主题五 三角形 2026年中考数学专题复习考点解读
文档属性
| 名称 | 主题五 三角形 2026年中考数学专题复习考点解读 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 22:04:59 | ||
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文档简介
对比维度 2022年版义务教育数学课程标准（2025修订） 2011年版义务教育数学课程标准
内容要求 1．三角形 （1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． （2）探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （3）证明三角形的任意两边之和大于第三边． （4）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角． （5）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． （6）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． （7）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等． （8）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． （9）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （10）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． （11）理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°．探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形． （12）理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． （13）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． （14）探索并掌握判定直角三角形全等的＂斜边、直角边＂定理． （15）了解三角形重心的概念． （16）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形． 1．三角形 （1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． （2）探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边． （3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角． （4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． （5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． （6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等． （7）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． （8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． （10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形． （11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． （12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． （13）探索并掌握判定直角三角形全等的＂斜边、直角边＂定理． （14）了解三角形重心的概念．
2．定义、命理、定理 （1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义． （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． （3）知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式． （4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． （5）通过实例体会反证法的含义． 2．定义、命理、定理 （1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义． （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． （3）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式． （4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． （5）通过实例体会反证法的含义．
学业要求 了解三角形的概念，掌握三角形的分类、边与角的基本性质；理解三角形的内角和、三边关系，能运用三角形全等的判定与性质解决问题；经历三角形相关结论的探究与证明过程，感悟几何逻辑的传递性，形成几何直观和推理能力；能进行与三角形有关的尺规作图（如作角平分线、中线、高），理解作图原理，发展空间观念和空间想象力． 探索并掌握三角形的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；能运用三角形知识解决简单问题．
教学目标 经历三角形概念与性质的形成过程，理解三角形的构成与逻辑关系；掌握三角形的性质、判定及推理证明方法，能够解释几何结论的意义，发展几何直观与推理能力． 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题考查三角形的基本概念、性质；解答题侧重考查三角形全等的证明，以及与线段、角结合的推理问题.
考查形式 1．基础题型：集中考查三角形的基础知识和基本技能，是主要考查题型． 2．推理证明题型：以三角形为载体，考查全等的逻辑推理与演绎证明能力． 3．创新探究题型：考查合情推理与归纳概括能力． 4．实际应用题型：结合生活场景，考查三角形模型的构建与应用能力．
核心素养考查 直观想象、逻辑推理、数学运算、模型观念
考点一 三角形及其全等
1．三角形的三边关系及角的关系
分类 按角分： 按边分：
性质 三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
角的关系： （1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （2）内外角关系： a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图， b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图，
边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边（大边对大角，小边对小角）
三角形具有稳定性
2．与三角形有关的重要线段
名称 图形 性质 重要结论
中线 三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形
高 ， 即 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是直角的顶点； 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心
角平分线 三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心
中位线 且 中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:4
3．命题、定理与反证法
命题 定义 判断一件事情的语句，叫作命题
分类 题设成立时，结论一定成立的命题叫作真命题
题设成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题
组成 命题都是题设和结论两部分组成的
互逆命题 一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题
基本事实 公认的真命题成为基本事实
定理 有些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理，在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明
反证法 定义：不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法
证明步骤：假设命题的结论不正确从假设的结论出发推出矛盾否定假设，肯定原命题的结论正确
4．全等三角形的性质与判定
概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等
判定 边边边（）：三边分别相等的两个三角形全等
边角边（）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角：（）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边（）：两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形相等
斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【提示】判定一般三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等
