黑龙江省哈尔滨市2025年数学中考试卷
1．（2025·哈尔滨）的倒数是（ ）
A． B．-2 C． D．2
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是2
故答案为：D
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．（2025·哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．（2025·哈尔滨）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将32000000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次方相乘的形式.
4．（2025·哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
俯视图是
故答案为：A
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
5．（2025·哈尔滨）方程的解为（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=-3 D．x=1
【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，5x=3x+6
解得：x=3
经检验，x=3是原方程的解
故答案为：B
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
6．（2025·哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(3，4) B．(-3，4) C．(-3，-4) D．(3，-4)
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：的顶点坐标是(3，4)
故答案为：A
【分析】根据二次函数的顶点式即可求出顶点坐标.
7．（2025·哈尔滨）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（ ）个小正方形.
A．30 B．40 C．49 D．56
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：拼第1个正方形需要4=22个小正方形
拼第2个正方形需要9=32个小正方形
拼第3个正方形需要16=42个小正方形
......
∴拼第n个正方形需要16=(n+1)2个小正方形
∴拼成的第6个正方形需要72=49个小正方形
故答案为：C
【分析】根据前三个正方形需要的小正方形的个数，总结规律即可求出答案.
8．（2025·哈尔滨）如图，AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8
∴
故答案为：D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
9．（2025·哈尔滨）如图，△ABC中，AB=AC=10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由作图可得，AD平分∠BAC
∵AB=AC=10
∴AE⊥AC
∵F是AB的中点
∴
故答案为：A
【分析】由作图可得，AD平分∠BAC，再根据三角形三线合一性质可得AE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．（2025·哈尔滨）如图，在 ABCD中，∠A=30°，AB=6，AD=3.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：∵AB=6，AD=3
∴Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒
①当0∴AP=3x，AQ=2x
∴BQ=AB-AQ=6-2x
∵∠A=30°
∴
∴，即
②当1∵AB∥CD
∴DH=PG
∵∠A=30°，AD=3
∴
∴，即
故答案为：A
【分析】由题意可得Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒，分情况讨论：①当011．（2025·哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 .
【答案】x≠7
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-7≠0，解得x≠7
故答案为：x≠7
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025·哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 .
【答案】3(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=3(m2-4)=3(m+2)(m-2)
故答案为：3(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
13．（2025·哈尔滨）桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．（2025·哈尔滨）不等式组的解集是 .
【答案】2＜x＜7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解得：
∴不等式组的解集为2＜x＜7
故答案为：2＜x＜7
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
15．（2025·哈尔滨）一个扇形的弧长是半径是3cm，则此扇形的圆心角是 度.
【答案】70
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆心角为x°
∴
解得：x=70
故答案为：70
【分析】设圆心角为x°，根据弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2025·哈尔滨）某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P= W.
【答案】20
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：
v与f的函数关系式为
由图象可得，图象经过点(2，10)，代入
P=vF=2×10=20
故答案为：20
【分析】由题意可得：v与f的函数关系式为，再根据待定系数法将点(2，10)代入解析式即可求出答案.
17．（2025·哈尔滨）定义新运算：a b=2ab-b2，则(3n) (2n)的运算结果是 .
【答案】8n2
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
(3n) (2n)=2·3n·2n-(2n)2=12n2-4n2=8n2
故答案为：8n2
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
18．（2025·哈尔滨）在△ABC中，∠A=80'，点D在射线AB上，AD=AC，连接CD，∠BCD=10°，则∠ABC= 度.
【答案】40或60
【知识点】等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图，
∵∠A=80°，AD=AC
∴∠ADC=∠ACD=50°
∴∠ABC=∠ADC-∠BCD=40°
②如图，
∵∠A=80°，AD=AC
∴∠ADC=∠ACD=50°
∴∠ABC=∠ADC+∠BCD=60°
故答案为：40或60
【分析】分情况讨论，结合等腰三角形性质及角之间的关系即可求出答案.
19．（2025·哈尔滨）抛物线 与y轴交于点C(0，-3)，与x轴交于点A，B，则线段AB长是 .
