浙江省临海市灵江中学2025-2026学年高一上学期第一次月考（10月） 数学试卷
1．（2025高一上·临海月考）下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ ）
A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科
C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生
【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：A、打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好的学生不能形成集合，故A不符合；
B、比较难的学科，比较难标准不明确，则高一年级比较难的学科不能形成集合，故B不符合；
C、高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，故C符合；
D、写字好标准不明确，则高一年级写字好的学生不能形成集合，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据集合的概念及集合元素的特性判断即可.
2．（2025高一上·临海月考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：集合，，则，
因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】先根据补集的定义求，再根据集合交集运算求解即可.
3．（2025高一上·临海月考）“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
由，解得或，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为： A.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2025高一上·临海月考）已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题p：，的否定为：，.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
5．（2025高一上·临海月考）的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，整理可得，解得或，
则的解集是.
故答案为：B.
【分析】不等式整理可得，根据一元二次不等式求解方法求解即可.
6．（2025高一上·临海月考）设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，则，即实数a的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据集合的包含关系求解即可.
7．（2025高一上·临海月考）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．大于10g B．等于10g
C．小于10g D．与左右臂长度有关
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：设天平的左臂长为，右臂长，且，
先称得黄金为，后称得黄金为，则，即，
故顾客购得的黄金共，
当且仅当，即时等号成立，但，则等号不成立，
故顾客购得的黄金大于.
故答案为：A.
【分析】设天平的左臂长为，右臂长，先称得黄金为，后称得黄金为，由题意，利用杠杆原理，结合基本不等式求解即可.
8．（2025高一上·临海月考）已知，则y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，可得①，
②，两式相加得，则.
故答案为：D.
【分析】由，根据不等式的性质求得，结合求解即可.
9．（2025高一上·临海月考）下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．空集是任何集合的子集
C．若，则或
D．集合的子集个数为64个
【答案】B,D
【知识点】子集与真子集；空集；并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、由，得，则“”是“”的充分条件，故A错误；
B、空集是任何集合的子集，故B正确；
C、取，满足，但，故C错误；
D、由，是6的约数，而的约数有，
则，即，其元素个数为6，
子集个数为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据充分、必要条件的定义即可判断A；利用空集的性质即可判断B；取特殊集合即可判断C；利用列举法表示给定集合，可得元素个数，再子集个数即可判断D.
10．（2025高一上·临海月考）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
11．（2025高一上·临海月考）已知正实数a，b，满足a+2b=1，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、正实数a，b，满足 ，则 ，
即，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B、由 ，可得 ，因为 ，所以 ，
ze，
当 时，，
则 的最小值为 ，故B正确；
C、，且 ，
则，
当且仅当，即时等号成立，即 的最小值为 ，故C错误；
D、由 ，可得 ，则，
由选项C可知 的最小值为 ，
则的最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用基本不等式求解即可判断A；由 ，可得 ，代入可得到一个二次函数，求最值即可判断B；利用基本不等式“1”的妙用求最值即可判断C；利用C的结论即可判断D.
12．（2025高一上·临海月考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
13．（2025高一上·临海月考）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由不等式的解集为，可知且，
易知函数的零点为或，且图像开口向下，
则的解集为，即.
故答案为：.
【分析】由不等式的解集，判断参数的正负和关系，即可得一元二次函数的零点，再求一元二次不等式的解集即可.
14．（2025高一上·临海月考）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
则，
即，
令，则，利用求根公式可得，
因为，所以不等式 的解为，即取得最小值.
故答案为：.
【分析】由题意，利用基本不等式建立关于的不等式，令，解关于t的一元二次不等式求解即可.
15．（2025高一上·临海月考）已知集合，，求：
（1），；
（2），．
【答案】（1）解：易知集合，，
则，；
（2）解：易知，；
因为或，所以或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）解一元一次不等式求得集合，再根据集合的交集、并集运算求解即可；
（2）先根据补集的定义求补集，再根据集合的交集和并集运算求解即可.
（1）由条件可知，，，
所以，；
（2）因为，所以.
又或，所以或.
16．（2025高一上·临海月考）已知集合，．
（1）用列举法表示集合A，并写出集合A的所有子集；
（2）若，求实数a的取值集合．
【答案】（1）解：解方程，可得或，即，
则集合的子集为：、、、；
（2）解：由（1）可知：，若，则，
当时，，满足；
当时，，因为，所以或者，解得或，
综上所述可得：实数a的取值范围为.