考点二 等腰三角形、等边三角形的性质及判定
1．等腰三角形的性质
图形 数学语言 文字描述
在中，因为，所以 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
①因为， 所以平分，且. ②因为， 所以，且平分. ③因为，平分，所以，且 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
特别提醒 （1）应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中，不能乱用. （2）“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及该腰的对角的平分线不一定重合
2．等腰三角形的判定
等腰三角形的判定方法 图形表示 几何推理 注意事项
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 为等腰三角形 这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） “等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角”
3．等边三角形的概念及性质
定义 性质
等边三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”. （3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
知识详解 （1）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. （2）所有的等边三角形都是等腰三角形，但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形
4．等边三角形的判定
等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个叫角是60°的等腰三角形是等边三角形
知识详解 （1）等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法. （2）“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”. （3）第三种判定方法是在等腰三角形的条件下，60°的角无论是顶角还是底角都成立
考点三 线段的垂直平分线和角平分线
1．线段的垂直平分线
线段的垂直平分线 图形
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上
判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识详解 （1）由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都有广泛的应用. （2）线段的垂直平分线的判定是画线段垂直平分线的依据
2．角平分线的性质
内容 符号语言 图形
角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 如果点在的平分线上，且于点，于点，那么
知识详解 （1）性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长. （2）性质中有两个条件：一是点在角的平分线上，二是这个点到角两边的距离，即这个点到角的两边的垂线段的长度，两者缺一不可. （3）利用角的平分线的性质证明线段相等，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”. （4）应用角平分线的性质解题的格式： 平分，于点，于点， . （5）角平分线的性质的作用：由于角平分线的性质的结论是两条线段相等，因此角平分线的性质常被用来证明两条线段相等
3．角平分线的判定
内容 符号语言 图形
角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 如果点为内一点，于点，于点，且，那么点在的平分线上
知识详解 （1）角平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等.要正确理解，明确条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据. （2）应用角平分线的判定解题的格式： 于点，于点，， 平分
考点四 直角三角形的性质及判定
1．含角的直角三角形的性质
具体内容 图例
含角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在中，，，是斜边的中点，则有
知识详解 （1）将两个含角的全等直角三角形的长直角边重合（如图），可得到一个等边三角形，即可证明这条性质的正确性. （2）应用模式：在中， . （3）该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用. （4）这个性质主要用于计算线段长和证明线段的倍分关系. （5）在有些题目中，若给出的角是，往往运用一个外角等于它和不相邻的两个内角和，找出的角后，再利用这个性质解决问题
2．直角三角形的判定
（1）有一个角等于的三角形是直角三角形（定义）；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足
，那么这个三角形是直角三角形；
（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，图中若，则是以为直角的直角三角形（应用时，需先证明）
（5）面积：，其中为两直角边，为斜边，为斜边上的高
（6）拓展：内切圆半径，外接圆半径，其中为两直角边长，为斜边长.
考点五 勾股定理及其逆定理的应用
1．勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
2．勾股定理的证明
方法 图形 证明
“赵爽弦图” 因为大正方形的边长为， 所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.
刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以
加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为， 则. 因为，所以
毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积 ，比较两式易得
3．勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
三角形：考查以基础题为主，覆盖概念、性质与简单推理，选择、填空题型占比大．
全等与特殊三角形：在基础上延伸，涉及全等判定、等腰／直角三角形性质、勾股定理，难度中等，侧重推理证明与性质应用．
推理与作图：考查逻辑推理能力和尺规作图（作三角形、角平分线等），题型含证明题、作图题，强调逻辑严谨与作图规范．
1．[2025年海南中考真题]已知三角形三条边的长分别为3、5、，则x的值可能是( )
A.2 B.5 C.8 D.11
2．[2025年山西中考真题]如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中与全等的依据是( )
A. B. C. D.
3．[2025年西藏中考真题]如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4．[2025年湖南长沙中考真题]如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，，，则的周长为( )
A.5 B.6 C.6.5 D.7
5．[2025年江苏宿迁中考真题]如图，在中，，点D、E、F分别是边、、的中点，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
6．[2025年江苏连云港中考真题]如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7．[2025年天津中考真题]如图，是的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点E，与边相交于点F；②以点B为圆心，长为半径画弧，与边相交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线，与相交于点M，与边相交于点N.则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
8．[2025年北京中考真题]如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B.若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为( )
A. B. C. D.
9．[2025年天津中考真题]如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接.若，，则线段的长为( )
A. B. C.4 D.
10．[2025年青海西宁中考真题]如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P(点P与点A在直线l的两侧)；作直线交直线l于点O，连接，，，.根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤.其中正确结论的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11．[2025年江苏宿迁中考真题]等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为______.