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：将点C坐标代入抛物线，可得：c=-3
∴
令
解得：x1=-1，x2=3
∴A(-1，0)，B(3，0)
∴AB=3-(-1)=4
故答案为：4
【分析】根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得，再根据x轴上点的坐标特征令y=0，解方程可得A，B坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
20．（2025·哈尔滨）如图， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA=OC，OB=OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA=FN=1，AB=3，则OD=；④若FA=1，AB=3，∠ABE=60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是上述结论中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD，①正确
∵EF⊥BD，OB=OD
∴EF是BD的垂直平分线
∴EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠FBO=∠EDO
在△FBO和△EDO中
∴△FBO≌△EDO(ASA)
∴FB=ED
∴EB=ED=FB=FD
∴四边形BEDF是菱形，②正确
∵FA=FN=1，AB=3
∴FB=FA+AB=4，∠FNA=∠FMB，∠OAN=∠OCM
∴∠FBM=∠FMB
∴FM=FN=4
在△OAN和△OCM中
∴△OAN≌△OCM(ASA)
∴OM=ON
∴MN=2ON
∴FM=FN+MN=1+ON=4
∴
∴
在Rt△OBF中，
∴，③错误
过点A作AH⊥BD与点H，连接PD
∴△ABH和△ADH都是直角三角形
∵FA=1，AB=3
∴FB=FA+AB=4
∵四边形BEDF是菱形
∴EB=ED=FB=FD=4
∵∠ABE=60°
∴△BEF是等边三角形
∴
∴
在Rt△OBF中，
∴
∴
在Rt△ABH中，∠FBO=30°
∴
∴
∴
在Rt△ADH中，
∵EF是BD的垂直平分线
∴PB=PD
∴PA+PB=PA+PD
∴当PA+PD为最小时，PA+PB为最小
∵
∴PA+PB的最小值为，④正确
综上所述，正确的结论为①②④
故答案为：①②④
【分析】根据平行四边形性质可判断①；根据垂直平分线判定定理可得EF是BD的垂直平分线，则EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°，根据平行四边形性质可得AB∥CD，则∠FBO=∠EDO，根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则FB=ED，根据菱形判定定理可判断②；根据边之间的关系可判断FB，再根据角之间的关系可得∠FBM=∠FMB，根据等角对等边可得FM=FN=4，再根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则OM=ON，根据边之间的关系可得OF，再根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系可判断③；过点A作AH⊥BD与点H，连接PD，根据直角三角形判定定理可得△ABH和△ADH都是直角三角形，根据边之间的关系可得FB，根据菱形性质可得EB=ED=FB=FD=4，再根据等边三角形判定定理可得△BEF是等边三角形，则，，根据勾股定理可得OB，则，根据边之间的关系可得BD，再根据含30°角的直角三角形性质可得AH，再根据勾股定理可得BH，根据边之间的关系可得DH，再根据勾股定理可得AD，根据垂直平分线性质可得PB=PD，则PA+PB=PA+PD，当PA+PD为最小时，PA+PB为最小，根据边之间的关系可得，可判断④.
21．（2025·哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中
【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据特殊角的三角函数值可得a，再代入代数式即可求出答案.
22．（2025·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图.
（1）在方格纸中，画出△ACD(点D在格点上)，满足且的面积是5；
（2）在的边BA上画出点E，使线段BE的长是3个单位长度(保留作图痕迹，体现作图过程)，连接ED，并直接写出tan∠EDA的值.
【答案】（1）解：△ACD如图所示
（2）解：如图，点E即为所求.
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH⊥AD于点E
∵BN⊥AD
∴EH∥BN
∴△AEH∽△ABN
∴
∵，BE=3
∴AE=AB-BE=2
∴，解得：
∴
∴
在Rt△EDH中，
【分析】（1）根据边之间的关系及三角形面积作图即可.
（2）根据边之间的关系作出点E即可，过点E作EH⊥AD于点E，根据直线平行判定定理可得EH∥BN，再根据相似三角形判定定理可得△AEH∽△ABN，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得AE，代入等式，解方程可得，再根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系可得DH，再根据正切定义即可求出答案.
23．（2025·哈尔滨）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颗立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.
A组学生跳绳次数(单位：次)如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98
组别 次数x(单位：次) 频数
A组 60≤x＜100 9
B组 100≤x＜140 m
C组 140≤x＜180 12
D组 180≤x＜220 3
根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生
（2） A组学生跳绳次数的中位数是 ，m的值是 ；
（3）若颗立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有多少名.
【答案】（1）解：12÷20%=60(名).
答：一共抽取60名学生.
（2）85；36
（3）解：(名).
答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有900名.
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由题意可得；处在最中间的数为85
∴A组学生跳绳次数的中位数是85
故答案为：85，36
【分析】（1）根据C组的人数与占比可得总人数.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以100≤x＜140范围的占比即可求出答案.
