河北省NT20学校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题
1．（2025高三上·河北期中）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：集合，因为，
所以可能为，则集合，元素个数为3.
故答案为：C.
【分析】由题意，求得集合C，再判断元素个数即可.
2．（2025高三上·河北期中）命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2025高三上·河北期中）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；导数的概念
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
且，
则.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，计算，再根据导数的定义和运算法则求解即可.
4．（2025高三上·河北期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数，当时，，易知函数在上单调递减，故A不符合；
B、函数，当时，，
函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，
则，函数在上单调递增，故B符合；
C、易知函数在上单调递减，故C不符合；
D、函数，
函数在上单调递增，函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】化简函数解析式确定函数在上的单调性即可判断ACD；求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B.
5．（2025高三上·河北期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且
由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为4.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可.
6．（2025高三上·河北期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，，，
同一直角坐标系中，作函数的图象，如图所示：
由图可知：，那么，
则，则，即．
故答案为：A．
【分析】利用对数的运算，，，作出函数的图象，结合底数、真数的大小关系比较即可.
7．（2025高三上·河北期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：令函数，，
则，即函数是奇函数，，即函数在R上单调递减，不等式
，则，即，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由题意，构造函数，利用函数的奇偶性确定函数的奇偶性，求导，利用导数判断函数的单调性，利用函数的奇偶性、单调性将不等式转化为，解一元二次不等式求解的范围即可.
8．（2025高三上·河北期中）定义在上的函数的导数为，若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
因为，所以，则在上单调递增，
设函数，求导可得，
因为，所以，则在上单调递减，
A、因为，所以，，
，，
则，，即，无法确定，故A错误；
B、，所以，，，，
则，即，，即，
所以，无法确定，故B错误；
C、，所以，，，．
则，即，
，即，所以，故C正确；
D、，所以，又因为，则，
所以，无法确定，故D错误.
故答案为：C．
【分析】设函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小逐项判断即可.
9．（2025高三上·河北期中）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
A、 ，故A正确；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C正确；
D、 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，利用集合的运算法则求得集合，再根据集合的并集，补集以及交集的运算法则逐项求解判断即可.
10．（2025高三上·河北期中）已知关于的不等式的解集为，或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为，或
D．不等式的解集为
【答案】A,B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由题意可得：是方程的两个根，且，故A正确；
B、由韦达定理可得，解得，
则，故B正确；
C、或，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得：是方程的两个根，且即可判断A；利用韦达定理求得计算即可判断B；将代入，解二次不等式即可判断CD.
11．（2025高三上·河北期中）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线的对称中心为
B．若关于的方程有三个实数解，则
C．若在上有两个极值点，则的最小值为2
D．过点作曲线的切线，切线一共有两条
【答案】B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，，令，解得，则函数的对称中心为，故A错误；
B、，令，解得，令，
解得，即函数在上单调递减，在和上单调递增，
则的极大值为，极小值为，若关于x的方程有三解，
则曲线与直线有三个交点，即，故B正确；
C、由B分析可知：函数在的极值点为0和2，则，故C错误；
D、设切点为，则切线方程为，
由切线过点，得，即，
，解得或，则切线共有两条，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点代入求解即可判断D.
12．（2025高三上·河北期中）若函数满足，则 .
【答案】2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：①，令，可得②，
联立①②解得，则.
故答案为：2.
【分析】由题意，利用解方程组的方法求得函数的解析式，再代值求值即可.
13．（2025高三上·河北期中）设函数则满足的的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的图象；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数图像，如图所示：
若，则或，解得.
故答案为：.
【分析】作出函数图象，数形结合，列不等式求解即可.
14．（2025高三上·河北期中）已知函数，当时，的图象始终在的图象上方，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，
因为的图象始终在的图象上方，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，恒有成立，当时，恒成立；
当时，，令，
，函数在上单调递增，
当，且时，，
若，即时，在上恒成立，
函数在上单调递增，当且时，且，
则在上恒成立，因此；
当时，，，则存在唯一的，使，
且当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
则a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】化简可得，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性求的范围即可.
15．（2025高三上·河北期中）已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
由，得，集合，
则，解得，故实数的取值范围是；
（2）解：由（1）可得：，若，则，
当时，，解得；
当时，则，无解，
则实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解对数不等式求得集合，再根据集合的包含关系列不等式组求解即可；
（2）由（1）可得 ，由题意可得，分和，利用集合的包含关系列式求解即可.
（1）由，解得，，
由，得，而，
则，解得，所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，由，即，
当时，，解得；
当时，则，无解，
所以实数的取值范围是.
16．（2025高三上·河北期中）设函数.
（1）命题，使得成立.若为假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）解：由题意可得：命题，为真命题，
不等式，
当时，恒成立；
当时，则，解得，
则实数的取值范围是；
（2）解：不等式，即，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】命题的否定；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意可得：全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解即可；
（2）不等式，即，对a 分类讨论求解含参数的不等式.