12．[2025年江苏扬州中考真题]如图，在中，点D，E分别是边，的中点，点F在线段的延长线上，且，若，，则的长是______.
13．[2025年四川成都中考真题]如图，在中，，，.以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为______.
14．[2025年山东东营中考真题]如图，在中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是______.
15．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]在中，，点D在射线上，，连接，，则______度.
16．[2025年吉林长春中考真题]图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上.
(1)在图①中，是面积最大的等腰三角形；
(2)在图②中，是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形.
17．[2025年湖南长沙中考真题]如图，在中，，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
(1)求的度数；
(2)若，求AD的长.
18．[2025年山东淄博中考真题]已知：如图：在中，D，F分别为边，的中点，.求证：
(1)；
(2).
19．[2025年重庆中考真题]学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线.
小红在的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线(如图).请你利用尺规作图，在OB边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为的平分线(不写作法，保留作图痕迹).
第二步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明：，，
.
在和中，
平分.
20．[2025年西藏中考真题]用一副直角三角板按图(1)的位置摆放，抽象成如图(2)的示意图，已知，求四边形的面积(结果保留根号).
21．[2025年青海西宁中考真题]如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接.
(1)求证：；
(2)若，求的长.
22．[2025年福建中考真题]如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的.已知过点A，交于点G.
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形.
参考答案
1．答案：B
解析：∵三角形的三边长分别为3，x，5，
∴，
即，
故选B.
2．答案：B
解析：在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故选：B.
3．答案：C
解析：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴.
故选：C.
4．答案：D
解析：由折叠可得，，
∴，
∴.
故选：D.
5．答案：C
解析：点D、E、F分别是边、、的中点
∴，，为的中位线，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
故A、B、D正确，不符合题意；
∵，F是边的中点，
∴，
故C错误，符合题意，
故选：C.
6．答案：C
解析：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C.
7．答案：D
解析：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明，的大小关系，
∴无法判断，的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到，的大小关系，故C选项错误；
故选：D.
8．答案：B
解析：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B.
9．答案：D
解析：如图，连接，交于点O，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D.
10．答案：B
解析：由作图可得，，
∴垂直平分，故②正确.
∵，，
∴平分，故③正确.
由作图可得，
∴，
∴，故⑤正确.
∵，但无法判断，
∴无法得到是等边三角形，故①错误.
∵，，但无法得到，
∴无法证明四边形是菱形，故④错误.
综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个.
故选：B.
11．答案：10
解析：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形，
周长为：，
故答案为：10.
12．答案：6
解析：∵在中，点D，E分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6.
13．答案：/
解析：连接，，设与相交于O，
根据作图过程，得，，
∴垂直平分，则，，
∵在中，，，，
∴，
由得
，
∴，
故答案为：.
14．答案：3
解析：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值.
是的平分线，
，
是点B到直线的最短距离(垂线段最短)，
，
.
的最小值是，
故答案为：3.
15．答案：40或60
解析：当点D在射线上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在射线上，且在点B之外，
∴，即，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在线段上，且在点B之内，
∴，
∴；
故答案为：40或60.
16．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)如图所示，即为所求；
(2)如图所示，即为所求；
(3)如图所示，即为所求.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)，，.
由作图可知，CD是的角平分线，
.
(2)在中，由三角形内角和定理得，
，，
在中，，
.
...
，.
18．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：∵D，F分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
19．答案：；；
解析：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
.
在和中，
，
.
，
平分.
20．答案：
解析：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形，
∴，，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴
，
即四边形的面积为.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
(2)∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴.
22．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)是等边三角形，
.
D是的中点，
.
，
，
.
