1.5 等腰三角形 课件(共74张PPT) 2025-2026学年数学苏科版八年级上册

(共74张PPT)
第1章 三角形
1.5 等腰三角形
第1章 三角形
1.5 等腰三角形
第1课时 等腰三角形及其性质
随堂演练
获取新知
课堂小结
情境引入
例题讲解
如图,把一张长方形纸片对折,沿虚线剪下并展开,得到的三角形有什么特征
解:这个三角形有两条边相等,有两个角相等.
情境引入
2.观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、底角和顶角.
底边
顶角
(
)
)
底角
底角
腰
腰
A
B
C
有两边相等的三角形叫等腰三角形.
情境引入
1.什么叫等腰三角形？
A
B(C)
D
A
C
D
B
A
B
C
问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角.
问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想.
新知探索
发现一：
A
B
C
对称轴是
D
或底边上的高所在直线.
或底边上的中线所在直线.
顶角平分线所在直线.
等腰三角形是轴对称图形.
发现二：
A
B
C
D
等腰三角形的两个底角相等.
　 等腰三角形的 、
、 互相重合.
思考：如何证明这两个猜想？
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
A
B
C
则有∠1＝∠2，
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明：作顶角的平分线AD，
AB＝AC，
∠1＝∠2，
AD＝AD
∴ △ABD≌△ACD
∴ ∠B＝∠C,BD＝CD,∠ADB＝∠ADC.
你还可以用什么方法证明？
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
A
C
B
等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两底角相等 (简称“等边对等角”)
符号语言：
∵ AB=AC，
∴∠B=∠C.
归纳总结
等腰三角形底边上的高线、中线、及顶角平分线重合。（简称“三线合一”）
A
B
C
D
等腰三角形的性质2:
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____.
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠___=∠___，____⊥____.
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____.
C
A
B
1
2
D
用符号语言表示等腰三角形“三线合一”的性质：
1
2
BD
CD
1
2
AD
BC
AD
BC
BD
CD
【操作尝试】
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a,高AD＝h.
作法 ：
(1)作线段BC＝ a .
(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D.
(3)在MN上截取线段DA，使 DA=h,
(4)连接AB、AC.
△ABC就是所求作的三角形.
例题讲解
例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
证明：∵AB=AC,AD=BD,
∴∠B=∠C，∠B=∠1.(等边对等角)
∴∠C=∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠2.
∴∠ADB=∠1+∠2=∠BAC.
1
2
例2 如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.
证明:如图,过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB=AC,AD=AE,AF⊥BC,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.
F
例3 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.
解:设∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°.
∴∠BDC=∠ABD+∠A=(2x)°.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=(2x)°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(2x)°.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180.
∴x=36,即∠A=36°.
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的度数是(　　)
A．70° B．55°
C．50° D．40°
A
随堂演练
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中,不正确的是 (　　)
A.∠B=∠C B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
D
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°,30°
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC 边上的中点，∠B =30°．
求 ：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小.
解：（1）∵ AB＝AC ，BD＝DC ，
∴AD ⊥BC (等腰三角形的“三线合一”）
∴∠ADC＝∠ADB ＝ 90°.
（2）∵ ∠1+ ∠B + ∠ADB＝ 180°(三角形的内角和等于 180 ° ），
∠B = 30 ° ，
∴ ∠1 = 180 °－∠B－∠ADB (等式的性质）
= 180°－ 30°－90° =60°.
A
D
1
2
B
C
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
注意是指同一个三角形中
三线合一
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质. 而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
轴对称性
顶角平分线所在的直线是它的对称轴
第1章 三角形
1.5 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
随堂演练
获取新知
课堂小结
复习回顾
例题讲解
复习回顾
A
B
C
1．等边对等角．
等腰三角形有哪些性质呢？
2．顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．
获取新知
1.请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
①在半透明纸上画一条线段BC．
②以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．
③用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．
问题1：AB与AC是否重合？
问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？
B
C
A
D
.