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）解一元二次方程求得集合，再根据子集的定义求解即可；
（2）由（1）可得，由题意可得，再分和两种情况讨论求解即可.
（1）由，解得：或，即.
故的子集为：、、、.
（2）由（1）可知：，由可得：.
当时，得：，满足；
当时，得：，
由，得：或者，解得：或者.
综上所述可得：实数a的取值范围为
17．（2025高一上·临海月考）已知关于x的一元二次不等式的解集为．
（1）求m，n的值；
（2）当时，求的最小值．
【答案】（1）解：由题意可得：1和3是关于x的方程的两个根，
由韦达定理可得，解得；
（2）解：由（1）可得：，
当时，，当且仅当时等号成立，
即当时，的最小值为.
【知识点】基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得 1和3是关于x的方程的两个根， 利用韦达定理列式求的值即可；
（2）由（1）可得，利用基本不等式求最小值即可.
（1）依题意，关于x的方程的根为1和3，
由韦达定理，，解得；
（2）由（1）可得，
因，由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
即当时，的最小值为.
18．（2025高一上·临海月考）已知，且．
（1）求的最大值，并说明当分别等于多少时，取到最大值；
（2）求的最小值，并说明当分别等于多少时，取到最小值．
【答案】（1）解：，且，
则，化简得，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为；
（2）解：由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，故取到最小值为.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）由，可得，再利用基本不等式，妙用“1”的代换求值即可.
（1）因为，所以，化简得，
当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为.
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时取到最小值为.
19．（2025高一上·临海月考）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数t的取值范围；
（3）若 且“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，
解不等式，可得或，即集合或，
则，
则；
（2）解：集合，或，
若，则，解得，
即实数t的取值范围为；
（3）解：由（1）可得：，
因为 且“”是“”的充分不必要条件，所以，
所以，解得，
则实数t的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交、并运算求解即可；
（2）根据集合的关系列不等式求实数t的取值范围即可；
（3）由（1）可得，由题意可得，根据集合的包含关系列不等式求实数t的取值范围即可.
（1）若，则，
又或，
则，
所以；
（2）由于，或，
，则，解得，
即实数t的取值范围为.
（3）由于，
因为 且“”是“”的充分不必要条件，
则有，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为.
1 / 1浙江省临海市灵江中学2025-2026学年高一上学期第一次月考（10月） 数学试卷
1．（2025高一上·临海月考）下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ ）
A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科
C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生
2．（2025高一上·临海月考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·临海月考）“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一上·临海月考）已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025高一上·临海月考）的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·临海月考）设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·临海月考）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．大于10g B．等于10g
C．小于10g D．与左右臂长度有关
8．（2025高一上·临海月考）已知，则y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·临海月考）下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．空集是任何集合的子集
C．若，则或
D．集合的子集个数为64个
10．（2025高一上·临海月考）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．（2025高一上·临海月考）已知正实数a，b，满足a+2b=1，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．（2025高一上·临海月考）已知，则 ．
13．（2025高一上·临海月考）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
14．（2025高一上·临海月考）已知正实数满足，则的最小值为 ．
15．（2025高一上·临海月考）已知集合，，求：
（1），；
（2），．
16．（2025高一上·临海月考）已知集合，．
（1）用列举法表示集合A，并写出集合A的所有子集；
（2）若，求实数a的取值集合．
17．（2025高一上·临海月考）已知关于x的一元二次不等式的解集为．
（1）求m，n的值；
（2）当时，求的最小值．
18．（2025高一上·临海月考）已知，且．
（1）求的最大值，并说明当分别等于多少时，取到最大值；
（2）求的最小值，并说明当分别等于多少时，取到最小值．
19．（2025高一上·临海月考）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数t的取值范围；
（3）若 且“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：A、打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好的学生不能形成集合，故A不符合；
B、比较难的学科，比较难标准不明确，则高一年级比较难的学科不能形成集合，故B不符合；
C、高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，故C符合；
D、写字好标准不明确，则高一年级写字好的学生不能形成集合，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据集合的概念及集合元素的特性判断即可.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：集合，，则，
因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】先根据补集的定义求，再根据集合交集运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
由，解得或，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为： A.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题p：，的否定为：，.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，整理可得，解得或，
则的解集是.
故答案为：B.
【分析】不等式整理可得，根据一元二次不等式求解方法求解即可.