(2)由平移可知：，
，
又，
，
∴，，
又，
垂直平分，
，
由(1)知，，
，
，
是等边三角形.
内容要求 1．三角形 （1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． （2）探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （3）证明三角形的任意两边之和大于第三边． （4）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角． （5）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． （6）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． （7）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等． （8）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． （9）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （10）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． （11）理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°．探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形． （12）理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． （13）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． （14）探索并掌握判定直角三角形全等的＂斜边、直角边＂定理． （15）了解三角形重心的概念． （16）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形． 1．三角形 （1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． （2）探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边． （3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角． （4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． （5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． （6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等． （7）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． （8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． （10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形． （11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． （12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． （13）探索并掌握判定直角三角形全等的＂斜边、直角边＂定理． （14）了解三角形重心的概念．
2．定义、命理、定理 （1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义． （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． （3）知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式． （4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． （5）通过实例体会反证法的含义． 2．定义、命理、定理 （1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义． （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． （3）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式． （4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． （5）通过实例体会反证法的含义．
学业要求 了解三角形的概念，掌握三角形的分类、边与角的基本性质；理解三角形的内角和、三边关系，能运用三角形全等的判定与性质解决问题；经历三角形相关结论的探究与证明过程，感悟几何逻辑的传递性，形成几何直观和推理能力；能进行与三角形有关的尺规作图（如作角平分线、中线、高），理解作图原理，发展空间观念和空间想象力． 探索并掌握三角形的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；能运用三角形知识解决简单问题．
教学目标 经历三角形概念与性质的形成过程，理解三角形的构成与逻辑关系；掌握三角形的性质、判定及推理证明方法，能够解释几何结论的意义，发展几何直观与推理能力． 无具体相关内容
纬度 具体表现
题型分布 选择题、填空题考查三角形的基本概念、性质；解答题侧重考查三角形全等的证明，以及与线段、角结合的推理问题.
考查形式 1．基础题型：集中考查三角形的基础知识和基本技能，是主要考查题型． 2．推理证明题型：以三角形为载体，考查全等的逻辑推理与演绎证明能力． 3．创新探究题型：考查合情推理与归纳概括能力． 4．实际应用题型：结合生活场景，考查三角形模型的构建与应用能力．
核心素养考查 直观想象、逻辑推理、数学运算、模型观念
考点一 三角形及其全等
1．三角形的三边关系及角的关系
分类 按角分： 按边分：
性质 三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
角的关系： （1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （2）内外角关系： a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图， b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图，
边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边（大边对大角，小边对小角）
三角形具有稳定性
2．与三角形有关的重要线段
名称 图形 性质 重要结论
中线 三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形
高 ， 即 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是直角的顶点； 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心
角平分线 三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心
中位线 且 中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:4
3．命题、定理与反证法
命题 定义 判断一件事情的语句，叫作命题
分类 题设成立时，结论一定成立的命题叫作真命题
题设成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题
组成 命题都是题设和结论两部分组成的
互逆命题 一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题
基本事实 公认的真命题成为基本事实
定理 有些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理，在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明
反证法 定义：不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法
证明步骤：假设命题的结论不正确从假设的结论出发推出矛盾否定假设，肯定原命题的结论正确
4．全等三角形的性质与判定
概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等
判定 边边边（）：三边分别相等的两个三角形全等
边角边（）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角：（）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边（）：两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形相等
斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【提示】判定一般三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等
考点二 等腰三角形、等边三角形的性质及判定
1．等腰三角形的性质
图形 数学语言 文字描述