已知：在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC．
探索一：
在△BAD和△CAD中，
　 ∠1＝∠2，
∠B＝∠C，
AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)．
已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC．
法一：作∠A的平分线交BC于D．
A
B
C
D
1
2
已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC．
法二：过A点作AD⊥BC，垂足为D．
A
B
C
D
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△ADB和△ADC中，
　 ∠ADB＝∠ADC，
∠B＝∠C，
AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC．
思考：通过这道题的证明你发现了什么结论？
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
几何语言：
B
C
A
(
(
在△ABC中,
∵∠B=∠C,
∴AB=AC.
归纳总结
思考：“等边对等角”与“等角对等边”是否一样？它们的主要区别在哪里？
（1）它们的条件与结论正好调换了过来，为互逆命题
等边 等角
等角 等边
（2）“等边对等角”为等腰三角形的性质定理
（3）“等角对等边”为等腰三角形的判定定理
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例1
已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分
∠EAC，AD∥BC
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，
∠2=∠C．
而已知∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（两直线平行，同位角相等）
（两直线平行，内错角相等）
（等角对等边）
例题讲解
探究 在图中,如果AB=AC,AD∥BC,那么AD平分∠EAC吗 请证明你的结论.
解:AD平分∠EAC.证明如下:
∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.
∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
∴∠EAD=∠DAC.∴AD平分∠EAC.
变式 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.
求证:BE+CF=EF.
证明:∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC.
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC.
∴∠EDB=∠EBD.∴DE=BE.
同理,CF=DF.
∴EF=DE+DF=BE+CF,即BE+CF=EF.
拓展 如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC于点E.
求证:△AED是等腰三角形;
解:证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AB,∴∠EDA=∠BAD,
∴∠EDA=∠CAD,∴EA=ED,
∴△AED是等腰三角形.
遇角平分线构造等腰三角形的一般方法
(1)从角的平分线上任意取一点作角的一边的平行线,与另一边相交,得等腰三角形;
(2)从角的一边任意取一点作角平分线的平行线,与另一边的反向延长线相交,得等腰三角形.
方法总结
例2 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上,且∠ABD=∠ACE,BD与CE相交于点O.
求证:OB=OC.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.
变式 如图,在△ABC中,AB=AC,D是边AB上一点,∠BCD=∠A.求证:CD=CB.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC,∴CD=CB.
1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是 (　　)
A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40°
C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
B
随堂演练
2.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有(　D　)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AB交AC于点E,若DE=7,CE=8,则AC的长为　　　　.
15
4.在△ABC中,∠A=90°,当∠B=　　　　°时,△ABC是等腰三角形.
45
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C=54°,D是边BC的中点,连接AD,则∠DAC的度数为　　　　.
36°
6.如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上一点,ED⊥BC于点D,DE的延长线交BA的延长线于点F.求证:△AEF是等腰三角形.
证明:∵DF⊥BC,∴∠B+∠F=90°,∠C+∠DEC=90°.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠F=∠DEC.
∵∠AEF=∠DEC,
∴∠F=∠AEF,
∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形.
7.如图,在△ABC中,D为边AC上的一点,BD=BC,过点D作DE∥AB交BC于点E,且DE平分∠BDC.求证:AD=BC.
证明:∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=∠CDE.
又∵DE∥AB,∴∠BDE=∠ABD,∠EDC=∠A,
∴∠ABD=∠A,
∴AD=BD.
∵BD=BC,∴AD=BC.
课堂小结
第1章 三角形
1.5 等腰三角形
第3课时 等边三角形
随堂演练
获取新知
课堂小结
复习回顾
例题讲解
复习回顾
A
B
C
1．等边对等角．
1.等腰三角形有哪些性质呢？
2．顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．
2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
2．等角对等边．
1．定义法．
B
A
C
思考1：什么是等边三角形？
思考2：等边三角形的性质有哪些？请同学们说一说．
1、等边三角形是轴对称图形, 并且有3条对称轴.
4、等边三角形的各角都等于60°.
等边三角形是特殊的等腰三角形，有如下性质:
2、等边三角形的每条边都相等.
3、等边三角形的每条角平分线都是高和中线. (三线合一)
获取新知
活动1　探索等边三角形的性质和判定
定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.
