抽取乡村三分之一的学校
C.调查全体学校 D.随机抽取三分之一的学校
5．[2025年江苏徐州中考真题]一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A.至多有1个球是红球 B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球 D.至少有1个球是黑球
6．[2025年山东济南中考真题]某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是( )
A. B. C. D.
7．[2025年山西中考真题]下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是( )
2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高 12 6 10 9 8
最低 1 0 2
A.日最高气温的波动大 B.日最低气温的波动大
C.一样大 D.无法比较
8．[2025年江苏扬州中考真题]下列说法不正确的是( )
A.明天下雨是随机事件
B.调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C.描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
9．[2025年山东烟台中考真题]求一组数据方差的算式为：
.由算式提供的信息，下列说法错误的是( )
A.的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
10．[2025年浙江中考真题]某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是( )
A.科技类图书销售了60册 B.文艺类图书销售了120册
C.文艺类图书销售占比 D.其他类图书销售占比
11．[2025年江苏徐州中考真题]小明家月的电费(单位：元)分别为：137，140，140，117，104.该组数据的中位数是______.
12．[2025年上海中考真题]为了解乘客到达高铁站后离开的方式.某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，调查结果如图所示.如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为______.
13．[2025年福建中考真题]某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B.(填“>”“=”或“<”)
14．[2025年山东济南中考真题]在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为______.
15．[2025年黑龙江大庆中考真题]2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为______.
16．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.
A组学生跳绳次数(单位：次)如下：65，70，73，80，85，95，96，96，98
组别 次数x(单位：次) 频数
A组 9
B组 m
C组 12
D组 3
根据以上信息回答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，m的值是_____；
(3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名.
17．[2025年四川甘孜州中考真题]为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数.
18．[2025年江苏南通中考真题]为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表.
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 a 10 9 8 5
(1)表格中a的值为_____________；
(2)若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数；
(3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队.已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩(每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩)如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由.
19．[2025年江苏徐州中考真题]如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母.转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次.
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.
20．[2025年湖南中考真题]为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数(单位：次)的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查.已知这两个年级的学生人数均为200人.
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析.
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9，8，6，10，8，8，7，3，6，7
7，5，8，4，8，5，7，6，8，6
【整理数据】结果如表：
画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
【分析数据】数据的平均数是，方差是.
【解决问题】答下列问题：
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况.
21．[2025年青海西宁中考真题]近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以"雪豹"为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A.玩偶 B.冰箱贴 C.创意摆件 D.手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中"玩偶"对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以"雪豹"为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
22．[2025年北京中考真题]校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9；
c.四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056(填“>”“=”或“<”)；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______.
参考答案
1．答案：C
解析：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为；
在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6，
故选：C.
2．答案：D
解析：∵总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张.
∴抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为.
故选：D.
3．答案：B
解析：当抛掷次数较小时(如20次、60次等)，频率波动较大(、等)，当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为.
故选：B.
4．答案：D
解析：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意；
D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
故选：D.
5．答案：C
解析：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A.至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B.至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C.至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D.至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C.
6．答案：A
解析：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，
∴恰好选到同一种营养套餐的概率是.
故选：A.
7．答案：A
解析：最高气温数据：12，6，10，9，8，
∴平均数：，
各数据与平均数的差的平方：，，，，，
∴方差：，
∵最低气温数据：1，，，0，2，
∴平均数：，
各数据与平均数的差的平方：，，，，，
∴方差：，
∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确；
故选：A.
8．答案：B
解析：A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意.
故选：B.
9．答案：C
解析：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确.
选项B、平均数，正确.
选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误.
选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确.
综上，错误的说法是C.
故选C.
10．答案：D
解析：总销售量为：(册)，
∴科技类图书销售了(册)，
∴文艺类图书销售了(册)，
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D.
11．答案：137
解析：将该组数据从小到大排列为：104，117，137，140，140.其中位于中间位置的数为137，
所以该组数据的中位数是137，
故答案为：137.
12．答案：1800人
解析：(万人)(人)；
故答案为：1800人.
13．答案：>
解析：∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
故答案为：>.
14．答案：
解析：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，
所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，
故答案为：.
15．答案：
解析：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，
根据题意可列出表格如下：
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为.
故答案为：.
16．答案：(1)60
(2)85，36
(3)900
解析：(1)由题意得：(名).
答：一共抽取60名学生.
(2)由A组学生跳绳次数(单位：次)如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85，
；
故答案为85，36.
(3)由题意得：(名).
答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名.
17．答案：(1)①40；②见解析；③90
(2)280人
解析：(1)①∵科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，
∴调查总人数为(名).
故答案为：40；
②数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即(人).
补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条(与其他条形宽度一致)；
③扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为
故答案为：90；
(2)样本中喜欢计算思维课程的人数占比为，
∵该校共有800名学生参加课程，
∴估计喜欢计算思维课程的学生人数为(人).
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人.
18．答案：(1)
(2)人
(3)选拔甲同学，理由见解析
解析：(1)，
故答案为：.
(2)(人)
答：估计该校参加足球活动的学生人数约为人.
(3)选择甲，理由：
由图知，，，
∴，
又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定，
∴选拔甲同学.
19．答案：(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
解析：(1)旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是.
(2)列表如下：
A B C D
P
Q
R
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为.
20．答案：(1)见解析
(2)120人
(3)见解析
解析：(1)由题意得，这一组的频数为，
补全统计图与统计表如下：
画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
T 2
(2)人，
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人；
(3)由题意得，七年级的平均数为，八年级的平均数为，
∵，
∴七年级学生在此段时间内参加公益活动次数比八年级学生的少.
21．答案：(1)120
(2)
(3)600人
(4).
解析：(1)，
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
，
故答案为：；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即，，，.
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品).
22．答案：(1)
(2)<
(3)乙、丁、甲、丙
解析：(1)甲的10次测试成绩排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9，
∴中位数，
故答案为：；
(2)乙的10次测试成绩平均数为：
，
∴方差为：
∴，
故答案为：<；
(3)丙的平均数，
∴丙的平均数最大，则实力最弱，
∵方差，
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为，
∴第5，6次成绩和为，
∴前5次测试成绩小于平均数，
∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，
故答案为：乙、丁、甲、丙.
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