24．（2025·哈尔滨）已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF.
（1）如图①，求证
（2）如图②，过点C作，交AF的延长线于点E，CM平分，交AE于点M，连接BM，AE交BC于点N，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段BF相等的线段(线段AF，BF除外)。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°.
∵△CDF是等边三角形，
∴DF=CF，∠FDC=∠FCD=60°.
∴∠ADF=∠BCF=30.
∴△ADF≌△BCF.
（2）BM，EM，BG，FN.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）与线段BF相等的线段有BM，EM，BG，FN，理由如下：
∵△CDF为等边三角形
∴∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC，CF=CD=CB=DF=DA
∴∠ADF=∠BCF=90°-60°=30°
∴
∴∠CFE=180°-∠AFD-∠DFC=45°，∠FAB=∠FBA=90°-75°=15°
∴∠ANB=90°-15°=75°=∠CNM=∠CBF，∠MFB=15°+15°=30°
∴BF=FN
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线
∴∠CDB=45°
∴∠CGD=∠FGB=180°-45°-60°=75°=∠GFB
∴BG=BF
∵CE⊥CF，∠FCE=90°
∴∠BCE=∠FCE-∠BCF=90°-30°=60°，∠E=180°-∠FCE-∠CFE=45°=∠CFE
∴CF=CE
∵CM平分∠BCE
∴∠BCM=∠ECM=30°
∴∠CMN=180°-75°-30°=75°
∵CM=CM
∴△BCM≌△ECM(SAS)
∴BM=EM，∠CMB=∠CME=180°-45°-30°=105°
∴∠BMF=105°-75°=30°=∠BFM
∴BF=BM
∴BF=BM=BG=FN=EM
【分析】（1）根据正方形性质可得AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据等边三角形性质可得DF=CF，∠FDC=∠FCD=60°，则∠ADF=∠BCF=30，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC，CF=CD=CB=DF=DA，根据角之间的关系可得∠ADF=∠BCF=30°，再根据等角对等边及三角形内角和定理可得，根据三角形内角和定理可得∠CFE=45°，∠FAB=15°，根据角之间的关系可得∠ANB=∠CNM=∠CBF，∠MFB=30°，则BF=FN，根据正方形性质可得∠CDB=45°，根据三角形内角和定理可得∠CGD=∠FGB=∠GFB，则BG=BF，再根据角之间的关系可得∠BCE，再根据三角形内角和定理可得∠E=∠CFE，则CF=CE，根据角平分线定义可得∠BCM=∠ECM=30°，再根据三角形内角和定理可得∠CMN，根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△ECM(SAS)，则BM=EM，∠CMB=∠CME=105°，根据角之间的关系可得∠BMF=∠BFM，则BF=BM，即可求出答案.
25．（2025·哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元.
（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯
【答案】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、y元.
由题意，得
解得
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元.
（2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯(50-m)盏.
由题意，得
6m+8(50-m)≤360.
解得m≥20.
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯(50-m)盏，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
26．（2025·哈尔滨）已知：内接于⊙O，圆心O在的内部，CD为⊙O的直径，连接BD，
（1）如图①，求证ABAC；
（2）如图②，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，求证.BC=2PA；
（3）如图③，在（2）的条件下，PD=3BD，连接DA并延长至点E，连接OE交AC于点M，OE=AB，G为BC.上一点，，连接CG，点N在CG上，连接ON，CN=7，点F为的中点，连接EF，AF，求的面积.
【答案】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=90°.
设∠ABD=α.
∴∠ABC=90°-α，∠ACD=∠ABD=α.
∵∠BCD+2∠ABD=90°，
∴∠BCD=90°-2α.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°-α.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
（2）证明：连接OA，OB，并延长AO交DC于点R.
∵AB=AC，OB=OC
∴AO垂直平分BC.
∴∠ARB=90°，BR=CR.
∵AF是⊙O的切线，
∴∠PAR=90°.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°.
∵四边形PARB是矩形，
∴PA=BR=CR.
∴BC=2PA.
（3）解：如图③，连接OF，OA，并延长AO交BC于点R.
∵F为的中点，
∴OF⊥AC
∵CD是⊙O的直径
∴∠DAC=90°
∴OF∥AD
∴∠COF=∠EDC
∴∠AOC=2∠EDC
∵∠EON=2∠EDC
∴∠AOC=∠EO
∴∠AOM=∠EOX
∵OA=OC
∴∠ACO=∠OAC.
，
∵∠ACO=∠DCN.