在中，因为，所以 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
①因为， 所以平分，且. ②因为， 所以，且平分. ③因为，平分，所以，且 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
特别提醒 （1）应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中，不能乱用. （2）“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及该腰的对角的平分线不一定重合
2．等腰三角形的判定
等腰三角形的判定方法 图形表示 几何推理 注意事项
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 为等腰三角形 这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） “等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角”
3．等边三角形的概念及性质
定义 性质
等边三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”. （3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
知识详解 （1）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. （2）所有的等边三角形都是等腰三角形，但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形
4．等边三角形的判定
等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个叫角是60°的等腰三角形是等边三角形
知识详解 （1）等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法. （2）“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”. （3）第三种判定方法是在等腰三角形的条件下，60°的角无论是顶角还是底角都成立
考点三 线段的垂直平分线和角平分线
1．线段的垂直平分线
线段的垂直平分线 图形
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上
判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识详解 （1）由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都有广泛的应用. （2）线段的垂直平分线的判定是画线段垂直平分线的依据
2．角平分线的性质
内容 符号语言 图形
角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 如果点在的平分线上，且于点，于点，那么
知识详解 （1）性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长. （2）性质中有两个条件：一是点在角的平分线上，二是这个点到角两边的距离，即这个点到角的两边的垂线段的长度，两者缺一不可. （3）利用角的平分线的性质证明线段相等，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”. （4）应用角平分线的性质解题的格式： 平分，于点，于点， . （5）角平分线的性质的作用：由于角平分线的性质的结论是两条线段相等，因此角平分线的性质常被用来证明两条线段相等
3．角平分线的判定
内容 符号语言 图形
角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 如果点为内一点，于点，于点，且，那么点在的平分线上
知识详解 （1）角平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等.要正确理解，明确条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据. （2）应用角平分线的判定解题的格式： 于点，于点，， 平分
考点四 直角三角形的性质及判定
1．含角的直角三角形的性质
具体内容 图例
含角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在中，，，是斜边的中点，则有
知识详解 （1）将两个含角的全等直角三角形的长直角边重合（如图），可得到一个等边三角形，即可证明这条性质的正确性. （2）应用模式：在中， . （3）该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用. （4）这个性质主要用于计算线段长和证明线段的倍分关系. （5）在有些题目中，若给出的角是，往往运用一个外角等于它和不相邻的两个内角和，找出的角后，再利用这个性质解决问题
2．直角三角形的判定
（1）有一个角等于的三角形是直角三角形（定义）；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足
，那么这个三角形是直角三角形；
（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，图中若，则是以为直角的直角三角形（应用时，需先证明）
（5）面积：，其中为两直角边，为斜边，为斜边上的高
（6）拓展：内切圆半径，外接圆半径，其中为两直角边长，为斜边长.
考点五 勾股定理及其逆定理的应用
1．勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
2．勾股定理的证明
方法 图形 证明
“赵爽弦图” 因为大正方形的边长为， 所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.
刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以
加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为， 则. 因为，所以
毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积 ，比较两式易得
3．勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
三角形：考查以基础题为主，覆盖概念、性质与简单推理，选择、填空题型占比大．
全等与特殊三角形：在基础上延伸，涉及全等判定、等腰／直角三角形性质、勾股定理，难度中等，侧重推理证明与性质应用．
推理与作图：考查逻辑推理能力和尺规作图（作三角形、角平分线等），题型含证明题、作图题，强调逻辑严谨与作图规范．
1．[2025年海南中考真题]已知三角形三条边的长分别为3、5、，则x的值可能是( )
A.2 B.5 C.8 D.11
2．[2025年山西中考真题]如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中与全等的依据是( )
A. B. C. D.
3．[2025年西藏中考真题]如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4．[2025年湖南长沙中考真题]如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，，，则的周长为( )
A.5 B.6 C.6.5 D.7
5．[2025年江苏宿迁中考真题]如图，在中，，点D、E、F分别是边、、的中点，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
6．[2025年江苏连云港中考真题]如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7．[2025年天津中考真题]如图，是的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点E，与边相交于点F；②以点B为圆心，长为半径画弧，与边相交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线，与相交于点M，与边相交于点N.则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
8．[2025年北京中考真题]如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B.若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为( )
A. B. C. D.
9．[2025年天津中考真题]如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接.若，，则线段的长为( )
A. B. C.4 D.
10．[2025年青海西宁中考真题]如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P(点P与点A在直线l的两侧)；作直线交直线l于点O，连接，，，.根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤.其中正确结论的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11．[2025年江苏宿迁中考真题]等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为______.
