1.4 线段垂直平分线与角平分线 课件(共45张PPT) 2025-2026学年数学苏科版八年级上册

(共45张PPT)
第1章 三角形
1.4 线段垂直平分线与角平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
问题情境
问题情境
我们已经知道,线段和角都是轴对称图形,它们的对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线.下面,我们利用全等三角形研究它们的性质.
获取新知
1．如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O,在l上任意取一点P,连接PA,PB.线段PA与PB一定相等吗 如何证明
证明:因为OP是线段AB的垂直平分线,
所以AO=　　　,∠1=∠　　　　=90°.
通过“　　　　”,可证△POA≌△POB,
所以PA与PB相等.
思 考
2
SAS
像这样的点P还有吗？为什么？
活动 1 探究线段垂直平分线性质定理
BO
线段垂直平分线的性质定理　
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB.
符号语言：
或（PO⊥AB，AO=BO),
知识要点
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB．
根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB．
于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
O
2
1
l
B
A
P
Q
讨 论
例题讲解
例1 利用网格线画线段PQ的垂直平分线．
P
Q
例2 如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等？
公路
A村
B村
P
获取新知
　　在一张薄纸上画一条线段AB．
　　你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？
　　这样的点有多少个？
做一做
活动 2 探究线段垂直平分线性质定理的逆定理
A
B
Q
A
B
Q
M
如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
讨论与交流:
证明你的想法：
①若点Q在线段AB上，且QA=QB，结论成立吗？
②若点Q在线段AB外，且QA=QB，结论成立吗？
情况一 ：点Q在线段上
情况二 :点Q在线段外
证明： ∵QA=QB，∴点Q为线段AB的中点，显然此时点Q在线段AB的垂直平分线上.
已知：如图，QA＝QB，
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点Q 作AB 的垂线QM，垂足为点M．
则∠QMA =∠QMB =90°．
在Rt△QMA 和Rt△QMB 中，
QA =QB，QM =QM，
∴ Rt△QMA ≌Rt△QMB（HL）．
∴ AM =BM．
又 QM⊥AB，
∴ 点Q 在线段AB 的垂直平分线上．
A
B
Q
M
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
A
B
P
几何语言：
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)
∵ PA =PB，（已知）
∴ 点P在AB的垂直平分线上．
归纳总结
　　你能用尺规画出任一条已知线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据．
试一试
作法：
１．分别以A,B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于点C,D．
２．过C,D两点作直线．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
A
B
∵CA=CB,
∴点C在线段AB的垂直平分线上.
∵DA=DB,
∴点D在线段AB的垂直平分线上,
∴CD是线段AB的垂直平分线.
简写成：
∵CA=CB，DA=DB,
∴CD是线段AB的垂直平分线.
C
D
证明：连接CA、CB、DA、DB.
如图,AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角 如何证明
讨论探究
解:相等的角:∠AED=∠AEB=∠CED=∠CEB,
∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB,∠ADC=∠ABC,
∠ADE=∠ABE,∠CDE=∠CBE.
证明如下:
∵AB=AD,CB=CD,∴AC垂直平分线段BD.
∴∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°.
在△ADC和△ABC中,
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB,∠ADC=∠ABC.
在△ADE和△ABE中,
∴△ADE≌△ABE(SAS).
∴∠ADE=∠ABE.
∴∠CDE=∠CBE.
我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
例题讲解
例3 已知：如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．
B
A
C
O
证明：连接OA、OB、OC.
∵点O在AB的垂直平分线l1上,
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
同理OA=OC.
∴OB=OC.
∴点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
通过例3，可以知道：
归纳总结
　　三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三角形三个顶点的距离相等.
例4 为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使医疗点P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离相等(A,B,C三点不在同一条直线上,地理位置如图),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.(要求:写出已知、求作,不写作法,保留作图痕迹)
[解析] (1)三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这点到三角形三个顶点的距离相等;(2)找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法是找其中两边垂直平分线的交点.
解:已知:不在同一条直线上的三点A,B,C.
求作:点P,使点P到A,B,C三点的距离相等.
点P的位置如图所示.
1.点P在线段AB的垂直平分线上,PB=10,则PA=　　　.
10
随堂演练
2.如图所示,PO是AB的垂直平分线,则有下列结论:①PA=PB;②OA=OB;③∠A=∠B;④∠APO=∠BPO.其中正确的有(　)
A.①②③ B.①②④
C.①②③④ D.②③④
C
3.如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线,若△ADC的周长为21,AC的长为8,则CB的长为　　　　.
13
4.如图,AD=BD=CD,则点D在　　　,　　　,　　　的垂直平分线上.
AB
AC
BC
5.如图,OM垂直平分AB,ON垂直平分AC,BC与OM,ON分别交于点D,E,连接AD,AE.若BC=10,求△ADE的周长.
解:∵OM垂直平分AB,点D在OM上,
∴BD=AD.同理可得CE=AE.
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=BD+DE+CE=BC=10.
6. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，若△BCD的周长为8，求BC的长.
解：
∵ DE是AB的垂直平分线,
∵ △BCD的周长为8,
∴ BC＝
＝8－(AD＋CD)
＝8－AC
=8-5=3.
△BCD的周长－(BD＋CD)
∴AD=BD.
7.如图所示,已知AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上的一点,那么BE与CE相等吗 请说明理由.
解：相等. 连接BC，∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
同理，点D也在线段BC的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵E是AD延长线上的一点，
∴BE=CE.
变式.如图，已知AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上的一点.
求证：.
证明：连接.
点在的垂直平分线上，
同理，点也在的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线，
直线是线段的垂直平分线.
是上一点，
又，，
.
课堂小结
第1章 三角形
1.4 线段垂直平分线与角平分线
第2课时 角平分线的性质
随堂演练
例题讲解
课堂小结
获取新知
1.请同学们拿出一张纸，在纸上任意画出一个角∠AOB,把它剪下并对折，使角的两边重合，然后展开铺平，你有什么发现？
角是轴对称图形，
角的平分线所在的直线是它的对称轴.
B
A
O
C
获取新知
2.在∠AOB的内部取折痕上的一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PD和PE,再沿原折痕重新折叠，你有什么发现？
PD=PE
你能证明你的猜想吗？
由此你能得到什么猜想？
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P
P
B
A
O
D
E
D
E
P
D
E
C
A
O
B
E
D
P
C
证明：∵ OP平分∠AOB，
∴ ∠AOP=∠BOP.
∵PD⊥AO,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO=∠PEO,
∠AOC=∠BOC,
OP=OP,
∴△PDO≌△PEO,（AAS）∴ PD=PE.
验证猜想：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
也可以用图形运动来证实：把△POB沿OP翻折，
∵ ∠POA=∠POB.
∴OA与OB重合.
∵PD⊥AO,PE⊥OB，
依据基本事实“过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直”
可知PD与PE重合，
∴PD=PE.
A
O
D
E
P
C
B
符号语言：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
PD⊥OA,PE⊥OB，
归纳总结
如果角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？
想一想
通过上述研究，你得到了什么结论？
证明：画射线OQ.
∵QC⊥ OA,QD ⊥ OB，
∴∠QDO=∠QCO=90°.
在Rt△QDO和Rt△QCO中，
OQ=OQ,
QD=QC,
∴ Rt△QDO ≌ Rt△QCO (HL)，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∴点Q在∠AOB的平分线上.
如图，若点Q在∠AOB内， QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C,D,且QC＝QD，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
O
B
A
Q
D
C
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理：
O
E
D
P
C
A
B
符号语言:
∵ PD⊥OA，
∴ 点P 在∠AOB的平分线上.
(或OP平分∠AOP)
PE⊥OB，
且PD=PE，
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
归纳总结
角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
例1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且DE⊥AB ,DF⊥AC , D 是BC的中点，求证:∠B=∠C.
证明：∵ AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∠DEB=∠DFB=90°.
∵ D 是BC的中点，
∴DB=DC.
在Rt△DBE与Rt△DCF中，
DB=DC，
DE=DF，
∴Rt△DBE≌ Rt△DCF(HL)，
∴∠B=∠C.