∴∠ACO=∠OCN=∠OAC.
∴△AOM≌△CON.
∴AM=CN=7.
∵PD=3BD，
设BD=x，则PD=3
∵四边形PARB是矩形，
∴AR=PB=4x.
∵OC=OD，
∴CD=7x，BC=2PA=4x.
∴AD=x，AB=2x.
过点O作OH⊥AD于点H.
解得
∴OH=14.
∵OF∥AD，
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠CBD=90°，设∠ABD=α，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=90°-α，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD=α，再根据角之间的关系可得∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）连接OA，OB，并延长AO交DC于点R，根据垂直平分线判定定理可得AO垂直平分BC，则∠ARB=90°，BR=CR，再根据切线性质可得∠PAR=90°，再根据圆周角定理可得∠CBD=90°，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接OF，OA，并延长AO交BC于点R，根据垂径定理可得OF⊥AC，再根据圆周角定理可得∠DAC=90°，根据直线平行性质可得∠COF=∠EDC，再根据角之间的关系可得∠AOM=∠EOX，再根据等边对等角可得∠ACO=∠OAC，根据圆周角定理可得∠ACO=∠OCN=∠OAC，再根据全等三角形判定定理可得△AOM≌△CON，则AM=CN=7，设BD=x，则PD=3，根据矩形性质可得AR=PB=4x，则，，根据边之间的关系可得，过点O作OH⊥AD于点H，根据勾股定理可得OH，再根据正弦定义可得，根据特殊角的三角函数值可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据三角形面积即可求出答案.
27．（2025·哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图①，C为x轴正半轴上一点，于点D，点D在线段AB上(点D不与点A重合)，连接AC，设点C的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式(要求写出自变量m的取值范围)；
（3）如图②，在（2）的条件下，点D横坐标为-3m，在第一象限内作直角三角形AEC，，点F在x轴上，设点F的横坐标为：n(2n＜4)，点S在OC上，，在第四象限内作，连接OR，交x轴于点G，连接EF并延长GR于点P，求点P的坐标.
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b.
将点(0，7)，代入，
得
解得
∴直线AB的解析式为
（2）解：
∵点C的横坐标为m，
∵CD⊥AB，
∴CD=BC·sin∠ABC
（3）解：如图②，过点D作DT⊥x轴于点T.
∵点D的横坐标为-3m，点C的横坐标为m.
∴CT=4m.
∴DT=3m.
∴
∴m=1.
∵∠OCE=135°，
∴直线CE的解析式为y=x-1.
∵∠AEC=90°，
∴直线AE的解析式为y=-x+7.
∴E(4，3).
，
过点E作EH⊥x轴于点H.
∴∠ROS=∠OFP.
延长OR，EP交于点Q，过点Q作QL⊥x轴于点L.
在y轴负半轴上截取OK=OG，连接KG交OQ，FQ于点M，N，连接KQ.
∵∠OGR+∠GOQ=∠GOQ+∠KOQ=90°，
∴OQ=RG.
设∠KOQ-∠OGR=a.
∵OK=OG，
∵∠QKIN=∠PGN=45-α，∠KQN=90+2a，
∴∠KNQ=∠PNG=-a.
设PN=PG=b，PR=3a.
∴KQ=QN=OR=5a-b.PQ=5a.
∴RQ=4a.
∴OQ=9a-b，RG=3a+b.
∴9a-b=3a+b，b=3a.
∴FH=1，OF=3.
∴n=3.
∴直线RG的解析式为
直线EF的解析式为y=3x-9.
联立
解得
∴点P的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点(0，7)，代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据正弦定义可得，根据两点间距离可得，再根据正弦定义建立方程，化简即可求出答案.
（3）过点D作DT⊥x轴于点T，根据两点间距离可得CT=4m，解直角三角形可得DT，BT，OT，建立方程，解方程可得m=1，求出直线CE的解析式为y=x-1，直线AE的解析式为y=-x+7，过点E作EH⊥x轴于点H，根据正切定义可得∠ROS=∠OFP，延长OR，EP交于点Q，过点Q作QL⊥x轴于点L，则，在y轴负半轴上截取OK=OG，连接KG交OQ，FQ于点M，N，连接KQ，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设∠KOQ-∠OGR=a，则，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠KNQ=∠PNG=-a，设PN=PG=b，PR=3a，根据边之间的关系可得OQ=9a-b，RG=3a+b，根据正切定义可得n=3，则，求出直线RG的解析式为，直线EF的解析式为y=3x-9，联立直线解析式，解方程组即可求出答案.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市2025年数学中考试卷
1．（2025·哈尔滨）的倒数是（ ）
A． B．-2 C． D．2
2．（2025·哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·哈尔滨）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·哈尔滨）方程的解为（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=-3 D．x=1
6．（2025·哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(3，4) B．(-3，4) C．(-3，-4) D．(3，-4)
7．（2025·哈尔滨）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（ ）个小正方形.