A
B
C
已知：AB = AC = BC ，
求证：∠A = ∠B =∠C = 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B =∠C (等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C = 180°, (三角形内角和定理)
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
等边三角形性质的证明:
思考3：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？为什么？
（1）如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？
A
B
C
由∠A=∠B，∠B=∠C,可证AC=BC，AB=AC，∴AB=BC=AC， ∴ △ABC是等边三角形.
思考3：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？为什么？
（2）有一个角是60°的等腰三角形的是等边三角形吗？为什么？
如果顶角是60°，那么两个底角相等，也都是60°
如果一个底角是60°，那么另一个底角也是60°，并且顶角也是60°
定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理2：
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
等边三角形的判定定理：
归纳总结
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C=60°(等边三角形的性质定理).
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠B=60°, ∠ AED = ∠C=60°.
∴ ∠A = ∠ADE = ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理).
如图,用两个含30°角的三角板拼一个三角形.这个三角形是等边三角形吗 30°角所对的直角边和斜边有什么关系
活动2　探索含30°角的直角三角形的性质
解:由拼图可知,这个三角形的三个内角都是60°,
所以它是等边三角形.
由此可知,含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半.
问题探究
含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.
获取新知
练习　(1)如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,若∠C=2∠B,AC=5,则BC的长为　　　　;
(2)如图②,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,若∠B=60°,AD=2,则AC=　　　　;
10
4
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,DC=3,则BD的长度为　　　　.
6
1.在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=4,则△ABC的周长 为 (　　)
A.9 B.8
C.6 D.12
D
随堂演练
2.如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,若BC=10 cm,则CD的长为 (　　)
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
B
3.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,点D在边AB上,且BD=BC,则∠ACD=　　　　°.
15
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则CD的长为　　　　.
2
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°.点D,E在BC边上,且AD⊥AC,AE⊥AB.
(1)求∠C的度数;
解:(1)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠C=∠B=(180°-∠BAC)=×60°=30°.
(2)求证:△ADE是等边三角形.
(2)证明:∵AD⊥AC,AE⊥AB,∠B=∠C=30°,
∴∠BEA=∠CDA=60°,
即∠ADE=∠AED=60°,
∴△ADE为等边三角形.
课堂小结
1.5 第4课时 直角三角形的性质
课堂小结
例题讲解
新知探索
随堂演练
复习回顾
归纳总结
复习回顾
1．等腰三角形有哪些性质？
2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．
2．剪得的纸片是否能折成图2的形状？
3．△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．
图1
图2
图3
新知探索
你还有其他发现吗？
证明：在RT△ABC中，∠ACB=90°，在∠ACB内
部作∠BCD=∠B，CD与AB交于点D.
∵∠BCD=∠B，
∴DB=DC.
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠A，
∴DA=DC.
从而DA=DB=DC= ，即CD是斜边AB上的中线，且CD= .
你能验证 吗？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
点D是AB的中点，
∴CD＝ AB ．
D
C
B
A
∟
几何语言：
归纳总结
直角三角形的性质定理:
例1. (教材典题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AB的中点,∠B=25°.求∠ACD的度数.
解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AB=AD=BD(直角三角形的性质定理).
∴∠DCB=∠B=25°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-25°=65°.
例题讲解
例2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,AD⊥BC于点D,
E为AC的中点,CB=8,求DE的长.
解:∵∠B=∠C=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=BC=8.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
又∵E为AC的中点,
∴DE= AC=4.
1.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点之间的距离为 (　　)
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
D
随堂演练
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠BAD=35°,
E是斜边BC的中点,则∠CAE的度数为 (　　)
A.15°
B.25°
C.35°
D.45°
C
3.在Rt△ABC中，如果斜边AB 为4cm，那么斜边上的中线CD＝_____cm．
2
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,若∠A=23°,则∠DCB=　　　　°.
67
5.如图,CD为△ABC的中线,CD= AB,则∠ACB是直角吗 为什么
解:∠ACB是直角.理由如下:
∵CD为△ABC的中线,
∴AD=BD= AB.
又∵CD= AB,∴AD=CD=BD,
则∠A=∠ACD,∠B=∠BCD.
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD= ×180°=90°.
∴∠ACB=90°.
课堂小结