（1）由命题，使得成立为假命题，得命题，为真命题，
不等式，
当时，恒成立；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）不等式，
当时，不等式，解得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．（2025高三上·河北期中）已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：若，函数，求导可得，则，
故所求切线方程为，即；
（2）解：函数，
当时，，则不是函数的零点，
令，求得，
令，求导得，
令，解得或，
令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，，当时，，
作出函数的图象，如图所示；
结合图象可知：函数有三个零点，的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可；
（2）由函数解析式可得，分离参数得，构造函数，求导，利用导数研究函数的单调性，作出函数的图象，数形结合求解即可.
（1）若，的导数为，所以，
故所求切线方程为，即；
（2）因为，即不是函数的零点，所以，
令，求导得，
令或，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，，当时，，
由此可作出函数的图象，如图所示，
由题意，函数有三个零点，结合图象可知，的取值范围为.
18．（2025高三上·河北期中）已知，函数的最大值为3，最小值为.
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：易知，
因为，所以，，
又因为，所以，，
所以，
（2）解：由（1）知，则，即，
由题意可得：不等式在上有解，
则，不等式成立，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，即，
故k的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先利用对数运算法则化简函数，再根据对数函数单调性以及二次函数性质求最值即可得的值；
（2）由（1）可得，将不等式转化为，由题意可得：，不等式成立，利用对勾函数单调性求出最大值即可.
（1）依题意，，
由，得，，又，
因此，，
所以，.
（2）由（1）知，则，
即，依题意，不等式在上有解，
因此，不等式成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则，于是，
所以k的取值范围是.
19．（2025高三上·河北期中）已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）当时，证明：；
（3）函数有两个零点，求证：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
令，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点；
当时，即或时，有两个不等的实数根，
当时，，，得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，即函数有一个极小值点，无极大值点；
当时，，得或；得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点，
综上，时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点；
（2）证明： 当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证；
（3）证明：，
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
则，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、、三种情况讨论其单调性，判断极值点个数即可；
（2）将代入可得函数，即证，令，利用同构思想求证即可；
（3）根据函数有两个零点可得，推出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明即可.
（1）函数的定义域为，
，
令，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点；
当时，即或时，
有两个不等的实数根，
当时，，，得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则函数有一个极小值点，无极大值点；
当时，，得或；得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点，
综上，时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证；
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
则，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证．
1 / 1河北省NT20学校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题
1．（2025高三上·河北期中）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025高三上·河北期中）命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高三上·河北期中）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2025高三上·河北期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高三上·河北期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025高三上·河北期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·河北期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高三上·河北期中）定义在上的函数的导数为，若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·河北期中）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025高三上·河北期中）已知关于的不等式的解集为，或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为，或
D．不等式的解集为
11．（2025高三上·河北期中）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线的对称中心为
B．若关于的方程有三个实数解，则
C．若在上有两个极值点，则的最小值为2
D．过点作曲线的切线，切线一共有两条
12．（2025高三上·河北期中）若函数满足，则 .
13．（2025高三上·河北期中）设函数则满足的的取值范围是 .
14．（2025高三上·河北期中）已知函数，当时，的图象始终在的图象上方，则实数的取值范围是 .
15．（2025高三上·河北期中）已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（2025高三上·河北期中）设函数.
（1）命题，使得成立.若为假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集.
17．（2025高三上·河北期中）已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围.
18．（2025高三上·河北期中）已知，函数的最大值为3，最小值为.
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
19．（2025高三上·河北期中）已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）当时，证明：；
（3）函数有两个零点，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：集合，因为，
所以可能为，则集合，元素个数为3.
故答案为：C.
【分析】由题意，求得集合C，再判断元素个数即可.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；导数的概念
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
且，
则.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，计算，再根据导数的定义和运算法则求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数，当时，，易知函数在上单调递减，故A不符合；
B、函数，当时，，
函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，
则，函数在上单调递增，故B符合；
C、易知函数在上单调递减，故C不符合；
D、函数，
函数在上单调递增，函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】化简函数解析式确定函数在上的单调性即可判断ACD；求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B.
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且
由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为4.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，，，
同一直角坐标系中，作函数的图象，如图所示：
由图可知：，那么，
则，则，即．
故答案为：A．
【分析】利用对数的运算，，，作出函数的图象，结合底数、真数的大小关系比较即可.
7．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：令函数，，
则，即函数是奇函数，，即函数在R上单调递减，不等式
，则，即，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由题意，构造函数，利用函数的奇偶性确定函数的奇偶性，求导，利用导数判断函数的单调性，利用函数的奇偶性、单调性将不等式转化为，解一元二次不等式求解的范围即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
因为，所以，则在上单调递增，
设函数，求导可得，
因为，所以，则在上单调递减，
A、因为，所以，，
，，
则，，即，无法确定，故A错误；
B、，所以，，，，
则，即，，即，
所以，无法确定，故B错误；
C、，所以，，，．
则，即，
，即，所以，故C正确；
D、，所以，又因为，则，
所以，无法确定，故D错误.