A．30 B．40 C．49 D．56
8．（2025·哈尔滨）如图，AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·哈尔滨）如图，△ABC中，AB=AC=10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
10．（2025·哈尔滨）如图，在 ABCD中，∠A=30°，AB=6，AD=3.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 .
12．（2025·哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 .
13．（2025·哈尔滨）桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是 .
14．（2025·哈尔滨）不等式组的解集是 .
15．（2025·哈尔滨）一个扇形的弧长是半径是3cm，则此扇形的圆心角是 度.
16．（2025·哈尔滨）某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P= W.
17．（2025·哈尔滨）定义新运算：a b=2ab-b2，则(3n) (2n)的运算结果是 .
18．（2025·哈尔滨）在△ABC中，∠A=80'，点D在射线AB上，AD=AC，连接CD，∠BCD=10°，则∠ABC= 度.
19．（2025·哈尔滨）抛物线 与y轴交于点C(0，-3)，与x轴交于点A，B，则线段AB长是 .
20．（2025·哈尔滨）如图， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA=OC，OB=OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA=FN=1，AB=3，则OD=；④若FA=1，AB=3，∠ABE=60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是上述结论中，所有正确结论的序号是 .
21．（2025·哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中
22．（2025·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图.
（1）在方格纸中，画出△ACD(点D在格点上)，满足且的面积是5；
（2）在的边BA上画出点E，使线段BE的长是3个单位长度(保留作图痕迹，体现作图过程)，连接ED，并直接写出tan∠EDA的值.
23．（2025·哈尔滨）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颗立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.
A组学生跳绳次数(单位：次)如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98
组别 次数x(单位：次) 频数
A组 60≤x＜100 9
B组 100≤x＜140 m
C组 140≤x＜180 12
D组 180≤x＜220 3
根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生
（2） A组学生跳绳次数的中位数是 ，m的值是 ；
（3）若颗立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有多少名.
24．（2025·哈尔滨）已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF.
（1）如图①，求证
（2）如图②，过点C作，交AF的延长线于点E，CM平分，交AE于点M，连接BM，AE交BC于点N，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段BF相等的线段(线段AF，BF除外)。
25．（2025·哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元.
（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯
26．（2025·哈尔滨）已知：内接于⊙O，圆心O在的内部，CD为⊙O的直径，连接BD，
（1）如图①，求证ABAC；
（2）如图②，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，求证.BC=2PA；
（3）如图③，在（2）的条件下，PD=3BD，连接DA并延长至点E，连接OE交AC于点M，OE=AB，G为BC.上一点，，连接CG，点N在CG上，连接ON，CN=7，点F为的中点，连接EF，AF，求的面积.
27．（2025·哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图①，C为x轴正半轴上一点，于点D，点D在线段AB上(点D不与点A重合)，连接AC，设点C的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式(要求写出自变量m的取值范围)；
（3）如图②，在（2）的条件下，点D横坐标为-3m，在第一象限内作直角三角形AEC，，点F在x轴上，设点F的横坐标为：n(2n＜4)，点S在OC上，，在第四象限内作，连接OR，交x轴于点G，连接EF并延长GR于点P，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是2
故答案为：D
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将32000000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次方相乘的形式.
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
俯视图是
故答案为：A
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，5x=3x+6
解得：x=3
经检验，x=3是原方程的解
故答案为：B
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：的顶点坐标是(3，4)
故答案为：A
【分析】根据二次函数的顶点式即可求出顶点坐标.
7．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：拼第1个正方形需要4=22个小正方形
拼第2个正方形需要9=32个小正方形
拼第3个正方形需要16=42个小正方形
......