例题讲解
例2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D ，DE⊥AB,
DF⊥AC, AB=6, BC=8, 若S△ABC=28,求DE的长.
解：∵ BD平分∠ABC且DE⊥AB,DF⊥BC,
∴ DE=DF.
8
6

例3.利用网格作图.
A
C
B
（1）在BC上找一点P,使P到AB和AC的距离相等.
P
（2）在射线AP上找一点Q,使QB=QC.
Q
例4 (教材典题)如图,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P.
求证:点P在∠C的平分线上.
证明:如图,过点P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC,
垂足分别为F,M,N.
∵AD平分∠BAC,点P在AD上,PF⊥AB,PN⊥AC,
∴PF=PN(角平分线的性质定理).
1.如图,
(1)∵OC平分　　　,点P在OC上,PM⊥OA, PN⊥OB,垂足分别为M,N,PM=2,∴PN=　 　 　=　 .
(2)∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=　　　　,∴点P在∠AOB的平分线上,即OC平分　　　　.
∠AOB
PM
2
PN
∠AOB
随堂演练
2.如图,Q是OA上一个动点,点P在∠AOB的平分线上,
PD⊥OB于点D,PD=3,则PQ的最小值是　　　　.
3
3.判断：如图
（1）若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
（2）若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，
则OQ是∠AOB 的平分线； ( )
（3）若Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离
等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
√
×
×
1.6
4
1.6
2.4

4.如图，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB ，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为 .
5.如图,在△ABC中,BD=CD,∠ABD=∠ACD.
求证:AD平分∠BAC.


证：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N,
∴∠DMB=∠DNC=90°.
在△DMB与△DNC中，
∠DMB=∠DNC=90°
∠ABD=∠ACD
DB=DC
∴△DMB≌△DNC（AAS）,
∴ DM=DN.
∵DM=DN且DM⊥OA，DN⊥OB,
∴AD平分∠BAC.
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
可用来证明两条线段相等.
判断点是否在角平分线上
课堂小结