6．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，则，即实数a的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据集合的包含关系求解即可.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：设天平的左臂长为，右臂长，且，
先称得黄金为，后称得黄金为，则，即，
故顾客购得的黄金共，
当且仅当，即时等号成立，但，则等号不成立，
故顾客购得的黄金大于.
故答案为：A.
【分析】设天平的左臂长为，右臂长，先称得黄金为，后称得黄金为，由题意，利用杠杆原理，结合基本不等式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，可得①，
②，两式相加得，则.
故答案为：D.
【分析】由，根据不等式的性质求得，结合求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】子集与真子集；空集；并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、由，得，则“”是“”的充分条件，故A错误；
B、空集是任何集合的子集，故B正确；
C、取，满足，但，故C错误；
D、由，是6的约数，而的约数有，
则，即，其元素个数为6，
子集个数为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据充分、必要条件的定义即可判断A；利用空集的性质即可判断B；取特殊集合即可判断C；利用列举法表示给定集合，可得元素个数，再子集个数即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、正实数a，b，满足 ，则 ，
即，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B、由 ，可得 ，因为 ，所以 ，
ze，
当 时，，
则 的最小值为 ，故B正确；
C、，且 ，
则，
当且仅当，即时等号成立，即 的最小值为 ，故C错误；
D、由 ，可得 ，则，
由选项C可知 的最小值为 ，
则的最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用基本不等式求解即可判断A；由 ，可得 ，代入可得到一个二次函数，求最值即可判断B；利用基本不等式“1”的妙用求最值即可判断C；利用C的结论即可判断D.
12．【答案】
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由不等式的解集为，可知且，
易知函数的零点为或，且图像开口向下，
则的解集为，即.
故答案为：.
【分析】由不等式的解集，判断参数的正负和关系，即可得一元二次函数的零点，再求一元二次不等式的解集即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
则，
即，
令，则，利用求根公式可得，
因为，所以不等式 的解为，即取得最小值.
故答案为：.
【分析】由题意，利用基本不等式建立关于的不等式，令，解关于t的一元二次不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：易知集合，，
则，；
（2）解：易知，；
因为或，所以或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）解一元一次不等式求得集合，再根据集合的交集、并集运算求解即可；
（2）先根据补集的定义求补集，再根据集合的交集和并集运算求解即可.
（1）由条件可知，，，
所以，；
（2）因为，所以.
又或，所以或.
16．【答案】（1）解：解方程，可得或，即，
则集合的子集为：、、、；
（2）解：由（1）可知：，若，则，
当时，，满足；
当时，，因为，所以或者，解得或，
综上所述可得：实数a的取值范围为.
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）解一元二次方程求得集合，再根据子集的定义求解即可；
（2）由（1）可得，由题意可得，再分和两种情况讨论求解即可.
（1）由，解得：或，即.
故的子集为：、、、.
（2）由（1）可知：，由可得：.
当时，得：，满足；
当时，得：，
由，得：或者，解得：或者.
综上所述可得：实数a的取值范围为
17．【答案】（1）解：由题意可得：1和3是关于x的方程的两个根，
由韦达定理可得，解得；
（2）解：由（1）可得：，
当时，，当且仅当时等号成立，
即当时，的最小值为.
【知识点】基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得 1和3是关于x的方程的两个根， 利用韦达定理列式求的值即可；
（2）由（1）可得，利用基本不等式求最小值即可.
（1）依题意，关于x的方程的根为1和3，
由韦达定理，，解得；
（2）由（1）可得，
因，由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
即当时，的最小值为.
18．【答案】（1）解：，且，
则，化简得，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为；
（2）解：由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，故取到最小值为.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）由，可得，再利用基本不等式，妙用“1”的代换求值即可.
（1）因为，所以，化简得，
当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为.
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时取到最小值为.
19．【答案】（1）解：当时，集合，
解不等式，可得或，即集合或，
则，
则；
（2）解：集合，或，
若，则，解得，
即实数t的取值范围为；
（3）解：由（1）可得：，
因为 且“”是“”的充分不必要条件，所以，
所以，解得，
则实数t的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交、并运算求解即可；
（2）根据集合的关系列不等式求实数t的取值范围即可；
（3）由（1）可得，由题意可得，根据集合的包含关系列不等式求实数t的取值范围即可.
（1）若，则，
又或，
则，
所以；
（2）由于，或，
，则，解得，
即实数t的取值范围为.
（3）由于，
因为 且“”是“”的充分不必要条件，
则有，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为.
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