∴拼第n个正方形需要16=(n+1)2个小正方形
∴拼成的第6个正方形需要72=49个小正方形
故答案为：C
【分析】根据前三个正方形需要的小正方形的个数，总结规律即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8
∴
故答案为：D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由作图可得，AD平分∠BAC
∵AB=AC=10
∴AE⊥AC
∵F是AB的中点
∴
故答案为：A
【分析】由作图可得，AD平分∠BAC，再根据三角形三线合一性质可得AE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：∵AB=6，AD=3
∴Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒
①当0∴AP=3x，AQ=2x
∴BQ=AB-AQ=6-2x
∵∠A=30°
∴
∴，即
②当1∵AB∥CD
∴DH=PG
∵∠A=30°，AD=3
∴
∴，即
故答案为：A
【分析】由题意可得Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒，分情况讨论：①当011．【答案】x≠7
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-7≠0，解得x≠7
故答案为：x≠7
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】3(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=3(m2-4)=3(m+2)(m-2)
故答案为：3(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】2＜x＜7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解得：
∴不等式组的解集为2＜x＜7
故答案为：2＜x＜7
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
15．【答案】70
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆心角为x°
∴
解得：x=70
故答案为：70
【分析】设圆心角为x°，根据弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】20
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：
v与f的函数关系式为
由图象可得，图象经过点(2，10)，代入
P=vF=2×10=20
故答案为：20
【分析】由题意可得：v与f的函数关系式为，再根据待定系数法将点(2，10)代入解析式即可求出答案.
17．【答案】8n2
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
(3n) (2n)=2·3n·2n-(2n)2=12n2-4n2=8n2
故答案为：8n2
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
18．【答案】40或60
【知识点】等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图，
∵∠A=80°，AD=AC
∴∠ADC=∠ACD=50°
∴∠ABC=∠ADC-∠BCD=40°
②如图，
∵∠A=80°，AD=AC
∴∠ADC=∠ACD=50°
∴∠ABC=∠ADC+∠BCD=60°
故答案为：40或60
【分析】分情况讨论，结合等腰三角形性质及角之间的关系即可求出答案.
19．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：将点C坐标代入抛物线，可得：c=-3
∴
令
解得：x1=-1，x2=3
∴A(-1，0)，B(3，0)
∴AB=3-(-1)=4
故答案为：4
【分析】根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得，再根据x轴上点的坐标特征令y=0，解方程可得A，B坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
20．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD，①正确
∵EF⊥BD，OB=OD
∴EF是BD的垂直平分线
∴EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠FBO=∠EDO
在△FBO和△EDO中
∴△FBO≌△EDO(ASA)
∴FB=ED
∴EB=ED=FB=FD
∴四边形BEDF是菱形，②正确
∵FA=FN=1，AB=3
∴FB=FA+AB=4，∠FNA=∠FMB，∠OAN=∠OCM
∴∠FBM=∠FMB
∴FM=FN=4
在△OAN和△OCM中
∴△OAN≌△OCM(ASA)
∴OM=ON
∴MN=2ON
∴FM=FN+MN=1+ON=4
∴
∴
在Rt△OBF中，
∴，③错误
过点A作AH⊥BD与点H，连接PD
∴△ABH和△ADH都是直角三角形
∵FA=1，AB=3
∴FB=FA+AB=4
∵四边形BEDF是菱形
∴EB=ED=FB=FD=4
∵∠ABE=60°
∴△BEF是等边三角形
∴
∴
在Rt△OBF中，
∴
∴
在Rt△ABH中，∠FBO=30°
∴
∴
∴
在Rt△ADH中，
∵EF是BD的垂直平分线
∴PB=PD
∴PA+PB=PA+PD
∴当PA+PD为最小时，PA+PB为最小
∵
∴PA+PB的最小值为，④正确
综上所述，正确的结论为①②④
故答案为：①②④
【分析】根据平行四边形性质可判断①；根据垂直平分线判定定理可得EF是BD的垂直平分线，则EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°，根据平行四边形性质可得AB∥CD，则∠FBO=∠EDO，根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则FB=ED，根据菱形判定定理可判断②；根据边之间的关系可判断FB，再根据角之间的关系可得∠FBM=∠FMB，根据等角对等边可得FM=FN=4，再根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则OM=ON，根据边之间的关系可得OF，再根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系可判断③；过点A作AH⊥BD与点H，连接PD，根据直角三角形判定定理可得△ABH和△ADH都是直角三角形，根据边之间的关系可得FB，根据菱形性质可得EB=ED=FB=FD=4，再根据等边三角形判定定理可得△BEF是等边三角形，则，，根据勾股定理可得OB，则，根据边之间的关系可得BD，再根据含30°角的直角三角形性质可得AH，再根据勾股定理可得BH，根据边之间的关系可得DH，再根据勾股定理可得AD，根据垂直平分线性质可得PB=PD，则PA+PB=PA+PD，当PA+PD为最小时，PA+PB为最小，根据边之间的关系可得，可判断④.