12．[2025年江苏扬州中考真题]如图，在中，点D，E分别是边，的中点，点F在线段的延长线上，且，若，，则的长是______.
13．[2025年四川成都中考真题]如图，在中，，，.以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为______.
14．[2025年山东东营中考真题]如图，在中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是______.
15．[2025年黑龙江哈尔滨中考真题]在中，，点D在射线上，，连接，，则______度.
16．[2025年吉林长春中考真题]图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上.
(1)在图①中，是面积最大的等腰三角形；
(2)在图②中，是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形.
17．[2025年湖南长沙中考真题]如图，在中，，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
(1)求的度数；
(2)若，求AD的长.
18．[2025年山东淄博中考真题]已知：如图：在中，D，F分别为边，的中点，.求证：
(1)；
(2).
19．[2025年重庆中考真题]学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线.
小红在的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线(如图).请你利用尺规作图，在OB边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为的平分线(不写作法，保留作图痕迹).
第二步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明：，，
.
在和中，
平分.
20．[2025年西藏中考真题]用一副直角三角板按图(1)的位置摆放，抽象成如图(2)的示意图，已知，求四边形的面积(结果保留根号).
21．[2025年青海西宁中考真题]如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接.
(1)求证：；
(2)若，求的长.
22．[2025年福建中考真题]如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的.已知过点A，交于点G.
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形.
参考答案
1．答案：B
解析：∵三角形的三边长分别为3，x，5，
∴，
即，
故选B.
2．答案：B
解析：在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故选：B.
3．答案：C
解析：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴.
故选：C.
4．答案：D
解析：由折叠可得，，
∴，
∴.
故选：D.
5．答案：C
解析：点D、E、F分别是边、、的中点
∴，，为的中位线，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
故A、B、D正确，不符合题意；
∵，F是边的中点，
∴，
故C错误，符合题意，
故选：C.
6．答案：C
解析：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C.
7．答案：D
解析：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明，的大小关系，
∴无法判断，的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到，的大小关系，故C选项错误；
故选：D.
8．答案：B
解析：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B.
9．答案：D
解析：如图，连接，交于点O，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D.
10．答案：B
解析：由作图可得，，
∴垂直平分，故②正确.
∵，，
∴平分，故③正确.
由作图可得，
∴，
∴，故⑤正确.
∵，但无法判断，
∴无法得到是等边三角形，故①错误.
∵，，但无法得到，
∴无法证明四边形是菱形，故④错误.
综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个.
故选：B.
11．答案：10
解析：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形，
周长为：，
故答案为：10.
12．答案：6
解析：∵在中，点D，E分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6.
13．答案：/
解析：连接，，设与相交于O，
根据作图过程，得，，
∴垂直平分，则，，
∵在中，，，，
∴，
由得
，
∴，
故答案为：.
14．答案：3
解析：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值.
是的平分线，
，
是点B到直线的最短距离(垂线段最短)，
，
.
的最小值是，
故答案为：3.
15．答案：40或60
解析：当点D在射线上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在射线上，且在点B之外，
∴，即，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在线段上，且在点B之内，
∴，
∴；
故答案为：40或60.
16．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)如图所示，即为所求；
(2)如图所示，即为所求；
(3)如图所示，即为所求.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)，，.
由作图可知，CD是的角平分线，
.
(2)在中，由三角形内角和定理得，
，，
在中，，
.
...
，.
18．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：∵D，F分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
19．答案：；；
解析：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
.
在和中，
，
.
，
平分.
20．答案：
解析：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形，
∴，，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴
，
即四边形的面积为.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
(2)∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴.
22．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)是等边三角形，
.
D是的中点，
.
，
，
.
(2)由平移可知：，
，
又，
，
∴，，
又，
垂直平分，
，
由(1)知，，
，
，
是等边三角形.
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