故答案为：C．
【分析】设函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小逐项判断即可.
9．【答案】A,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
A、 ，故A正确；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C正确；
D、 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，利用集合的运算法则求得集合，再根据集合的并集，补集以及交集的运算法则逐项求解判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由题意可得：是方程的两个根，且，故A正确；
B、由韦达定理可得，解得，
则，故B正确；
C、或，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得：是方程的两个根，且即可判断A；利用韦达定理求得计算即可判断B；将代入，解二次不等式即可判断CD.
11．【答案】B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，，令，解得，则函数的对称中心为，故A错误；
B、，令，解得，令，
解得，即函数在上单调递减，在和上单调递增，
则的极大值为，极小值为，若关于x的方程有三解，
则曲线与直线有三个交点，即，故B正确；
C、由B分析可知：函数在的极值点为0和2，则，故C错误；
D、设切点为，则切线方程为，
由切线过点，得，即，
，解得或，则切线共有两条，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点代入求解即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：①，令，可得②，
联立①②解得，则.
故答案为：2.
【分析】由题意，利用解方程组的方法求得函数的解析式，再代值求值即可.
13．【答案】
【知识点】函数的图象；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数图像，如图所示：
若，则或，解得.
故答案为：.
【分析】作出函数图象，数形结合，列不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，
因为的图象始终在的图象上方，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，恒有成立，当时，恒成立；
当时，，令，
，函数在上单调递增，
当，且时，，
若，即时，在上恒成立，
函数在上单调递增，当且时，且，
则在上恒成立，因此；
当时，，，则存在唯一的，使，
且当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
则a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】化简可得，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性求的范围即可.
15．【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
由，得，集合，
则，解得，故实数的取值范围是；
（2）解：由（1）可得：，若，则，
当时，，解得；
当时，则，无解，
则实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解对数不等式求得集合，再根据集合的包含关系列不等式组求解即可；
（2）由（1）可得 ，由题意可得，分和，利用集合的包含关系列式求解即可.
（1）由，解得，，
由，得，而，
则，解得，所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，由，即，
当时，，解得；
当时，则，无解，
所以实数的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由题意可得：命题，为真命题，
不等式，
当时，恒成立；
当时，则，解得，
则实数的取值范围是；
（2）解：不等式，即，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】命题的否定；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意可得：全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解即可；
（2）不等式，即，对a 分类讨论求解含参数的不等式.
（1）由命题，使得成立为假命题，得命题，为真命题，
不等式，
当时，恒成立；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）不等式，
当时，不等式，解得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：若，函数，求导可得，则，
故所求切线方程为，即；
（2）解：函数，
当时，，则不是函数的零点，
令，求得，
令，求导得，
令，解得或，
令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，，当时，，
作出函数的图象，如图所示；
结合图象可知：函数有三个零点，的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可；
（2）由函数解析式可得，分离参数得，构造函数，求导，利用导数研究函数的单调性，作出函数的图象，数形结合求解即可.
（1）若，的导数为，所以，
故所求切线方程为，即；
（2）因为，即不是函数的零点，所以，
令，求导得，
令或，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，，当时，，
由此可作出函数的图象，如图所示，
由题意，函数有三个零点，结合图象可知，的取值范围为.
18．【答案】（1）解：易知，
因为，所以，，
又因为，所以，，
所以，
（2）解：由（1）知，则，即，
由题意可得：不等式在上有解，
则，不等式成立，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，即，
故k的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先利用对数运算法则化简函数，再根据对数函数单调性以及二次函数性质求最值即可得的值；
（2）由（1）可得，将不等式转化为，由题意可得：，不等式成立，利用对勾函数单调性求出最大值即可.
（1）依题意，，
由，得，，又，
因此，，
所以，.
（2）由（1）知，则，
即，依题意，不等式在上有解，
因此，不等式成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则，于是，
所以k的取值范围是.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
令，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点；
当时，即或时，有两个不等的实数根，
当时，，，得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，即函数有一个极小值点，无极大值点；
当时，，得或；得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点，
综上，时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点；
（2）证明： 当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证；
（3）证明：，
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
则，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、、三种情况讨论其单调性，判断极值点个数即可；
（2）将代入可得函数，即证，令，利用同构思想求证即可；
（3）根据函数有两个零点可得，推出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明即可.
（1）函数的定义域为，
，
令，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点；
当时，即或时，
有两个不等的实数根，
当时，，，得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则函数有一个极小值点，无极大值点；
当时，，得或；得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点，
综上，时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证；
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
则，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证．
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