21．【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据特殊角的三角函数值可得a，再代入代数式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：△ACD如图所示
（2）解：如图，点E即为所求.
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH⊥AD于点E
∵BN⊥AD
∴EH∥BN
∴△AEH∽△ABN
∴
∵，BE=3
∴AE=AB-BE=2
∴，解得：
∴
∴
在Rt△EDH中，
【分析】（1）根据边之间的关系及三角形面积作图即可.
（2）根据边之间的关系作出点E即可，过点E作EH⊥AD于点E，根据直线平行判定定理可得EH∥BN，再根据相似三角形判定定理可得△AEH∽△ABN，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得AE，代入等式，解方程可得，再根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系可得DH，再根据正切定义即可求出答案.
23．【答案】（1）解：12÷20%=60(名).
答：一共抽取60名学生.
（2）85；36
（3）解：(名).
答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有900名.
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由题意可得；处在最中间的数为85
∴A组学生跳绳次数的中位数是85
故答案为：85，36
【分析】（1）根据C组的人数与占比可得总人数.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以100≤x＜140范围的占比即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°.
∵△CDF是等边三角形，
∴DF=CF，∠FDC=∠FCD=60°.
∴∠ADF=∠BCF=30.
∴△ADF≌△BCF.
（2）BM，EM，BG，FN.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）与线段BF相等的线段有BM，EM，BG，FN，理由如下：
∵△CDF为等边三角形
∴∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC，CF=CD=CB=DF=DA
∴∠ADF=∠BCF=90°-60°=30°
∴
∴∠CFE=180°-∠AFD-∠DFC=45°，∠FAB=∠FBA=90°-75°=15°
∴∠ANB=90°-15°=75°=∠CNM=∠CBF，∠MFB=15°+15°=30°
∴BF=FN
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线
∴∠CDB=45°
∴∠CGD=∠FGB=180°-45°-60°=75°=∠GFB
∴BG=BF
∵CE⊥CF，∠FCE=90°
∴∠BCE=∠FCE-∠BCF=90°-30°=60°，∠E=180°-∠FCE-∠CFE=45°=∠CFE
∴CF=CE
∵CM平分∠BCE
∴∠BCM=∠ECM=30°
∴∠CMN=180°-75°-30°=75°
∵CM=CM
∴△BCM≌△ECM(SAS)
∴BM=EM，∠CMB=∠CME=180°-45°-30°=105°
∴∠BMF=105°-75°=30°=∠BFM
∴BF=BM
∴BF=BM=BG=FN=EM
【分析】（1）根据正方形性质可得AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据等边三角形性质可得DF=CF，∠FDC=∠FCD=60°，则∠ADF=∠BCF=30，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC，CF=CD=CB=DF=DA，根据角之间的关系可得∠ADF=∠BCF=30°，再根据等角对等边及三角形内角和定理可得，根据三角形内角和定理可得∠CFE=45°，∠FAB=15°，根据角之间的关系可得∠ANB=∠CNM=∠CBF，∠MFB=30°，则BF=FN，根据正方形性质可得∠CDB=45°，根据三角形内角和定理可得∠CGD=∠FGB=∠GFB，则BG=BF，再根据角之间的关系可得∠BCE，再根据三角形内角和定理可得∠E=∠CFE，则CF=CE，根据角平分线定义可得∠BCM=∠ECM=30°，再根据三角形内角和定理可得∠CMN，根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△ECM(SAS)，则BM=EM，∠CMB=∠CME=105°，根据角之间的关系可得∠BMF=∠BFM，则BF=BM，即可求出答案.
25．【答案】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、y元.
由题意，得
解得
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元.
（2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯(50-m)盏.
由题意，得
6m+8(50-m)≤360.
解得m≥20.
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯(50-m)盏，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
26．【答案】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=90°.
设∠ABD=α.
∴∠ABC=90°-α，∠ACD=∠ABD=α.
∵∠BCD+2∠ABD=90°，
∴∠BCD=90°-2α.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°-α.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
（2）证明：连接OA，OB，并延长AO交DC于点R.
∵AB=AC，OB=OC
∴AO垂直平分BC.
∴∠ARB=90°，BR=CR.
∵AF是⊙O的切线，
∴∠PAR=90°.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°.
∵四边形PARB是矩形，
∴PA=BR=CR.
∴BC=2PA.
（3）解：如图③，连接OF，OA，并延长AO交BC于点R.
∵F为的中点，
∴OF⊥AC
∵CD是⊙O的直径
∴∠DAC=90°
∴OF∥AD
∴∠COF=∠EDC
∴∠AOC=2∠EDC
∵∠EON=2∠EDC
∴∠AOC=∠EO
∴∠AOM=∠EOX
∵OA=OC
∴∠ACO=∠OAC.
，
∵∠ACO=∠DCN.
∴∠ACO=∠OCN=∠OAC.
∴△AOM≌△CON.
∴AM=CN=7.
∵PD=3BD，
设BD=x，则PD=3
∵四边形PARB是矩形，
∴AR=PB=4x.
∵OC=OD，
∴CD=7x，BC=2PA=4x.
∴AD=x，AB=2x.
过点O作OH⊥AD于点H.
解得
∴OH=14.
∵OF∥AD，
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠CBD=90°，设∠ABD=α，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=90°-α，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD=α，再根据角之间的关系可得∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）连接OA，OB，并延长AO交DC于点R，根据垂直平分线判定定理可得AO垂直平分BC，则∠ARB=90°，BR=CR，再根据切线性质可得∠PAR=90°，再根据圆周角定理可得∠CBD=90°，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接OF，OA，并延长AO交BC于点R，根据垂径定理可得OF⊥AC，再根据圆周角定理可得∠DAC=90°，根据直线平行性质可得∠COF=∠EDC，再根据角之间的关系可得∠AOM=∠EOX，再根据等边对等角可得∠ACO=∠OAC，根据圆周角定理可得∠ACO=∠OCN=∠OAC，再根据全等三角形判定定理可得△AOM≌△CON，则AM=CN=7，设BD=x，则PD=3，根据矩形性质可得AR=PB=4x，则，，根据边之间的关系可得，过点O作OH⊥AD于点H，根据勾股定理可得OH，再根据正弦定义可得，根据特殊角的三角函数值可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据三角形面积即可求出答案.
27．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b.
将点(0，7)，代入，
得
解得
∴直线AB的解析式为
（2）解：
∵点C的横坐标为m，
∵CD⊥AB，
∴CD=BC·sin∠ABC
（3）解：如图②，过点D作DT⊥x轴于点T.
∵点D的横坐标为-3m，点C的横坐标为m.
∴CT=4m.
∴DT=3m.
∴
∴m=1.
∵∠OCE=135°，
∴直线CE的解析式为y=x-1.
∵∠AEC=90°，
∴直线AE的解析式为y=-x+7.
∴E(4，3).
，
过点E作EH⊥x轴于点H.
∴∠ROS=∠OFP.
延长OR，EP交于点Q，过点Q作QL⊥x轴于点L.
在y轴负半轴上截取OK=OG，连接KG交OQ，FQ于点M，N，连接KQ.
∵∠OGR+∠GOQ=∠GOQ+∠KOQ=90°，
∴OQ=RG.
设∠KOQ-∠OGR=a.
∵OK=OG，
∵∠QKIN=∠PGN=45-α，∠KQN=90+2a，
∴∠KNQ=∠PNG=-a.
设PN=PG=b，PR=3a.
∴KQ=QN=OR=5a-b.PQ=5a.
∴RQ=4a.
∴OQ=9a-b，RG=3a+b.
∴9a-b=3a+b，b=3a.
∴FH=1，OF=3.
∴n=3.
∴直线RG的解析式为
直线EF的解析式为y=3x-9.
联立
解得
∴点P的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点(0，7)，代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据正弦定义可得，根据两点间距离可得，再根据正弦定义建立方程，化简即可求出答案.
（3）过点D作DT⊥x轴于点T，根据两点间距离可得CT=4m，解直角三角形可得DT，BT，OT，建立方程，解方程可得m=1，求出直线CE的解析式为y=x-1，直线AE的解析式为y=-x+7，过点E作EH⊥x轴于点H，根据正切定义可得∠ROS=∠OFP，延长OR，EP交于点Q，过点Q作QL⊥x轴于点L，则，在y轴负半轴上截取OK=OG，连接KG交OQ，FQ于点M，N，连接KQ，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设∠KOQ-∠OGR=a，则，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠KNQ=∠PNG=-a，设PN=PG=b，PR=3a，根据边之间的关系可得OQ=9a-b，RG=3a+b，根据正切定义可得n=3，则，求出直线RG的解析式为，直线EF的解析式为y=3x-9，联立直线解析式，解方程组即可求出答案.
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